第三单元《圆柱与圆锥》单元复习—六年级下学期数学易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三（人教版）

易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 第三单元《圆柱与圆锥》 ( 目录 易错点1： 误认为圆柱的侧面展开图一定是长方形 ； 易错点 2 ： 侧面积计算公式掌握不牢，错误的使用底面直径或半径计算侧面积 ； 易错点3 ： 计算圆柱的表面积时漏算两个底面积； 易错点 4： 计算半圆柱的表面积时漏算侧面的长方形面积； 易错点 5： 解决与圆柱表面积相关的实际问题时，易受思维定式影响，直接用侧面积加两个底面积求解，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算； 易错点 6： 圆柱切拼成一个近似的长方体，误认为体积和表面积都不变； 易错点 7： 对 “ 倒置 ” 问题理解不透彻 ； 易错点 8： 计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误； 易错点 9： 从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 ) 易错点1：误认为圆柱的侧面展开图一定是长方形 规避策略：圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同。圆柱侧面展开图有四种：长方形、正方形、平行四边形、不规则图形。 ①侧面沿高展开，展开图是长方形（当底面周长等于圆柱的高，侧面展开图是正方形）； ②侧面沿斜线展开，展开图是平行四边形； ③侧面沿曲线展开，展开图是不规则图形。 【提示】：圆柱侧面只有沿高展开时，展开图是长方形（或正方形）； 圆柱侧面无论怎样展开，都得不到梯形。 例1：判断。（对的画“√”，错的画“×”） （1） 底面直径是d，高是d的圆柱的侧面展开图是正方形。（ ） （2） 圆柱的侧面展开图不可能是平行四边形。（ ） （3） 圆柱的侧面展开后是正方形，说明底面直径和高的比是1∶1。（ ） 例2：底面直径和高相等的圆柱，侧面沿高展开后得到一个（ ）。 A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 1． （判断）任意两个相同的圆和一个曲面就可以组成一个圆柱。（ ） 2． （判断）圆柱的侧面展开图不是长方形就是正方形。（ ） 3． （判断）一个底面直径和高都是10厘米的圆柱，侧面沿高展开后得到一个正方形。（ ） 4． （判断）如果圆柱体的高与底面周长相等，那么它的侧面沿高剪开再展开后是一个正方形。（ ） 5． 圆柱的侧面展开后不可能是一个（ ）。 ①平行四边形 ②长方形 ③正方形 ④梯形 ⑤圆 A. ①② B. ①②③ C. ①④⑤ D. ④⑤ 6． 下面四幅图中，不可能是圆柱侧面展开图的是（ ）。 7． 一个圆柱侧面展开图是正方形，它的高与底面直径的比是（ ）。 A. 1∶1 B. 1∶π C. π∶1 D. 2∶1 8． 下面这些图形是圆柱展开图的有（ ）个。（单位：cm） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9． 一个圆柱体食品罐（如图）沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为314平方分米的平行四边形，那么这个食品罐的底面周长是（ ）分米。 10． 一个圆柱的侧面展开图是一个长25.12厘米、宽9.42厘米的长方形，这个圆柱的底面半径是多少厘米？（π取值3.14） 易错点2：侧面积计算公式掌握不牢，错误的使用底面直径或半径计算侧面积 规避策略：灵活运用侧面积计算公式，当题目已知底面半径/直径时，先求出底面周长，再乘高。 公式 字母表示 圆柱侧面积=底面周长×高 直接计算→S侧=Ch 利用底面半径→S侧=2πrh 利用底面直径→S侧=πdh 例1：选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ ）。 A. 甲和① B. 甲和② C. 乙和① D. 乙和③ 例2：压路机的滚筒是一个圆柱体，横截面的半径是0.5米，长是1.6米。如果这个压路机以每分钟转动12周的速度前进，每分钟能压路面多少平方米？（得数保留一位小数） 1． 张阿姨买了一个圆柱形透明玩具收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是11304cm²，这个收纳桶的底面周长是（ ）cm。 A．9420 B．706.5 C．2826 D．94.2 2． 圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，圆柱的侧面积（ ）。 A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 3． 把如图所示圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个长方形，从而就把圆柱求圆柱侧面积这个求曲面面积的问题变成了长方形面积的问题。这个长方形的长等于圆柱的（ ），是（ ）厘米；宽等于圆柱的（ ），是（ ）厘米；这个圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。这个过程体现了转化的数学思想。 4． 一节圆柱形烟囱的侧面积为12.56平方分米，长为2分米，它的底面半径是（ ）分米。 5． 一个圆柱侧面积是25.12平方厘米，底面直径是4分米，它的高是（ ）分米。 6． 制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。你认为（ ）和（ ）的材料搭配较合适，你选择的材料制作水桶的容积是多少升？王师傅用40平方分米的铁皮做成了这个水桶，王师傅制作水桶时的铁皮损耗率是多少？ 7． 今天是淘气的生日，同学们送给她一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，做蛋糕的阿姨说要配上十字形丝带才更漂亮（如下图），打结处要用25厘米。 （1） 捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？ （2） 在它的侧面贴上商标纸，商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 易错点3：计算圆柱的表面积时漏算两个底面积 规避策略：熟记并灵活运用圆柱表面积的计算公式。 公式 字母表示 圆柱表面积=圆柱侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr² 利用半径→S表=2πrh+2πr² 利用直径→S表=πdh+2π（）² 利用底面周长→S表=Ch+2π（）² 例题：计算圆柱的表面积。 1． 计算下面圆柱的表面积。 2． 下图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 3． 将一块长方形铁皮剪开（如图所示，单位：厘米），正好可以做成一个圆柱（接头处不计）。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 易错点4：计算半圆柱的表面积时漏算侧面的长方形面积 规避策略： 半圆柱的表面积=1个底面积+侧面积的一半+长方形面积； 半圆柱的体积=圆柱体积÷2。 例题：计算半圆柱的表面积及体积。 1． （判断）将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，一个半圆柱的表面积是原来圆柱表面积的。（ ） 2． 一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 3． 手工课上，小红带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留π） （1） 她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小红至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2） 她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 4． 计算下面图形的表面积和体积。（图中的半圆柱的底面直径是10厘米） 5． 求下面个圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 6． 求下面图形的体积（单位：厘米）。 7． 一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长是30米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1） 搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2） 大棚内的空间大约有多大？ 易错点5：解决与圆柱表面积相关的实际问题时，易受思维定式影响，直接用侧面积加两个底面积求解，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算 规避策略：具体问题具体分析。关键在于理清缺少的是哪个面、计算的又是哪几个面的面积。 常见三种情况：①侧面积+2个底面积；②侧面积+1个底面积；③侧面积。 例题：根据生活实际连一连。 1． （判断）计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。（ ） 2． 下列物体的表面积，能用3.14×8×20+3.14×16解决的是（ ）。 A. 笑笑从里面量一根圆柱形空心钢管，量得直径为8cm，高为20cm B. 淘气买了一个底面半径是4cm，高是20cm的圆柱形无盖笔筒 C. 奇思制作了一个无盖的圆柱形玩具，底面半径是16cm，高是20cm D. 妙想用彩纸做了一个半径为4厘米，高为20厘米的圆柱形灯笼，上下底面的中间共留出了56.52cm² 的圆孔，她用了多少彩纸？ 3． 红领巾鼓号队的大军鼓是圆柱形的，侧面是由不锈钢皮围成，上下面围的是PET聚脂鼓皮。做一个这样的队鼓至少需要（ ）平方分米的不锈钢皮，（ ）平方分米的PET聚脂鼓皮，以下正确选项是（ ）。（得数保留两位小数） A. 67.82；56.52 B. 67.82；28.26 C. 45.22；56.52 D. 45.22；28.26 4． 手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 5． 一个圆柱形水池，水池内壁直径是4米，深1.2米。    （1）水池内部底面周长是多少？ （2）水池内壁和底部都镶上瓷砖，镶瓷砖的面积是多少平方米？ （3）某工程队镶瓷砖的材料费是每平方米100元，人工费用每平方米比材料费多30%，做完这项工程一共要多少钱？ 6． 奶奶生日那天，乐乐买了一个美味的蜂蜜蛋糕，如下图，这个蛋糕的形状近似于圆柱。（单位：厘米） （1） 要包装这个生日蛋糕，上面3个蛋糕盒，选（ ）最合适。 （2） 蛋糕盒的底盘是塑料板，其余部分是硬纸板做成的。请你从上面任选一个蛋糕盒，算一算它至少用了多少平方厘米硬纸板？ 7． 贺州昭平茶叶历史悠久，品种丰富，许多品种的外包装盒都是采用圆柱形包装。如图是一个圆柱形茶叶罐（有盖）的规格尺寸。 （1）某昭平茶厂准备做100个这样的茶叶罐，用500平方分米的材料够吗？ （2）把10个这样的茶叶罐装入纸盒中（紧密放置，如图），这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 8． 妈妈的茶杯，这样放在桌上。（如下图） （1） 这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ （2） 茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带面积至少是多少平方厘米？（接头处忽略不计） （3） 这只茶杯装满水后的容积是多少？ 易错点6：圆柱切拼成一个近似的长方体，误认为体积和表面积都不变 规避策略：圆柱切拼成一个近似的长方体，形状改变、体积不变，表面积增加； 表面积增加2个以圆柱的底面半径r和圆柱的高h为相邻两边的长方形，即S增=2rh。 