2025年河南省郑州市九年级下学期中考数学一检模拟卷（三）

参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】【小题】 原式． 【小题】 原式．   17.【答案】解：； 如图，有：人． 画树状图得：   共有种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有种情况， 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：．  18.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形． 如图，设与交于点  ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 由可知，四边形是菱形， ，，， ， ， ． 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得：， ， ， 即的长为．   19.【答案】解：设乙型充电桩的单价为万元，甲型充电桩的单价为万元 根据题意得， ， 经检验，是原方程的根． 答：乙型充电桩的单价为万元，甲型充电桩的单价为万元． 设甲型充电柱的数量为个，则乙型充电桩的数量为个，所需费用元， ， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．  20.【答案】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半  三角形内角和是  21.【答案】解：直线平分，轴于，轴于， ；又， ； ， ， ． 反比例函数的图象与、分别交于点、， ，； ，； ． 由题意，可得≌， ； 又， ， 即， ； ， ， ， 解得， ．  22.【答案】解：点是一次函数第二象限图象的完美点， ， 解得：， 点的坐标为， 将代入得： ， 解得：； 完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，即完美点在直线或直线上， 联立得：， 解得，； 或联立得：， 解得，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； 二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， ， 有且只有一个完美点， ， 把点代入，得， 解得：，， ； 二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，即完美点在直线或直线上， 当时，， 整理得：有实数根， ， ， ， ， 当时，，如图， 将代入， 解得， 当时，，如图， 将代入， 解得舍去，， ， 或； 当时，如图，， 整理得有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得， 当时，， 将代入， 解得，舍去，， ， ， 综上所述，或或．  23.【答案】证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ∽； 解：如图，作于点， ， ，， ≌， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： 当时，作于点，如图所示， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， 此时点、、三点共线， ； 当时，作于点，如图所示， 设， ，， ， ，， ≌， ， 在中，， ， 解得， ， ， ∽， ， 即， 解得， ； 综上所述，或，的面积为或； 解：的最小值为． ， 点在以的中点为圆心的圆上，延长交的延长线于点， 设，， ， ， ， ， ∽， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆相切，即， 设， ， ， ， 解得或舍， ， ． 的最小值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 7页 2025 年河南省郑州市九年级下学期数学一检押题卷（三） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若 132 = 3 �，则�的值为( ) A. −3 B. 13 C. −2 D. 1 2 2.下列运算中，正确的是( ) A. �3·�5 = �15 B. 2� + 3� = 5�� C. (� − 2)2 = �2 − 4 D. 2�2·(3�2 − 5�) = 6�4 − 10�2� 3.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为9.4 × 10−7�，则下列说法正确的是( ) A. 9.4 × 10−7 + 10 = 9.4 × 10−6 B. 9.4 × 10−7 − 1.4 = 8 × 10−7 C. 9.4 × 10−7是 8 位小数 D. 9.4 × 10−7是 7 位小数 4.如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为 5��，瓶内截面圆中弦��的长为 8��，则液体的最大深度�� 为( ) A. 4�� B. 3�� C. 2�� D. 1�� 5.如图，点�，�分别是∠���的两边��，��上的点，连接��，已知��平分∠���，��平分∠���，�� 与��交于点�.若∠��� = 130°，∠��� = 50°，则∠��� =( ) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 6.如图，在 3 × 3 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，若△ ���的三个顶点都在格点上，则 cos∠���的值为( ) A. 55 B. 2 5 5 C. 10 5 D. 1 2 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 2页，共 7页 7.已知� = 1 是关于�的一元二次方程�2 − 6� + � = 0 的一个根，点�(�1, �1)、�(�2, �2)均在反比例函数� = �−3 � 的图象上，且�1 < 0 < �2，下则关于�1、�2的大小关系描述正确的是( ) A. 0 < �1 < �2 B. �2 < 0 < �1 C. 0 < �2 < �1 D. �1 < 0 < �2 8.如图，四边形����是菱形，∠� = 60°，�� = 2，扇形���的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴影部分 的面积是( ) A. 2�3 − 3 B. 2� 3 − 3 2 C. � − 3 2 D. � − 3 9.如图，矩形����的对角线相交于点�.点�，�分别是边��，��上的点，且�� ⊥ ��.若�� = 3，�� = 5， 则 �� ��的值是( ) A. 94 B. 8 3 C. 5 3 D. 7 3 10.