1.1 数列在日常经济生活中的应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 数列 §4　数列在日常经济生活中的应用 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 §4　数列在日常经济生活中的应用 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 　 　　等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型。例如:存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。 了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用;能在具体的问题情境中,发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型,解决一些实际问题。 类型一 等差数列的应用 　　【例1】　从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售。4月1日该款服装售出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前一天多15件,直到4月12日日销售量达到最大,然后每一天售出的服装都比前一天少9件。 (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1≤n≤30,求an关于n的函数关系式; (2)求4月份该款服装的总销售量; (3)按规律,当该商场销售此服装超过1 200件时,该款服装在社会上就开始流行;当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于100件时,此服装在社会上不再流行。试问:该款服装在社会上流行是否超过10天?请说明理由。 解　(1)由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，所以an=15n-5(1≤n≤12且n∈N+)。 而a13，a14，a15，…，a30是首项为a13=a12-9=166，公差为-9的等差数列， 所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30且n∈N+)。 所以an= (2)4月份该款服装的总销售量为+18a13+= +18×166+=2 721(件)。 (3)4月1日至4月12日的销售总量为==1 110(件)<1 200(件)，故4月13日前该款服装在社会上还没有流行。由-9n+283<100，得n>。故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，故该款服装在社会上流行没有超过10天。 　　应用等差数列解决实际问题的一般思路 (1)根据题设条件,建立数学模型:a.分析实际问题的结构特征;b.找出所含元素的数量关系;c.确定为何种数学模型。 (2)利用相关的数列知识加以解决:a.分清首项、公差、项数等;b.分清是an还是Sn的问题;c.选用适当的方法求解。 (3)把数学问题的解客观化,针对实际问题的约束条件合理修正,使其成为实际问题的解。 【变式训练】　某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增。 (1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)。 解　(1)f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4。 (2)设该车的年平均费用为S万元， S=f(n)=(0.1n2+n+14.4) =+1≥2+1=2×1.2+1=3.4， 当且仅当n=12时，等号成立。 故该汽车使用12年报废为宜。 类型二 等比数列的应用 　　【例2】　某运输公司2015年有1万辆公交车,计划2016年投入128辆新型号公交车,以后每年投入的新型号公交车的数量均比上年增加50%。 (1)2022年应投入多少辆新型号公交车? (2)从2016年到2022年间共投入了多少辆新型号公交车? (3)从哪一年开始,该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的? 解　(1)设从2016年开始，第n年投入的新型号公交车的数量为an， 由题知数列{an}是以128为首项，为公比的等比数列， 故a7=a1×6=128×6=1 458，因此2022年应投入1 458辆新型号公交车。 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，则S7==4 118， 因此从2016年到2022年间共投入了4 118辆新型号公交车。 (3)由等比数列的前n项和公式得 Sn==256×， 由题意可得Sn>，解得Sn>5 000，即256×>5 000， 化简得（）n>。 因为（）7=<，()8=>，所以n≥8。 因此从2023年开始，该公司新型号公交车总量超过该公司公交车总量的。 　　日常生活中的增长率、利润、利息、浓度、保险等问题都与等比数列及其前n项和的知识有关。应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤如下: ①构建数列模型; ②由题设确定数列为等比数列,并求公比q或建立数列递推关系,化归为等比数列,求出公比q; ③利用等比数列前n项和公式进行计算。 【变式训练】　某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,2024年投入1 000万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为500万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加。 (1)设n年内(2024年为第一年)总投入为Sn万元,旅游业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式; (2)至少到哪一年,旅游业的总收入才能超过总投入。 (参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,lg 5=0.699 0) 解　(1)2024年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×万元， 所以，n年内的总投入为Sn=1 000+1 000+1 000+…+1 000 ==5 000。 2024年旅游业收入为500万元，第n年旅游业收入为500×万元， 所以，n年内的旅游业总收入为 Tn=500+500+500+…+500==2 000。 (2)设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入，由此得Tn-Sn>0， 即2 000-5 0001->0，令x=， 代入上式得5x2-7x+2>0， 解得x<或x>1(舍去)，即<，不等式两边取常用对数，nlg<lg， 即n>==≈4.1。 所以n≥5，所以至少到2028年，旅游业的总收入才能超过总投入。 数列中的复利计算问题 【典例】　市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,每个月的还款额均相同。银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款)。 已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004。 (1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,试计算小张该笔贷款的总利息; (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素); (3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式。 参考数据:1.004240≈2.61。 【解】　(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an}, Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510, 则S240==120×(4 900+2 510)=889 200, 故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200元。 (2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240, 所以x=600 000×1.004240, 即x=≈≈3 891, 因为3 891<10 000×=5 000, 所以小张该笔贷款能够获批。 (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000= 333 840(元),因为333 840>289 200, 所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式。 　　(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即为还款的利息。 (2)根据题意,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,设小张每月还款额为x元,由等比数列求和公式及参考数据,即可求得其还款额,与收入的一半比较即可判断。 (3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息,两个利息比较即可判断。 【变式训练】　刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价8 000元的手机,约定从下月5日开始,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清;其中年利率为6%,则小明每月还款数a=　　　　 元(精确到个位)。(参考数据:1.00511≈1.056;1.00512≈1.062;1.00513≈1.067)  解析　由已知得1年共12期，月利率为=0.5%，小明每月还款数a=≈685元。 答案　685 答案与解析 1.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们。定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用,为世界数学的发展做出了巨大贡献。现有这样一个整除问题:将1到2 024这2024个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},那么此数列的项数为 (　　) A.58 B.59 C.60 D.61 解析　能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故an=2+35(n-1)=35n-33。由an=35n-33≤2 024，得n≤58+，n∈N+，故此数列的项数为58。 答案　A 答案与解析 2.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量月平均增长率为p,则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为 (　　) A.(1+p)12 B.(1+p)12-1 C.(1+p)11 D.12p 解析　由题意，今年12月份的月产量为a(1+p)12，则增加的比率为=(1+p)12-1。 答案　B 答案与解析 3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤。斩末一尺,重二斤。问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤。问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48ai=5M,则i= (　　) A.6 B.5 C.4 D.7 解析　由题意，知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M=10×=15。因为48ai=5M，所以48+(i-1)×=75，即39+6i=75，解得i=6。 答案　A 答案与解析 $$