例题：如图所示，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体。这个近似的长方体和原来的圆柱相比较，下面说法正确的是（ ）。 A. 表面积变大，体积不变 B. 表面积不变，体积变大 C. 表面积和体积都变大 D. 表面积和体积都不变 1． （判断）把一个圆柱体底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积和体积都不变。（ ） 2． 将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm²，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（ ）cm³。 A. 25.12 B. 50.24 C. 62.8 D. 78.5 3． 把一个圆柱侧面展开后，得到一个长6.28分米，宽4分米的长方形，这个圆柱的体积可能是（ ）立方分米。 A. 62.8 B. 314 C. 12.56 4． 一个长6米的圆柱体状的木头，把它平均截成相等的三段，表面积增加了20平方分米，则这个圆柱体木头的体积是（ ）。 A. 30立方米 B. 300立方分米 C. 600立方分米 D. 60立方米 5． 如图，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后切开，拼起来，拼成的立体图形接近于长方体。 （1） 如果圆柱底面直径是4厘米，高是3厘米，那么长方体的底面积是（ ）平方厘米，高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 （2） 因为长方体的体积和圆柱的体积（ ），所以圆柱的体积是（ ）立方厘米。 6． 在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平方厘米。已知圆柱的高是10厘米，则圆柱的体积是多少？ 易错点7：对“倒置”问题理解不透彻 规避策略：瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以空余部分的体积也不变，将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积。 例1：一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米，小明喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，小明喝了多少毫升水？ 例2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图。已知瓶内有240ml酒精。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高6cm；当瓶子倒放时，空余部分高3cm。这个酒精瓶的容积是多少毫升？ 1． 一瓶装满的矿泉水，红红喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，内直径是6厘米。红红喝了多少毫升的水？ 2． 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 3． 如图，有一个装了360 ml饮料的瓶子，瓶中饮料的高度是16cm。把盖子拧紧后倒置放平，没有饮料的部分是圆柱形，高度是4cm，这个瓶子的容积是多少毫升? 4． 甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 （1） 这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2） 这个输液瓶的容积是多少毫升？ 易错点8：计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误 规避策略：求组合体的表面积时，应注意重叠部分的处理。 例题：一个3层蛋糕，每层高10厘米，各层底面半径分别为30厘米、20厘米、10厘米。这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 1． 计算下面图形的表面积和体积。 2． 计算下面图形的表面积和体积。 3． 综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（     ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 4． 一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱体木料，从上面的中心向下挖出一个半径6厘米、高6厘米的圆柱后，再接着向下挖出一个半径4厘米、高4厘米的小圆柱（如图），剩下物体的表面积是多少？ 易错点9：：从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 规避策略：认真审题，明确是否挖穿。 情况 图形 表面积变化 图形表面积 未挖穿 增加的表面积=小圆柱侧面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，大圆柱上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 因此，增加的表面积是小圆柱的侧面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 挖穿 空心圆柱 增加的表面积=小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积；与此同时，大圆柱上、下底面合计减少2个小圆柱底面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积 =大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 例1：在一个底面直径是5cm，高是8cm的大圆柱体的上面正中向下挖一个底面直径是2cm、高是2cm的小圆柱，大圆柱体的表面积增加的部分是小圆柱的（ ）。 A. 表面积 B. 侧面积与一个底面积的和 C. 侧面积 例2：在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如图），求剩下的表面积。 1． （判断）在圆柱体一个面的中间挖了一个小圆柱（没挖透），表面积减少了。（ ） 2． 求如图的表面积和体积。 ​ 3． 下图是一根钢管，求它的表面积和体积。（单位：cm） 4． 求下面图形的表面积。（单位：厘米） 5． 在一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆柱中挖了一个长方体小孔，这个长方体小孔的底面是一个边长为2厘米的正方形，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错盘点+典例分析+规避策略+举一反三 第三单元《圆柱与圆锥》 ( 目录 易错点1： 误认为圆柱的侧面展开图一定是长方形 ； 易错点 2 ： 侧面积计算公式掌握不牢，错误的使用底面直径或半径计算侧面积 ； 易错点3 ： 计算圆柱的表面积时漏算两个底面积； 易错点 4： 计算半圆柱的表面积时漏算侧面的长方形面积； 易错点 5： 解决与圆柱表面积相关的实际问题时，易受思维定式影响，直接用侧面积加两个底面积求解，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算； 易错点 6： 圆柱切拼成一个近似的长方体，误认为体积和表面积都不变； 易错点 7： 对 “ 倒置 ” 问题理解不透彻 ； 易错点 8： 计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误； 易错点 9： 从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 ) 易错点1：误认为圆柱的侧面展开图一定是长方形 规避策略：圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同。圆柱侧面展开图有四种：长方形、正方形、平行四边形、不规则图形。 ①侧面沿高展开，展开图是长方形（当底面周长等于圆柱的高，侧面展开图是正方形）； ②侧面沿斜线展开，展开图是平行四边形； ③侧面沿曲线展开，展开图是不规则图形。 【提示】：圆柱侧面只有沿高展开时，展开图是长方形（或正方形）； 圆柱侧面无论怎样展开，都得不到梯形。 例1：判断。（对的画“√”，错的画“×”） （1） 底面直径是d，高是d的圆柱的侧面展开图是正方形。（ × ） （2） 圆柱的侧面展开图不可能是平行四边形。（ × ） （3） 圆柱的侧面展开后是正方形，说明底面直径和高的比是1∶1。（ × ） 【答案】：（1）×；（2）×；（3）× 【分析】：（1）圆柱沿高展开，侧面展开图是长方形，且相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高，当底面周长等于圆柱的高时，侧面展开图是正方形。原题干说法错误，答案为：×； （1） 圆柱沿斜线展开，侧面展开图是平行四边形，原题干说法错误，答案为：×； （3）圆柱侧面展开后是正方形，说明底面周长等于圆柱的高，πd∶h=1∶1。原题干说法错误，答案为：×。 例2：底面直径和高相等的圆柱，侧面沿高展开后得到一个（ B ）。 A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 【答案】：B 【分析】：圆柱侧面沿高展开，根据“圆柱侧面沿高展开，展开图是长方形（或正方形）”可直接排除C； 沿高展开能否得到正方形，关键在于底面周长和圆柱的高是否相等。 由题可知，底面直径d=圆柱高h，则C=πd≠h，所以侧面沿高展开后得到一个长方形，故选B。 1． （判断）任意两个相同的圆和一个曲面就可以组成一个圆柱。（ × ） 【答案】：× 【分析】：圆柱由3个面围成，包含2个底面和1个侧面。其中： 2个底面是完全相同的圆，侧面是1个曲面，能否组成圆柱，关键要看底面周长和曲面的一条边是否相等。 曲面的一条边和底面周长相等时才可组成一个圆柱，反之不能。因此，任意两个相同的圆和一个曲面不一定可以组成一个圆柱。原题干说法错误，答案为：×。 2． （判断）圆柱的侧面展开图不是长方形就是正方形。（ × ） 【答案】：× 【分析】：圆柱侧面展开图有四种：长方形、正方形、平行四边形和不规则图形。其中： 圆柱侧面沿高展开是长方形或正方形；沿斜线展开是平行四边形；沿曲线展开是不规则图形。 原题干说法错误，答案为：×。 3． （判断）一个底面直径和高都是10厘米的圆柱，侧面沿高展开后得到一个正方形。（ × ） 【答案】：× 【分析】：圆柱侧面沿高展开后能否得到正方形，关键看底面周长和高是否相等。 由题可知，底面直径是10cm，代入“C=πd”，则圆柱的底面周长=3.14×10=31.4（cm），高=10cm； 底面周长≠高，所以该圆柱展开后不是正方形，是一个长31.4cm，宽10cm的长方形。 原题干说法错误，答案为：×。 4． （判断）如果圆柱体的高与底面周长相等，那么它的侧面沿高剪开再展开后是一个正方形。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：圆柱侧面沿高展开后是一个长方形，且相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高，当底面周长=圆柱的高时，侧面沿高展开后是正方形。原题干说法正确，答案为：√。 5． 圆柱的侧面展开后不可能是一个（ D ）。 ①平行四边形 ②长方形 ③正方形 ④梯形 ⑤圆 A. ①② B. ①②③ C. ①④⑤ D. ④⑤ 【答案】：D 【分析】：圆柱侧面展开图有四种：长方形、正方形、平行四边形和不规则图形。其中： 圆柱侧面沿高展开是一个长方形或正方形；圆柱侧面沿斜线展开是一个平行四边形； 圆柱侧面沿曲线展开是一个不规则图形。所以，圆柱侧面展开图不可能是梯形和圆，故选D。 6． 下面四幅图中，不可能是圆柱侧面展开图的是（ D ）。 