如图，△ ���与正方形����的一条边��重合，∠��� = 90°，�� = �� = 2，将正方形����沿��向右 平移，当点�与点�重合时，停止平移，设点�平移的距离为�，正方形����与△ ���重合部分的面积为�， 则�关于�的函数图象大致为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按 2: 2: 1: 2: 3 对学生学习 过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ． 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 第 3页，共 7页 12.如图是长为�，宽为�的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形(长 为 8，宽为 6)的盒子底部(如图)，盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则两块阴影部分的周长之和为 ________ 13.“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线� = �2 + 2� + � + 5 只经过两个象限，那么� 的取值范围是_______ 14.在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造 一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点�，�，�，�，�的平面示意图，�，�在�的正西方向，� 在�的正北方向，�，�在�的北偏东 30°方向上，�在�的东北方向上，�，�相距 2000 3�，�在��的中点 处.则景点�，�之间的距离是______�. (结果保留根号) 15.如图，已知△���中，�� = 4，∠��� = 90°，以��为腰向外作等腰�� △ ���，∠��� = 90°，连结��， 则线段��的最大值为_______ 三、计算题：本大题共 1 小题，共 10 分。 16.计算：(1) 2�−3�+1 − �−2 �+1； (2) 6 − 2 3 2 − 3 2 3 + 24． 四、解答题：本题共 7 小题，共 65 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题 9 分)某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：�.文学院，�.小小数学家，�.小 小外交家，�.未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查 结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： 第 14 题图 第 15 题图 第 4页，共 7页 (1)这次被调查的学生共有________人； (2)请你将条形统计图(2)补充完整； (3)在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参 加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)． 18.(本小题 9 分)如图，在▱����中，�� = ��，过点�作��的平行线与��的延长线相交于点�． (1)求证：四边形����是菱形； (2)连接��，若�� = 5, tan� = 2，求��的长． 19.(本小题 9 分)随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视 的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电 桩比乙型充电桩的单价多 0.2 万元，用 16 万元购买甲型充电桩与用 12 万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共 30 个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买 数量的 2 倍，则如何购买所需总费用最少？ 第 5页，共 7页 20.(本小题 9 分)阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅 读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线.切线：几何上， 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆 的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法(运用圆心到直线的距离等于半径)；③利用切线的判定定 理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图 1 是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带 动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.图 2 是一个“双连杆”， 两个固定长度的“连杆”��，��的连接点�在⊙�上，�� ⊥ ��，垂足为�，当点�在⊙�上转动时， 带动点�，�分别在射线��，��上滑动，当点�恰好落在⊙�上时，∠��� = 12∠���，请判断此时�� 与⊙�的位置关系并说明理由.小王的解题思路如下：��与⊙�相切.理由：连接��． ∵点�恰好落在⊙�上， ∴ ∠��� = 12∠���(依据 1)， ∠��� = 12∠���， ∴ ∠��� = ∠���． ∵ �� ⊥ ��， ∴ ∠��� + ∠��� = 90°， ∴ ∠��� + ∠��� = 90°． ∵ ∠��� + ∠��� + ∠��� = 180°，(依据 2) ∴ ∠��� = 90°， ∴ ��与⊙�相切． 任务：(1)依据 1：______.依据 2：______． (2)在图 2 中，⊙�的半径为 3，�� = 4，求��的长． 第 6页，共 7页 21.(本小题9 分)如图，点�(2, �)是直线� = �1�(�1 ≠ 0)上的点，如果直线� = �1�(�1 ≠ 0)平分∠���，�� ⊥ � 轴于�，�� ⊥ �轴于�． (1)求�1的值； (2)如果反比例函数� = �2� (�2 ≠ 0)的图象与��、��分别交于点�、�，求证：�� = ��； (3)在(2)的条件下，如果四边形����的面积是△ ���面积的43，求反比例函数的解析式． 22.(本小题 10 分)定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图 象的完美点． 