【答案】：D 【分析】：圆柱侧面展开图有四种：长方形、正方形、平行四边形和不规则图形，且圆柱侧面无论怎样展开都得不到梯形，故选D。 7． 一个圆柱侧面展开图是正方形，它的高与底面直径的比是（ C ）。 A. 1∶1 B. 1∶π C. π∶1 D. 2∶1 【答案】：C 【分析】：“一个圆柱侧面展开图是正方形”，说明圆柱的底面周长=圆柱的高； 根据“C=πd”可得，圆柱的底面周长=圆柱的高=πd； 所以，高∶底面直径=πd∶d=π∶1，故选C。 8． 下面这些图形是圆柱展开图的有（ B ）个。（单位：cm） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】：B 【分析】：此类型题目解题的两个关键点： 一看侧面展开图是否符合，如侧面展开图是梯形、圆，可直接排除； 二能否组成圆柱，看底面周长和侧面展开图其中的一条边是否相等。 圆柱的展开图是上下两个圆加中间的侧面展开图，其中： ①沿高展开，且底面周长≠高，侧面展开图是长方形，相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高； ②沿高展开，且底面周长＝高，侧面展开图是正方形； ③沿斜线展开，侧面展开图是平行四边形，平行四边形的底=底面周长，平行四边形的高=圆柱的高； ④沿曲线展开，侧面展开图是不规则图形。 综上，圆柱侧面展开图可能是长方形、正方形、平行四边形和不规则图形，绝不可能是梯形。 选项A，侧面展开图是长方形，底面直径是2cm，代入“C=πd”，则底面周长=3.14×2=6.28（cm），底面周长=长方形的长，符合； 选项B，侧面展开图是长方形，底面直径是3cm，代入“C=πd”，则底面周长=3.14×3=9.42（cm），底面周长≠长方形的长和宽，不符合； 选项C，侧面展开图是平行四边形，底面直径是2cm，代入“C=πd”，则底面周长=3.14×2=6.28（cm），底面周长=平行四边形的底，符合； 选项D，侧面展开图是一个梯形，不符合。所以，有2个符合，故选B。 9． 一个圆柱体食品罐（如图）沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为314平方分米的平行四边形，那么这个食品罐的底面周长是（ 62.8 ）分米。 【答案】：62.8 【分析】：由图可知，沿斜线展开，圆柱侧面展开图是平行四边形，且平行四边形的底=圆柱的底面周长，平行四边形的高=圆柱的高。求食品罐的底面周长，也就是求平行四边形的底。 已知平行四边形面积是314dm²，高5dm，已知面积和高，求底，代入“底=平行四边形面积÷高”，则平行四边形的底，也就是这个食品罐的底面周长是314÷5=62.8（分米）。 10． 一个圆柱的侧面展开图是一个长25.12厘米、宽9.42厘米的长方形，这个圆柱的底面半径是多少厘米？（π取值3.14） 【答案】：4厘米或1.5厘米 【分析】：由题可知，圆柱的侧面展开图是一个长25.12cm、宽9.42cm的长方形，根据圆柱侧面展开图的特点分两种情况： （1） 长方形的长=圆柱的底面周长=25.12cm，长方形的宽=圆柱的高=9.42cm 已知底面周长，求底面半径，根据“C=2πr”，r=C÷2÷π=25.12÷2÷3.14=4（cm）； （2） 长方形的宽=圆柱的底面周长=9.42cm，长方形的长=圆柱的高=25.12cm 已知底面周长，求底面半径，根据“C=2πr”，r=C÷2÷π=9.42÷2÷3.14=1.5（cm）。 综上，这个圆柱的底面半径是4厘米或1.5厘米。 【解】：当长方形的长=圆柱的底面周长=25.12cm 底面半径：25.12÷2÷3.14=4（cm） 当长方形的宽=圆柱的底面周长=9.42cm 底面半径：9.42÷2÷3.14=1.5（cm） 答：这个圆柱的底面半径是4厘米或1.5厘米。 易错点2：侧面积计算公式掌握不牢，错误的使用底面直径或半径计算侧面积 规避策略：灵活运用侧面积计算公式，当题目已知底面半径/直径时，先求出底面周长，再乘高。 公式 字母表示 圆柱侧面积=底面周长×高 直接计算→S侧=Ch 利用底面半径→S侧=2πrh 利用底面直径→S侧=πdh 例1：选择材料，做一个圆柱形的容器，其中不能做成的是（ A ）。 A. 甲和① B. 甲和② C. 乙和① D. 乙和③ 【答案】：A 【分析】：制作一个圆柱形的容器，圆柱由3个面围成，包含2个底面和1个侧面。 两个底面是完全相同的圆；结合题中材料，侧面展开图是长方形和正方形，做成圆柱的关键在于底面周长和侧面展开图的一条边相等，据此逐一分析四个选项的组合。 选项A，①d=2cm，C=3.14×2=6.28（cm），甲边长9.42cm，底面周长≠甲边长，不能做成； 选项B，②d=3cm，C=3.14×3=9.42（cm），甲边长9.42cm，底面周长＝甲边长，能做成； 选项C，①d=2cm，C=3.14×2=6.28（cm），乙宽6.28cm，底面周长=乙宽，能做成； 选项D，③d=4cm，C=3.14×4=12.56（cm），乙长12.56cm，底面周长=乙长，能做成。 综上，故选A。 例2：压路机的滚筒是一个圆柱体，横截面的半径是0.5米，长是1.6米。如果这个压路机以每分钟转动12周的速度前进，每分钟能压路面多少平方米？（得数保留一位小数） 【答案】：60.3 【分析】：压路机的滚筒是一个圆柱，滚动一周压路面的面积=圆柱侧面积。 由题可知，每分钟转动12周，求每分钟能压路面多少平方米，先求出滚动一周压路面的面积。 已知圆柱的底面半径是0.5m，高1.6m，圆柱侧面积=底面周长×高=2πrh，代入数据，算出滚动一周压路面的面积，再乘12即可。 【解】：滚动一周压路面面积：2×3.14×0.5×1.6=5.024（平方米） 每分钟压路面面积：5.024×12≈60.3（平方米） 答：每分钟能压路面60.3平方米。 1． 张阿姨买了一个圆柱形透明玩具收纳桶（如图），这个收纳桶的侧面积是11304cm²，这个收纳桶的底面周长是（  D   ）cm。 A．9420 B．706.5 C．2826 D．94.2 【答案】：D 【分析】：已知圆柱的侧面积和高，求底面周长。根据“圆柱侧面积=底面周长×高”可知，底面周长=侧面积÷高，代入计算即可。此题注意单位统一。 1.2m=120cm，11304÷120=94.2（cm），所以这个收纳桶的底面周长是94.2cm，故选D。 2． 圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，圆柱的侧面积（ C ）。 A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 【答案】：C 【分析】：方法1：根据“S侧=Ch”，结合积的变化规律解答。 由题可知，底面直径扩大到原来的2倍，也就是底面周长扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，则S侧×2÷2=S侧，所以圆柱的侧面积不变，故选C； 方法2：利用圆柱侧面积计算公式推导。 设原圆柱的底面直径是d，高是h，则原圆柱侧面积=πdh； 底面直径扩大到原来的2倍，d→2d；高缩小到原来的，则h→h，则现圆柱侧面积=π×2d×h=πdh。 前后圆柱侧面积不变，故选C。 3． 把如图所示圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个长方形，从而就把圆柱求圆柱侧面积这个求曲面面积的问题变成了长方形面积的问题。这个长方形的长等于圆柱的（ 底面周长 ），是（ 25.12 ）厘米；宽等于圆柱的（ 高 ），是（ 10 ）厘米；这个圆柱的侧面积是（ 251.2 ）平方厘米。这个过程体现了转化的数学思想。 【答案】：底面周长；25.12；高；10；251.2 【分析】：结合题目信息可知，圆柱侧面沿高剪开得到一个长方形。 根据圆柱侧面展开图特点可知，长方形相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高。 底面直径是8cm，代入“C=πd”，则底面周长=3.14×8=25.12（cm）；高=10cm； 因此，长方形的长=底面周长=25.12（cm）； 长方形的宽=圆柱的高=10（cm）； 侧面积=长方形面积=长×宽=底面周长×高=25.12×10=251.2（cm²）。 4． 一节圆柱形烟囱的侧面积为12.56平方分米，长为2分米，它的底面半径是（ 1 ）分米。 【答案】：1 【分析】：“一节圆柱形烟囱长为2分米”，即圆柱高2dm。已知圆柱侧面积和高，求底面半径。 根据“S侧=2πrh”可知，r=S侧÷2÷π÷h，所以该圆柱形烟囱的底面半径是12.56÷2÷3.14÷2=1（dm）。 5． 一个圆柱侧面积是25.12平方厘米，底面直径是4分米，它的高是（ 0.02 ）分米。 【答案】：0.02 【分析】：已知圆柱侧面积和底面直径，求高。 注意单位统一，侧面积是25.12cm²，25.12cm²=0.2512dm²，底面直径是4dm，根据“S侧=πdh”可知，h=S侧÷π÷d，所以该圆柱的高是0.2512÷3.14÷4=0.02（dm）。 6． 制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。你认为（ B ）和（ C ）的材料搭配较合适，你选择的材料制作水桶的容积是多少升？王师傅用40平方分米的铁皮做成了这个水桶，王师傅制作水桶时的铁皮损耗率是多少？ 【答案】：B、C；15.7升；13.65% 【分析】：（1）由题可知，圆柱形水桶的侧面展开图是长方形，根据圆柱侧面展开图特点可知，长方形的相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高。 能否组成圆柱，关键要看底面周长和侧面展开图其中的一条边是否相等，先定底面，再选侧面。 B材料：底面直径是2dm，此时底面周长=2×3.14=6.28（dm），与材料C的长边相等，可组成圆柱。所以B和C搭配较合适； D材料：底面半径是4dm，此时底面周长=2×3.14×4=25.12（dm），材料A和C均不符合。 综上，B和C搭配较合适。 （2）求水桶的容积。该圆柱形水桶的侧面展开图是长方形，且长方形的宽=圆柱的高=5dm，已知圆柱的底面直径和高求容积，代入“V=π（）² h”计算。 3.14×（2÷2）²×5=15.7（dm³），15.7dm³=15.7L，所以选择的的材料制作水桶的容积是15.7升。 （2） 已知用40dm²的铁皮做成这个水桶，求损耗率，损耗率=。其中： 损耗材料=总材料-水桶表面积，所以求损耗率，关键在于算出水桶表面积。 无盖水桶，则水桶表面积=侧面积+1个底面积： 侧面积=长方形C面积=6.28×5； 底面积=圆形B面积=3.14×（2÷2）²，所以水桶表面积=6.28×5+3.14×（2÷2）²=34.54（dm²）； 用40dm²铁皮，做成的水桶表面积是34.54dm²，损耗率=（40-34.54）÷40×100%=13.65%。 【解】：（2）3.14×（2÷2）²×5=15.7（dm³） 15.7dm³=15.7L 答：选择的材料制作的水桶容积是15.7升。 （3）水桶表面积：6.28×5+3.14×（2÷2）²=34.54（dm²） 损耗率：（40-34.54）÷40×100%=13.65% 答：王师傅制作水桶时的铁皮损耗率是13.65%。 7． 今天是淘气的生日，同学们送给她一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，做蛋糕的阿姨说要配上十字形丝带才更漂亮（如下图），打结处要用25厘米。 （1） 捆扎这个蛋糕盒至少需要多长的丝带？ （2） 在它的侧面贴上商标纸，商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 【答案】：（1）245厘米；（2）2198平方厘米 【分析】：（1）蛋糕盒是圆柱形，求捆扎需要多长的丝带，关键在于数清用了几条直径、几条高。 由图可知，圆柱上底面有2条，则下底面也有2条，且长度等于直径，合计有直径：2+2=4（条）； 左侧有1条，则右侧也有1条，且长度等于高，合计有高：1+1=2（条）； 前面有1条，则后面也有1条，且长度等于高，合计有高：1+1=2（条）； 综上，需要丝带长度=4条直径+4条高+打结处。已知直径35cm，高20cm，代入计算即可。 （2）在侧面贴上商标纸，求商标纸的面积，也就是求圆柱侧面积。 已知底面直径35cm，高20cm，代入“圆柱侧面积=底面周长×高=πdh”计算即可。 【解】：（1）4×35+4×20+25=245（厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒至少需要245厘米的丝带。 （2）3.14×35×20=2198（平方厘米） 答：商标纸的面积至少是2198平方厘米。 易错点3：计算圆柱的表面积时漏算两个底面积 规避策略：熟记并灵活运用圆柱表面积的计算公式。 公式 字母表示 圆柱表面积=圆柱侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr² 利用半径→S表=2πrh+2πr² 利用直径→S表=πdh+2π（）² 利用底面周长→S表=Ch+2π（）² 例题：计算圆柱的表面积。 【答案】：251.2平方米 【分析】：圆柱由3个面围成，包含2个底面和1个侧面，圆柱表面积=圆柱侧面积+底面积×2。 由图可知，底面半径4m，高6m，利用底面半径求表面积，代入“S表=2πrh+2πr² ”计算。 【解】：S表=2πrh+2πr² =2×3.14×4×6+2×3.14×4² =150.72+100.48 =251.2（平方米） 1． 计算下面圆柱的表面积。 【答案】：（1）100.48平方厘米；（2）56.52平方分米 【分析】：根据圆柱表面积计算公式解答。 （1） 已知底面直径4cm、高6cm，利用底面直径求表面积，代入“S表=πdh+2π（）²”计算； （2）已知底面周长9.42dm、高4.5dm，利用底面周长求表面积，代入“S表=Ch+2π（）²”计算。 【解】：（1）S表=πdh+2π（）² =3.14×4×6+2×3.14×（4÷2）² =75.36+25.12 =100.48（cm²） （2） S表=Ch+2π（）² =9.42×4.5+2×3.14×（9.42÷2÷3.14）² =42.39+14.13 =56.52（dm²） 2． 下图是一张长方形铁皮，剪下两端两个圆和中间那块长方形，正好能做成一个圆柱。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】：1884平方厘米 【分析】：2个圆是圆柱的上、下底面，中间的长方形是圆柱的侧面。 由图可知，r=10cm，且d=长方形的宽≠πd，根据圆柱侧面展开图的特点可得，长方形的长=圆柱的底面周长，长方形的宽=圆柱的高=（10×2）cm； 也就是做成一个r=10cm，h=（10×2）cm的圆柱，求该圆柱的表面积，代入“S表=2πrh+2πr² ”计算。 【解】：S表=2πrh+2πr² =2×3.14×10×10×2+2×3.14×10² =1884（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是1884平方厘米。 3． 将一块长方形铁皮剪开（如图所示，单位：厘米），正好可以做成一个圆柱（接头处不计）。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】：3140平方厘米 【分析】：2个圆是圆柱的上、下底面，阴影长方形是圆柱的侧面。 由图可知，底面直径×2=40（cm），则底面直径是40÷2=20（cm）； 根据圆柱侧面展开图的特点，结合图中信息，阴影长方形的长=底面周长，阴影长方形的宽=圆柱的高=40cm； 也就是做成一个d=20cm，h=40cm的圆柱，求该圆柱的表面积，代入“S表=πdh+2π×（）²”计算。 【解】：底面直径：40÷2=20（厘米） 圆柱表面积：S表=πdh+2π×（）² =3.14×20×40+2×3.14×（20÷2）² =3140（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是3140平方厘米。 易错点4：计算半圆柱的表面积时漏算侧面的长方形面积 规避策略： 半圆柱的表面积=1个底面积+侧面积的一半+长方形面积； 半圆柱的体积=圆柱体积÷2。 例题：计算半圆柱的表面积及体积。 【答案】：表面积151.62平方厘米；体积113.04立方厘米 【分析】：观察图形可知，半圆柱的表面积=1个底面积+侧面积的一半+长方形面积。 已知底面直径6cm，高8cm，则： 1个底面积=πr²=3.14×（6÷2）²=28.26（cm²）； 侧面积的一半=×底面周长×圆柱的高=πdh=×3.14×6×8=75.36（cm²）； 长方形面积=长×宽=8×6=48（cm²）； 综上，半圆柱的表面积=28.26+75.36+48=151.62（cm²）。 半圆柱的体积=圆柱体积÷2。 已知底面直径和高，求体积，代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（6÷2）²×8； 半圆柱的体积是圆柱体积的一半，半圆柱的体积=3.14×（6÷2）²×8÷2=113.04（cm³）。 【解】：1个底面积：3.14×（6÷2）²=28.26（cm²） 侧面积的一半：×3.14×6×8=75.36（cm²） 长方形面积：8×6=48（cm²） 半圆柱的表面积：28.26+75.36+48=151.62（cm²） 半圆柱的体积：3.14×（6÷2）²×8÷2=113.04（cm³） 答：半圆柱的表面积是151.62平方厘米，体积是113.04立方厘米。 1． （判断）将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，一个半圆柱的表面积是原来圆柱表面积的。（ × ） 【答案】：× 【分析】：将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，如下图所示。 圆柱表面积=2个底面积+侧面积 1个半圆柱的表面积=1个底面积+侧面积的一半+长方形面积 据此可知，一个半圆柱的表面积比原圆柱表面积的多一个以圆柱的高和底面直径为相邻两边的长方形。因此，一个半圆柱的表面积不是原圆柱表面积的。原题干说法错误，答案为：×。 2． 一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 【答案】：表面积729.84平方厘米；体积1130.4立方厘米 【分析】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 半圆柱体积=圆柱体积的一半 底面直径是12cm，高是20cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×12×20÷2； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（12÷2）²； 代入“S=ab”，则长方形面积=12×20； 所以，半圆柱表面积=π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20=（156π+240）cm²。 根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=π×（12÷2）²×20÷2=360π（cm³） 【解】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 =π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20 =156π+240 =156×3.14+240 =729.84（cm²） 半圆柱体积=圆柱体积的一半 =π×（12÷2）²×20÷2 =360π =3.14×360 =1130.4（cm³） 3． 手工课上，小红带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留π） （1） 她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小红至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2） 她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 【答案】：（1）（16π+24）平方厘米；（2）6π平方厘米 【分析】：（1）求彩纸的面积，也就是求半圆柱的表面积。 彩纸面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形。 由题可知，将1个圆柱切成两个完全相同的半圆柱，增加的表面积是2个长方形，且相邻两边分别是圆柱底面直径和高，即2dh=48cm²，又知h=6cm，则d=48÷2÷6=4（cm）。 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×（48÷2）÷2=12π（cm²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（4÷2）²=4π（cm²）； 长方形面积=48÷2=24（cm²）。 所以，彩纸面积=12π+4π+24=（16π+24）cm²。 （2）把另一块捏成一个圆锥，橡皮泥前后体积不变，即圆锥体积=半圆柱体积。 根据“V=Sh”可知，S=3V÷h，已知高，求底面积，关键在于求出圆锥（半圆柱）体积。 半圆柱体积=圆柱体积的一半，根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=π×（4÷2）²×6÷2=12π（cm³）； 已知圆锥体积和高，求底面积，代入“S=3V÷h”计算即可。 【解】：（1）圆柱底面直径：48÷2÷6=4（cm） 彩纸面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形，其中： 圆柱侧面积的一半：π×（48÷2）÷2=12π（cm²） 圆柱底面积：π×（4÷2）²=4π（cm²） 长方形面积：48÷2=24（cm²） 彩纸面积：12π+4π+24=（16π+24）cm² 答：小红至少用了（16π+24）平方厘米的彩纸。 （2）圆锥体积：π×（4÷2）²×6÷2=12π（cm³） 圆锥底面积：12π×3÷6=6π（cm²） 答：这个陀螺的底面积是6π平方厘米。 4． 计算下面图形的表面积和体积。（图中的半圆柱的底面直径是10厘米） 【答案】：表面积2792.5平方厘米；体积7822.5立方厘米 【分析】：观察图形发现，该图形相当于从长方体中挖去1个半圆柱，表面积增加圆柱侧面积的一半；与此同时，减少1个圆柱底面积和1个长30cm、宽10cm的长方形面积。 因此，图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积-1个长方形 图形体积=长方体体积-半圆柱体积 长方体长30cm、宽20cm，高15cm；圆柱底面直径10cm，圆柱的高=长方体长=30cm，可得： 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（30×20+30×15+20×15）=2700（cm²）； 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×10×30÷2=150π（cm²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（10÷2）²=25π（cm²）； 代入“S=ab”，则长方形面积=30×10=300（cm²）； 所以，图形表面积=2700+150π-25π-300=（125π+2400）cm²。 代入“V=abh”，则长方体体积=30×20×15； 根据“V=π（）² h”，则圆柱体积的一半=π×（10÷2）²×30÷2； 所以，图形体积=30×20×15-π×（10÷2）²×30÷2=（9000-375π）cm³。 【解】：图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积-1个长方形，其中： 长方体表面积：2×（30×20+30×15+20×15）=2700（cm²） 圆柱侧面积的一半：π×10×30÷2=150π（cm²） 圆柱底面积：π×（10÷2）²=25π（cm²） 长方形面积：30×10=300（cm²） 图形表面积：2700+150π-25π-300 =125π+2400 =125×3.14+2400 =2792.5（cm²） 图形体积=长方体体积-半圆柱体积 =30×20×15-π×（10÷2）²×30÷2 =9000-375π =9000-375×3.14 =7822.5（cm³） 5． 