【定义解析】 例如：函数� = 12 � + 1 上的点(2,2)，( − 2 3 , 2 3 )到两个坐标轴的距离相等，我们就称点(2,2)，( − 2 3 , 2 3 )是函数 � = 12 � + 1 图象的完美点． (1)若点(� + 1, − 2�)是一次函数� = �� + 4 第四象限图象的完美点，求�的值； (2)求二次函数� = �2 + � − 4 图象的完美点； 【定义应用】 (3)若二次函数� = ��2 − 2� + �(� > 0)的图象上有且只有一个完美点(3,3)，求二次函数的解析式； 【定义应用】 (4)若二次函数� = (� − �)2 + 3� − 2(� ≥ 0)的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于�的完美点，请 直接写出�的值． 第 7页，共 7页 23.(本小题 11 分)综合与探究 在正方形����中，�� = 4，点�是��边上的动点，连接��． (1)【探索发现】如图 1，过点�作�� ⊥ ��，求证：△ ���∽△ ���； (2)【类比探究】如图 2，过点�作�� ⊥ ��于点�，连接��，当△ ���是等腰三角形时，求此时��的长度与 △ ���的面积； (3)【拓展延伸】如图 3，过点�作�� ⊥ ��于点�，连接��，将△ ���沿��翻折得到△ ���，��交��于点�， 请直接写出线段��的最小值． 2025年河南省郑州市九年级下学期数学一检押题卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.下列运算中，正确的是(    ) A. 　　　 B. C. D. 3.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. 是位小数 D. 是位小数 4.如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为(    ) A. B. C. D. 第6题图 第5题图 第4题图 5.如图，点，分别是的两边，上的点，连接，已知平分，平分，与交于点若，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为，圆心角为，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 9.如图，矩形的对角线相交于点点，分别是边，上的点，且若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点与点重合时，停止平移，设点平移的距离为，正方形与重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为          ． 第12题图 第11题图 12.如图是长为，宽为的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形长为，宽为的盒子底部如图，盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则两块阴影部分的周长之和为________ 13.“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线只经过两个象限，那么的取值范围是_______ 14.在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点，，，，的平面示意图，，在的正西方向，在的正北方向，，在的北偏东方向上，在的东北方向上，，相距，在的中点处则景点，之间的距离是______结果保留根号 第15题图 第14题图 15.如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为_______ 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 16.计算：； ． 四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：文学院，小小数学家，小小外交家，未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： 这次被调查的学生共有________人； 请你将条形统计图补充完整； 在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率用树状图或列表法解答． 18.本小题分如图，在中，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：四边形是菱形； 连接，若，求的长． 19.本小题分随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等． 甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ 该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？ 20.本小题分阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在几何原本中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线 证明切线的常用方法：定义法；距离法运用圆心到直线的距离等于半径；利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”图是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，，垂足为，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当点恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由小王的解题思路如下：与相切理由：连接． 点恰好落在上， 依据， ， ． ， ， ． ，依据 ， 与相切． 任务：依据：______依据：______． 在图中，的半径为，，求的长． 21.本小题分如图，点是直线上的点，如果直线平分，轴于，轴于． 求的值； 如果反比例函数的图象与、分别交于点、，求证：； 在的条件下，如果四边形的面积是面积的，求反比例函数的解析式． 22.本小题分定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． 若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； 求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 23.本小题分综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． 【探索发现】如图，过点作，求证：∽； 【类比探究】如图，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； 【拓展延伸】如图，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$