求下面个圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积99.81平方厘米；体积56.52立方厘米 【分析】：图形表面积由3部分组成：①圆柱侧面积；②2个圆面积，相当于1个半圆，即圆柱底面积；③2个小长方形，相邻两边分别是底面半径和高。 因此，图形表面积=圆柱侧面积+圆柱底面积+2个长方形 图形体积=圆柱体积 圆柱底面半径是3cm，高是8cm，可得： 根据“S侧=2πrh”，则圆柱侧面积=×2π×3×8=12π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×3²=4.5π（cm²）； 根据“S=ab”，则2个长方形面积=3×8×2=48（cm²）； 所以，图形表面积=12π+4.5π+48=（16.5π+48）cm²。 根据“V=πr²h”，则图形体积=×3.14×3²×8=56.52（cm³）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+圆柱底面积+2个长方形，其中： 圆柱侧面积：×2π×3×8=12π（cm²） 圆柱底面积：π×3²=4.5π（cm²） 2个长方形面积：3×8×2=48（cm²） 图形表面积：12π+4.5π+48 =16.5π+48 =16.5×3.14+48 =99.81（cm²） 图形体积：×3.14×3²×8=56.52（cm³）。 6． 求下面图形的体积（单位：厘米）。 【答案】：214.2立方厘米 【分析】：观察图形发现，图形由两部分组成：的圆柱和一个长方体。 因此，图形体积=的圆柱体积+长方体体积。 圆柱的底面半径=长方体的高=2cm，圆柱的高=长方体的长=10cm，长方体的宽是6cm，可得： 根据“V=πr²h”，则的圆柱体积=×3.14×2²×10=94.2（cm³）； 根据“V=abh”，则长方体体积=10×6×2=120（cm³）； 所以，图形体积=94.2+120=214.2（cm³）。 【解】：图形体积=的圆柱体积+长方体体积，其中： 的圆柱体积：×3.14×2²×10=94.2（cm³） 长方体体积：10×6×2=120（cm³） 图形体积：94.2+120=214.2（cm³） 7． 一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长是30米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1） 搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2） 大棚内的空间大约有多大？ 【答案】：（1）200.96平方米；（2）188.4立方米 【分析】：（1）由题可知，搭建的这个塑料大棚是一个半圆柱。观察图形可知，需要塑料薄膜的面积=1个底面积+侧面积的一半，且底面直径是4m，圆柱的高是30m，其中： 底面积=πr²=3.14×（4÷2）²=12.56（m²）； 侧面积的一半=×πdh=×3.14×4×30=188.4（m²）； 需要塑料薄膜的面积=1个底面积+侧面积的一半=12.56+188.4=200.96（m²）； （2）求大鹏内的空间，也就是求半圆柱的体积，半圆柱的体积=圆柱体积÷2。 已知底面直径和高，求体积，代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（4÷2）²×30； 半圆柱体积，也就是大鹏内的空间是3.14×（4÷2）²×30÷2=188.4（m³）。 【解】：（1）底面积：3.14×（4÷2）²=12.56（m²） 侧面积的一半：×3.14×4×30=188.4（m²） 薄膜的面积：12.56+188.4=200.96（m²） 答：搭建这个大棚大约要用200.96平方米的塑料薄膜。 （2）大鹏内的空间：3.14×（4÷2）²×30÷2=188.4（m³） 答：大棚内的空间大约有188.4立方米。 易错点5：解决与圆柱表面积相关的实际问题时，易受思维定式影响，直接用侧面积加两个底面积求解，不能准确判断哪些面需要计算，哪些面不需要计算 规避策略：具体问题具体分析。关键在于理清缺少的是哪个面、计算的又是哪几个面的面积。 常见三种情况：①侧面积+2个底面积；②侧面积+1个底面积；③侧面积。 例题：根据生活实际连一连。 【答案】：见上图 【分析】： ①无盖小桶所需铁皮，求铁皮面积，也就是求无盖小桶的表面积，表面积=侧面积+1个底面积； ②圆柱形水池的占地面积，求占地面积，也就是求圆柱的底面积； ③通风管所需铁皮，求铁皮面积，也就是求通风管的表面积，通风管没底面，表面积=侧面积； ④压路机滚动一周压路的面积，也就是求圆柱的侧面积； ⑤油桶所需铁皮，求铁皮面积，也就是求油桶的表面积，表面积=侧面积+2个底面积。 1． （判断）计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积都是求圆柱的表面积。（ × ） 【答案】：× 【分析】：水桶没有上底面，则水桶表面积=侧面积+1个底面积； 通风管没有底面，则通风管表面积=侧面积。如下图所示： 综上，原题干说法错误，答案为：×。 2． 下列物体的表面积，能用3.14×8×20+3.14×16解决的是（ B ）。 A. 笑笑从里面量一根圆柱形空心钢管，量得直径为8cm，高为20cm B. 淘气买了一个底面半径是4cm，高是20cm的圆柱形无盖笔筒 C. 奇思制作了一个无盖的圆柱形玩具，底面半径是16cm，高是20cm D. 妙想用彩纸做了一个半径为4厘米，高为20厘米的圆柱形灯笼，上下底面的中间共留出了56.52cm² 的圆孔，她用了多少彩纸？ 【答案】：B 【分析】：选项A，圆柱形空心钢管，没有上、下底面，则表面积=侧面积。 已知底面直径8cm，高20cm，代入“S侧=πdh”，圆柱形空心钢管表面积是3.14×8×20。不符合； 选项B，圆柱形无盖笔筒，则表面积=侧面积+1个底面。已知底面半径4cm，高20cm，代入“S表=2πrh+πr²”，圆柱形无盖笔筒的表面积是2×3.14×4×20+3.14×4²=3.14×8×20+3.14×16。符合； 选项C，圆柱形无盖玩具，则表面积=侧面积+1个底面。已知底面半径16cm，高20cm，代入“S表=2πrh+πr²”，圆柱形无盖玩具的表面积是2×3.14×16×20+3.14×16²。不符合； 选项D，圆柱形灯笼，且上下底面的中间共留出56.52cm²的圆孔，则表面积=侧面积+底面积×2-圆孔面积。 已知底面半径4cm，高20cm，圆柱形灯笼共用彩纸2×3.14×4×20+2×3.14×4²-56.52。不符合。 综上，故选B。 3． 红领巾鼓号队的大军鼓是圆柱形的，侧面是由不锈钢皮围成，上下面围的是PET聚脂鼓皮。做一个这样的队鼓至少需要（ ）平方分米的不锈钢皮，（ ）平方分米的PET聚脂鼓皮，以下正确选项是（ C ）。（得数保留两位小数） A. 67.82；56.52 B. 67.82；28.26 C. 45.22；56.52 D. 45.22；28.26 【答案】：C 【分析】：由题可知，侧面由不锈钢皮围成，上下面由PET聚脂鼓皮围成，求需要多少平方分米的不锈钢皮和PET聚脂鼓皮，也就是求圆柱侧面积和圆柱两个底面积。 由图可知，底面直径6dm，高2.4dm 代入“S侧=πdh”，所以需要不锈钢皮3.14×6×2.4=45.216（dm²）≈45.22（dm²）； 根据“S=πr²”，则底面积×2=2πr²=2×3.14×（6÷2）²=56.52（dm²）。 所以做一个这样的队鼓至少需要45.22dm²的不锈钢皮，56.52dm²的PET聚脂鼓皮，故选C。 4． 手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是（ 62.8 ）平方分米，表面积是（ 75.36 ）平方分米。 【答案】：侧面积62.8平方分米；表面积75.36平方分米 【分析】：由题可知，该圆柱形纸灯笼的侧面展开图是一个长12.56dm，宽5dm的长方形，求灯笼的侧面积，也就是求这个长方形的面积，代入“S=ab”，灯笼的侧面积是12.56×5=62.8（dm²）； 求表面积，关键在于找准要算哪几个面的面积。 “只有一个底面”，则表面积=侧面积+1个底面积 结合题中图和圆柱侧面展开图的特点可知，长方形的长=底面周长=12.56dm，利用底面周长求表面积， S表=S侧+π（）²，代入计算即可。 62.8+3.14×（12.56÷2÷3.14）²=75.36（dm²） 所以，这个灯笼的侧面积是62.8平方分米，表面积是75.36平方分米。 5． 一个圆柱形水池，水池内壁直径是4米，深1.2米。    （1）水池内部底面周长是多少？ （2）水池内壁和底部都镶上瓷砖，镶瓷砖的面积是多少平方米？ （3）某工程队镶瓷砖的材料费是每平方米100元，人工费用每平方米比材料费多30%，做完这项工程一共要多少钱？ 【答案】：（1）12.56米；（2）27.632平方米；（3）6355.36元 【分析】：（1）由题可知，圆柱形水池的底面直径是4m，高1.2m。 求底面周长，代入“C=πd”，则水池内部底面周长是3.14×4=12.56（m）； （2）水池内壁和底部都镶上瓷砖，则瓷砖面积=侧面积+1个底面积。其中： 侧面积=Ch=12.56×1.2； 1个底面积=πr²=3.14×（4÷2）²； 瓷砖面积=侧面积+1个底面积=12.56×1.2+3.14×（4÷2）²=27.632（m²）。 （3）由题可知，工程总费用=材料费+人工费。其中： 材料费是每平方米100元，人工费用每平方米比材料费多30%，把每平方米材料费看作单位“1”，则每平方米人工费是材料费的（1+30%），每平方米人工费是100×(1+30%)； 每平方米材料费、人工费合计100×（1+1+30%）元，总面积是27.632平方米，所以做完这项工程一共要100×（1+1+30%）×27.632=6355.36（元）。 【解】：（1）3.14×4=12.56（米） 答：水池内部底面周长是12.56米。 （2）12.56×1.2+3.14×（4÷2）²=27.632（平方米） 答：镶瓷砖的面积是27.632平方米。 （3）100×（1+1+30%）×27.632=6355.36（元） 答：做完这项工程一共要6355.36元。 6． 奶奶生日那天，乐乐买了一个美味的蜂蜜蛋糕，如下图，这个蛋糕的形状近似于圆柱。（单位：厘米） （1） 要包装这个生日蛋糕，上面3个蛋糕盒，选（ ② ）最合适。 （2） 蛋糕盒的底盘是塑料板，其余部分是硬纸板做成的。请你从上面任选一个蛋糕盒，算一算它至少用了多少平方厘米硬纸板？ 【答案】：（1）②；（2）②号蛋糕盒至少用了942平方厘米硬纸板 【分析】：（1）蛋糕的形状近似于圆柱，由图可知，底面直径是15cm，高7cm，所选的蛋糕盒尺寸的底面直径和高都应大于蛋糕的尺寸，这样才能装下蛋糕且留有一定的空间，据此判断，选择②最合适； （2）选择②号蛋糕盒计算。蛋糕盒的底盘是塑料板，其余部分是硬纸板做成的，则硬纸板面积=侧面积+1个底面积。 已知蛋糕盒的底面直径是20cm，高10cm，代入“硬纸板面积=πdh+π（）²”计算即可。 【解】：（2）硬纸板面积=πdh+π（）² =3.14×20×10+3.14×（20÷2）² =628+314 =942（cm²） 答：它至少用了942平方厘米硬纸板。 7． 贺州昭平茶叶历史悠久，品种丰富，许多品种的外包装盒都是采用圆柱形包装。如图是一个圆柱形茶叶罐（有盖）的规格尺寸。 （1）某昭平茶厂准备做100个这样的茶叶罐，用500平方分米的材料够吗？ （2）把10个这样的茶叶罐装入纸盒中（紧密放置，如图），这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】：（1）材料够用；（2）9600立方厘米 【分析】：（1）先求出做100个这样的茶叶罐所需材料，再和500平方分米进行比较，注意单位统一。 由题可知，1个茶叶罐表面积=侧面积+底面积×2，底面直径是8cm，高15cm，代入“S表=πdh+2π（）²”，算出1个茶叶罐的表面积后，再乘100，求出做100个茶叶罐所需材料，最后与500平方分米进行比较。 （2）求这个纸盒的容积，也就是求长方体的容积。 由图可知，长方体的长=5条底面直径长、长方体的宽=2条底面直径长、长方体的高=圆柱的高，代入“V=abh”计算即可。 【解】：（1）1个茶叶罐表面积：3.14×8×15+2×3.14×（8÷2）²=477.28（cm²） 100个茶叶罐表面积：477.28×100=47728（cm²） 47728平方厘米=477.28平方分米 因477.28＜500，所以用500平方分米的材料够。 （2）纸盒的长：8×5=40（cm） 纸盒的宽：8×2=16（cm） 纸盒的高：15cm 纸盒容积：40×16×15=9600（cm³） 答：这个纸盒的容积是9600立方厘米。 8． 妈妈的茶杯，这样放在桌上。（如下图） （1） 这只茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ （2） 茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小明怕烫伤妈妈的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带面积至少是多少平方厘米？（接头处忽略不计） （3） 这只茶杯装满水后的容积是多少？ 【答案】：（1）28.26平方厘米；（2）94.2平方厘米；（3）423.9立方厘米 【分析】：（1）由图可知，茶杯是圆柱形，求这只茶杯占据桌面的面积，也就是求圆柱下底面的面积，且底面直径是6cm，根据“S=πr²”计算即可； （2）由图可知，中部的一圈装饰带相当于一个底面直径是6cm，高5cm的圆柱，求装饰带面积，也就是求这个圆柱的侧面积，代入“S侧=πdh”计算即可。 （3）由第（1）问可知，该茶杯的底面积是28.26cm²，求这只茶杯装满水后的容积，也就是求一个底面积是28.26cm²，高15cm的圆柱容积，代入“V=Sh”计算即可。 【解】：（1）3.14×（6÷2）²=28.26（cm²） 答：这只茶杯占据桌面的大小是28.26平方厘米。 （2）3.14×6×5=94.2（cm²） 答：装饰带面积至少是94.2平方厘米。 （3）28.26×15=423.9（cm³） 答：这只茶杯装满水后的容积是423.9立方厘米。 易错点6：圆柱切拼成一个近似的长方体，误认为体积和表面积都不变 规避策略：圆柱切拼成一个近似的长方体，形状改变、体积不变，表面积增加； 表面积增加2个以圆柱的底面半径r和圆柱的高h为相邻两边的长方形，即S增=2rh。 例题：如图所示，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体。这个近似的长方体和原来的圆柱相比较，下面说法正确的是（ A ）。 A. 表面积变大，体积不变 B. 表面积不变，体积变大 C. 表面积和体积都变大 D. 表面积和体积都不变 【答案】：A 【分析】：将圆柱切拼成长方体的过程中，体积没有增加或减少，所以体积不变； 观察图形发现： 圆柱侧面积=长方体的前、后两个面的面积之和（长×高×2）； 圆柱底面积×2=长方体的上、下两个面的面积之和（长×宽×2）； 圆柱侧面积+圆柱底面积×2=圆柱表面积=长方体前、后面+长方体上、下面 所以长方体的表面积比圆柱表面积多了左、右2个面。 综上，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，体积不变，表面积增加，故选A。 1． （判断）把一个圆柱体底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。这个长方体与原来的圆柱体相比较，表面积和体积都不变。（ × ） 【答案】：× 【分析】：把一个圆柱切开拼成一个近似的长方体，形状改变、体积不变，表面积增加。 圆柱侧面积=长方体的前、后两个面的面积之和； 圆柱底面积×2=长方体的上、下两个面的面积之和； 圆柱侧面积+圆柱底面积×2=圆柱表面积=长方体前、后面+长方体上、下面 所以，拼成的长方体的表面积比圆柱多了左、右两个面，因此长方体与圆柱体相比较，表面积增加。 综上，把一个圆柱体切开拼成一个近似的长方体，形状改变、体积不变，表面积增加。 原题干说法错误，答案为：×。 2． 将一个圆柱体剪切拼成一个近似的长方体后，它的表面积比原来增加了16cm²，已知圆柱的半径是2cm，那么圆柱的体积是（ B ）cm³。 A. 25.12 B. 50.24 C. 62.8 D. 78.5 【答案】：B 【分析】：此题关键在于找准16cm²对应的位置。 已知圆柱的底面半径，求圆柱体积，根据“V=πr²h”解答。 拼成的长方体的表面积比圆柱多左、右两个面，2个以底面半径r和圆柱的高h为边长的长方形，即2rh=16，则rh=16÷2； 圆柱体积=πr²h=πr×rh=3.14×2×（16÷2）=50.24（cm³），所以圆柱的体积是50.24cm³，故选B。 3． 把一个圆柱侧面展开后，得到一个长6.28分米，宽4分米的长方形，这个圆柱的体积可能是（ C ）立方分米。 A. 62.8 B. 314 C. 12.56 【答案】：C 【分析】：由题可知，一个圆柱侧面展开是一个长方形，根据圆柱侧面展开图的特点可知，长方形的相邻两边分别是圆柱的底面周长和圆柱的高。 两种情况： ①长方形的长=圆柱的底面周长，则长方形的宽=圆柱的高； ②长方形的宽=圆柱的底面周长，则长方形的长=圆柱的高。 根据“C＝2πr”，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径r，再代入“V＝πr2h”，即可求出圆柱体积。 ①圆柱的底面周长为6.28分米、高为4分米： 圆柱的底面半径：6.28÷3.14÷2＝1（分米） 圆柱的体积：3.14×12×4＝12.56（立方分米） ②圆柱的底面周长为4分米，高为6.28分米： 圆柱的底面半径：4÷3.14÷2≈0.6（分米） 圆柱的体积：3.14×0.62×6.28≈7.1（立方分米） 所以，这个圆柱的体积可能是12.56立方分米或7.1立方分米，故选C。 4． 一个长6米的圆柱体状的木头，把它平均截成相等的三段，表面积增加了20平方分米，则这个圆柱体木头的体积是（ B ）。 A. 30立方米 B. 300立方分米 C. 600立方分米 D. 60立方米 【答案】：B 【分析】：求圆柱体木头的体积，根据“V=Sh”，已知高是6m，关键在于算出圆柱的底面积。 由题可知，将圆柱平均截成相等的3段，需要切（3-1）次，增加底面2×（3-1）=4（个），又知表面积增加了20dm²，也就是4个底面积是20dm²，则底面积=20÷4=5（dm²）； 已知圆柱底面积是5dm²，高6m，注意单位统一，6m=60dm,求圆柱的体积，代入“V=Sh”计算。 5×60=300（dm³），所以这个圆柱体木头的体积是300立方分米，故选B。 5． 如图，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后切开，拼起来，拼成的立体图形接近于长方体。 （1） 如果圆柱底面直径是4厘米，高是3厘米，那么长方体的底面积是（ 12.56 ）平方厘米，高是（ 3 ）厘米，体积是（ 37.68 ）立方厘米。 （2） 因为长方体的体积和圆柱的体积（ 相等 ），所以圆柱的体积是（ 37.68 ）立方厘米。 【答案】：（1）12.56平方厘米；3厘米；37.68立方厘米；（2）相等；37.68立方厘米 【分析】：根据圆柱体积的计算公式推导过程解答。 （1）把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后切开，拼起来，拼成的长方体和原圆柱之间的关系如下： 长方体的底面积=圆柱的底面积，已知圆柱底面直径是4cm，代入“S=πr²”，则圆柱的底面积，也就是长方体的底面积是3.14×（4÷2）²=12.56（cm²）； 长方体的高=圆柱的高=3cm； 长方体的体积=圆柱的体积=底面积×高=12.56×3=37.68（cm³）。 （2）所拼成的长方体的体积和圆柱的体积相等，所以圆柱的体积是37.68cm³。 6． 在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平方厘米。已知圆柱的高是10厘米，则圆柱的体积是多少？ 【答案】：3140立方厘米 【分析】：根据“V=πr²h”解答，已知圆柱的高是10cm，关键在于算出底面半径。 由题可知，把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，拼成的近似长方体比原圆柱表面积多了左、右2个面，且相邻两边分别是圆柱的底面半径和高，则S增=2×r×h=2rh； 又知表面积增加了200平方厘米，也就是2rh=200，r=200÷2÷h=200÷2÷10=10（cm）； 已知底面半径和圆柱的高，求圆柱体积，代入“V=πr²h”，圆柱体积是3.14×10²×10=3140（cm³）。 【解】：圆柱的底面半径：200÷2÷10=10（cm） 圆柱的体积：3.14×10²×10=3140（cm³） 答：圆柱的体积是3140立方厘米。 易错点7：对“倒置”问题理解不透彻 规避策略：瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以空余部分的体积也不变，将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积。 例1：一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米，小明喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，小明喝了多少毫升水？ 【答案】：502.4 【分析】：一瓶装满水的矿泉水，喝了一些后，瓶盖拧紧倒置平放，空余部分也就是小明喝掉的水体积。 观察图形可知，空余部分是一个底面直径8cm，高10cm的圆柱，求体积，代入“V=π（）² h”，则空余部分，也就是小明喝掉的水体积是3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³），注意单位统一，502.4cm³=502.4ml。 【解】：3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³） 502.4cm³=502.4ml 答：小明喝了502.4毫升水。 例2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图。已知瓶内有240ml酒精。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高6cm；当瓶子倒放时，空余部分高3cm。这个酒精瓶的容积是多少毫升？ 【答案】：360 【分析】：方法1：酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱，再根据“V=Sh”求解。 瓶内酒精正放或倒放，前后体积不变，因此空余部分体积也不变，则瓶容积=正放时酒精体积+倒放时空余部分体积，据此将酒精瓶转化成一个高（6+3）cm的圆柱，如右上图所示。 求酒精瓶的容积，根据“V=Sh”，已知高是（6+3）cm，关键在于算出酒精瓶的底面积。 瓶子正放时，有240ml酒精，酒精体积相当于一个高6cm的圆柱体积，根据“V=Sh”可知，S=V÷h，代入计算，求出酒精瓶的底面积； 240ml=240cm³，酒精瓶底面积是240÷6=40（cm²）。 已知酒精瓶底面积40cm²，高（6+3）cm，求容积，代入“V=Sh”计算即可。 【解】：240ml=240cm³ 酒精瓶底面积：240÷6=40（cm²） 酒精瓶容积：40×（6+3）=360（cm³），360cm³=360ml 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 方法2：根据“V=Sh”，圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1，将酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱。已知酒精瓶正放时，酒精体积相当于一个与酒精瓶等底、高6cm的圆柱。 圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。已知酒精瓶高（3+6）cm，酒精高6cm，则酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3，即瓶子容积是酒精体积的。 已知酒精体积240ml，则瓶子容积是240×=360（ml）。 【解】：圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3 瓶子容积：240×=360（ml） 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 1． 一瓶装满的矿泉水，红红喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，内直径是6厘米。红红喝了多少毫升的水？ 【答案】：282.6毫升 【分析】：由题可知，原瓶是装满水的，因此小红喝掉的水量等于瓶中无水部分的体积。 瓶中无水部分相当于1个与瓶子等底，高10cm的圆柱，且瓶内直径6cm，代入“V=π（）² h”计算即可，注意单位换算。 【解】：3.14×（6÷2）²×10=282.6（cm³） 282.6cm³=282.6ml 答：红红喝了282.6毫升的水。 2． 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 【答案】：750毫升 【分析】：方法1：根据题目已知条件求出瓶子底面积，再代入“V=Sh”求体积。 求瓶中葡萄酒的体积。由图可知，瓶中酒相当于1个与瓶子等底、高15cm的圆柱，根据“V=Sh”，已知高，要求体积，关键在于算出瓶子的底面积。 瓶子容积一定，无论正放还是倒放，瓶中的酒体积不变，所以空余部分体积也不变。 如右上图所示，①、②调换，则瓶子容积等于两个圆柱的体积和，即： 瓶子容积=正放时酒体积+倒放时空余部分的体积。 据此，将瓶子转化成1个与瓶子等底，高（15+6）cm的圆柱。 又知瓶子容积，即圆柱容积是1050cm³，根据“S=V÷h”，则瓶子底面积1050÷（15+6）=50（cm²）； 已知底面积和高，求体积，代入“V=Sh”计算即可，注意单位换算。 【解】：瓶子底面积：1050÷（15+6）=50（cm²） 葡萄酒体积：50×15=750（cm³），750cm³=750ml 答；瓶中有750毫升的葡萄酒。 方法2：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1可知，瓶子相当于1个与瓶子等底、高（15+6）cm的圆柱； 瓶中酒相当于1个与瓶子等底、高15cm的圆柱； 根据“两个圆柱的底面积相等时，体积之比等于高之比”，可得： 也就是V酒是V瓶的，已知V瓶是1050cm³，则V酒=1050×=750（cm³），750cm³=750ml。 【解】：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比 葡萄酒体积：1050×=750（cm³），750cm³=750ml 答；瓶中有750毫升的葡萄酒。 3． 如图，有一个装了360 ml饮料的瓶子，瓶中饮料的高度是16cm。把盖子拧紧后倒置放平，没有饮料的部分是圆柱形，高度是4cm，这个瓶子的容积是多少毫升? 【答案】：450毫升 【分析】：方法1：根据题目已知条件求出瓶子底面积，再代入“V=Sh”求容积。 将瓶子转化成1个与瓶子等底，高（16+4）cm的圆柱。求圆柱容积，根据“V=Sh”，已知高，关键在于算出瓶子的底面积。 瓶中饮料相当于1个与瓶子等底、高16cm的圆柱，已知饮料体积是360ml，360ml=360cm³，根据“S=V÷h”，则瓶子底面积是360÷16=22.5（cm²）； 已知底面积和高，求容积，代入“V=Sh”计算即可，注意单位换算。 【解】：360ml=360cm³ 瓶子底面积：360÷16=22.5（cm²） 瓶子容积：22.5×（16+4）=450（cm³），450cm³=450ml 答：这个瓶子的容积是450毫升。 方法2：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1可知，瓶子相当于1个与瓶子等底、高（16+4）cm的圆柱； 瓶中饮料相当于1个与瓶子等底、高16cm的圆柱； 根据“两个圆柱的底面积相等时，体积之比等于高之比”，可得： 也就是V饮是V瓶的，已知V饮是360ml，则V瓶=360÷=450（ml）。 【解】：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比 瓶子容积：360÷=450（ml） 答：这个瓶子的容积是450毫升。 4． 甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 （1） 这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2） 这个输液瓶的容积是多少毫升？ 【答案】：（1）25平方厘米；（2）350毫升 【分析】：（1）由图①可知，瓶中液体相当于一个与瓶子等底，高10cm的圆柱。 液体是250毫升，250ml=250cm³，也就是已知该圆柱的体积和高，求底面积，代入“S=V÷h”，则这个输液瓶的底面积是250÷10=25（cm²）。 （2）瓶中原有250ml液体，10分钟后，瓶中剩余液体如图②所示。 瓶子容积=瓶中剩余液体体积+空余部分体积，其中： 瓶中剩余液体体积=250-10分钟输液量。平均每分钟5毫升的液体速度，则10分钟的输液量是（10×5）ml，图②瓶中剩余液体体积=250-10×5=200（ml）； 图②中空余部分体积相当于1个与瓶子等底，高6cm的圆柱，结合第（1）问已知输液瓶的底面积是25cm²，则空余部分体积是（25×6）cm²； 求出瓶中剩余液体和空余部分体积后，相加求和即可，注意单位换算。 【解】：（1）250ml=250cm³ 250÷10=25（cm²） 答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。 （2）图②瓶中剩余液体：250-10×5=200（ml） 图②瓶中空余部分：25×6=150（cm³） 150cm³=150ml 输液瓶容积：200+150=350（ml） 答：这个输液瓶的容积是350毫升。 易错点8：计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误 规避策略：求组合体的表面积时，应注意重叠部分的处理。 例题：一个3层蛋糕，每层高10厘米，各层底面半径分别为30厘米、20厘米、10厘米。这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】：9420平方厘米 【分析】：方法1：蛋糕表面积=三个圆柱表面积之和-重叠部分面积。 从上至下，小、中、大三个圆柱摆在一起，会减少2个小圆柱和2个中圆柱的底面积，即： 蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱表面积+小圆柱表面积-小圆柱底面积×2-中圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积。 已知小、中、大3个圆柱的底面半径依次是10cm、20cm、30cm，且高都是10cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²）； 根据“S侧=2πrh”，则小、中圆柱侧面积之和=2π×（10+20）×10=600π（cm²）； 所以，蛋糕表面积=2400π+600π=3000π（cm²）。 【解】：蛋糕面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积，其中： 大圆柱表面积：2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²） 小、中圆柱侧面积之和：2π×（10+20）×10=600π（cm²） 蛋糕表面积：2400π+600π =3000π =3000×3.14 =9420（cm²） 答：这个蛋糕的表面积是9420平方厘米。 方法2：结合三视图法解答。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面，其中， 该组合体从上面看是三个同心圆，且面积和组合体的下面相等，是大圆柱的底面积，如下图所示： 该组合体的侧面包含大圆柱、中圆柱和小圆柱的侧面积。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面 =大圆柱底面积×2+大圆柱侧面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 根据题目已知条件，算出大圆柱表面积，中、小圆柱侧面积，再相加求和。 1． 计算下面图形的表面积和体积。 【答案】：表面积261.12平方分米；体积252.56立方分米 【分析】：观察图形发现，圆柱和长方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 组合体表面积=圆柱表面积+长方体表面积-圆柱底面积×2 =圆柱侧面积+长方体表面积 因此，图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积 图形体积=圆柱体积+长方体体积 圆柱底面直径是2dm，高4dm；长方体长8dm，宽6dm，高5dm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×2×4； 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=（8×6+8×5+6×5）×2； 所以，图形表面积=3.14×2×4+（8×6+8×5+6×5）×2=261.12（dm²）。 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（2÷2）²×4； 代入“V=abh”，则长方体体积=8×6×5； 所以，图形体积=3.14×（2÷2）²×4+8×6×5=252.56（dm³）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积 =3.14×2×4+（8×6+8×5+6×5）×2 =25.12+236 =261.12（dm²） 图形体积=圆柱体积+长方体体积 =3.14×（2÷2）²×4+8×6×5 =12.56+240 =252.56（dm³） 2． 计算下面图形的表面积和体积。 【答案】：表面积514.96平方厘米；体积766.16立方厘米 【分析】：观察图形发现，两个圆柱摆在一起，减少2个小圆柱底面积，即： 图形表面积=小圆柱表面积+大圆柱表面积-小圆柱底面积×2 =小圆柱侧面积+大圆柱表面积 因此，图形表面积=小圆柱侧面积+大圆柱表面积 图形体积=小圆柱体积+大圆柱体积 小圆柱底面直径是8cm，高4cm；大圆柱底面直径是12cm，高是5cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则小圆柱侧面积=π×8×4； 代入“S表=πdh+2π（）²”，则大圆柱表面积=π×12×5+2π×（12÷2）²； 所以，图形表面积=π×8×4+π×12×5+2π×（12÷2）²=164π（cm²）。 代入“V=π（）² h”，则小圆柱体积=π×（8÷2）²×4；大圆柱体积=π×（12÷2）²×5； 所以，图形体积=π×（8÷2）²×4+π×（12÷2）²×5=244π（cm³）。 【解】：图形表面积=小圆柱侧面积+大圆柱表面积 =π×8×4+π×12×5+2π×（12÷2）² =32π+60π+72π =164π =164×3.14 =514.96（cm²） 图形体积=小圆柱体积+大圆柱体积 =π×（8÷2）²×4+π×（12÷2）²×5 =64π+180π =244π =244×3.14 =766.16（cm³） 【提示】：求表面积时，也可结合三视图法解答。 图形表面积=上面+下面+侧面，其中： 该图形从上面看是两个同心圆，且面积和图形的下面相等，是大圆柱的底面积； 该图形的侧面包含大、小圆柱的侧面积。 图形表面积=上面+下面+侧面 =大圆柱底面积×2+大圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 因此，图形表面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积。根据题目已知条件算出大圆柱表面积和小圆柱侧面积，再相加求和。 3． 综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（   C  ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【答案】：C 【分析】：圆柱上底面向下平移，用布面积由两部分组成：①圆柱侧面积；②1个直径长（20+10×2）cm的大圆面积。因此，用布面积=圆柱侧面积+大圆面积。 圆柱的底面直径是20cm，高是10cm；大圆直径是（20+10×2）cm，可得： 代入“S侧=πdh”,则圆柱侧面积=π×20×10=200π（cm²）； 代入“S=πr²”，则大圆面积=π×（）²=400π（cm²）； 所以，用布面积=200π+400π=600π=600×3.14=1884（cm²），故选C。 4． 一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱体木料，从上面的中心向下挖出一个半径6厘米、高6厘米的圆柱后，再接着向下挖出一个半径4厘米、高4厘米的小圆柱（如图），剩下物体的表面积是多少？ 【答案】：2210.56平方厘米 【分析】：结合三视图法解答。剩下物体表面积=上面+下面+侧面，其中： 该物体从上面看是三个同心圆，且面积和物体下面相等，是大圆柱的底面积，如下图所示： 该物体的侧面包含小、中、大三个圆柱的侧面积。 剩下物体表面积=大圆柱侧面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积+大圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，剩下物体表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积。 大圆柱底面半径是10cm，高是20cm；中圆柱的底面半径是6cm，高6cm；小圆柱的底面半径是4cm，高是4cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×10×20+2π×10²=600π（cm²）； 根据“S侧=2πrh”，则中、下圆柱侧面积之和=2π×6×6+2π×4×4=104π（cm²）； 所以，剩下物体表面积=600π+104π=704π（cm²） 【解】：剩下物体表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =2π×10×20+2π×10²+2π×6×6+2π×4×4 =600π+104π =704π =704×3.14 =2210.56（cm²） 答：剩下物体的表面积是2210.56平方厘米。 易错点9：：从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 规避策略：认真审题，明确是否挖穿。 情况 图形 表面积变化 图形表面积 未挖穿 增加的表面积=小圆柱侧面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，大圆柱上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 因此，增加的表面积是小圆柱的侧面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 挖穿 空心圆柱 增加的表面积=小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积；与此同时，大圆柱上、下底面合计减少2个小圆柱底面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积 =大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 例1：在一个底面直径是5cm，高是8cm的大圆柱体的上面正中向下挖一个底面直径是2cm、高是2cm的小圆柱，大圆柱体的表面积增加的部分是小圆柱的（ C ）。 A. 表面积 B. 侧面积与一个底面积的和 C. 侧面积 【答案】：C 【分析】：根据题意画图如下： 小圆柱高2cm，大圆柱高8cm，2＜8，未挖透。 挖去1个小圆柱后，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积，与此同时，大圆柱上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。因此，增加的表面积=小圆柱侧面积，故选C。 例2：在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如图），求剩下的表面积。 【答案】：187.68平方厘米 【分析】：在正方体中间挖了一个圆柱形的孔，且挖透，表面积增加圆柱侧面积，与此同时正方体上、下面合计减少2个圆柱底面积。 因此，剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积。 正方体棱长是5cm；圆柱的底面半径是2cm，圆柱的高=正方体棱长=5cm，可得： 代入“S=6a²”，则正方体表面积=6×5×5=150（cm²）； 代入“S侧=2πrh”，则圆柱侧面积=2π×2×5=20π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则2个圆柱底面积=2π×2²=8π（cm²）； 所以，剩下表面积=150+20π-8π=（150+12π）cm²。 【解】：剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积，其中： 正方体表面积：6×5×5=150（cm²） 圆柱侧面积：2π×2×5=20π（cm²） 2个圆柱底面积：2π×2²=8π（cm²） 剩下表面积：150+20π-8π =150+12π =150+12×3.14 =187.68（cm²） 答：剩下的表面积是187.68平方厘米。 1． （判断）在圆柱体一个面的中间挖了一个小圆柱（没挖透），表面积减少了。（ × ） 【答案】：× 【分析】：根据题意画图如下： 观察图形发现，在大圆柱一个面的中间挖了一个小圆柱，没挖透，表面积增加小圆柱的侧面积和1个小圆柱的底面积；与此同时，大圆柱的上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。因此表面积增加小圆柱侧面积。原题干说法错误，答案为：×。 2． 求如图的表面积和体积。 ​ 【答案】：表面积345.4平方分米；体积157立方分米。 【分析】：观察图形可知，空心圆柱的上、下面是2个圆环，且1个圆环面积=大圆柱底面积-小圆柱底面积。 因此，空心圆柱表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积 大圆柱底面直径是6dm，小圆柱底面直径是4dm，2个圆柱的高是10dm，可得： 代入“S侧=πdh”，则大小圆柱侧面积之和=π×（4+6）×10=100π（dm²）； 根据“S=π（R²-r²）”，则2个圆环面积=π×[（6÷2）²-（4÷2）²]×2=10π（dm²）； 所以，空心圆柱表面积=100π+10π=110π（dm²）。 根据“V=πr²h”，则空心圆柱体积=3.14×[（6÷2）²-（4÷2）²]×10=157（dm³）。 【解】：空心圆柱表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 =π×（4+6）×10+π×[（6÷2）²-（4÷2）²]×2 =100π+10π =110π =110×3.14 =345.4（dm²） 空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =3.14×[（6÷2）²-（4÷2）²]×10 =3,14×50 =157（dm³） 3． 下图是一根钢管，求它的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积1752.12平方厘米；体积847.8立方厘米 【分析】：钢管表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 钢管体积=大圆柱体积-小圆柱体积 大圆柱底面直径是10cm、小圆柱底面直径是8cm，大小圆柱的高是30cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则大小圆柱侧面积之和=π×（8+10）×30=540π（cm²）； 根据“S环=π（R²-r²）”，则2个圆环面积=π×[（10÷2）²-（8÷2）²]×2=18π（cm²）； 所以，钢管表面积=540π+18π=558π（cm²）。 根据“V=πr²h”，则钢管体积=3.14×[（10÷2）²-（8÷2）²]×30=847.8（cm³）。 【解】：钢管表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 =π×（8+10）×30+π×[（10÷2）²-（8÷2）²]×2 =540π+18π =558π =558×3.14 =1752.12（cm²） 钢管体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =3.14×[（10÷2）²-（8÷2）²]×30 =3.14×9×30 =847.8（cm³） 4． 求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】：675.36平方厘米 【分析】：观察图形可知，在正方体挖了一个圆柱，圆柱高＜正方体棱长，未挖透。 挖1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，正方体上面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 所以，图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积。 正方体棱长是10cm；圆柱底面直径是4cm，高是6cm，可得： 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×10×10； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×4×6； 所以，图形表面积=6×10×10+3.14×4×6=675.36（cm²）。 【解】：图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积 =6×10×10+3.14×4×6 =600+75.36 =675.36（cm²） 5． 在一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆柱中挖了一个长方体小孔，这个长方体小孔的底面是一个边长为2厘米的正方形，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】：385.4平方厘米 【分析】：观察图形可知，在圆柱中心挖了一个长方体，且挖透。 表面积增加长方体4个侧面（前后左右）；与此同时，减少长方体2个面（上、下），因此： 图形表面积=圆柱表面积+长方体4个侧面-长方体上、下面 圆柱的底面半径是5cm，高是6cm；长方体长6cm，宽2cm，高2cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则圆柱表面积=2×π×5×6+2π×5²=110π（cm²）； 长方体4个侧面=2×6×4=48（cm²）； 长方体上、下面=2×2×2=8（cm²）； 所以，图形表面积=110π+48-8=（110π+40）cm²。 【解】：图形表面积=圆柱表面积+长方体4个侧面-长方体上、下面，其中： 圆柱表面积：2×π×5×6+2π×5²=110π（cm²） 长方体4个侧面：2×6×4=48（cm²） 长方体上、下面：2×2×2=8（cm²） 图形表面积：110π+48-8 =110×3.14+40 =385.4（cm²） ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$