7.2 复数的四则运算（七个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

7.2 复数的四则运算 一、复数的加减运算 五、根据四则运算求参数 二、复数加、减法的几何意义 六、复数范围内分解因式 三、复数的乘法及乘方 七、复数范围内方程的根 四、复数的除法 知识点1复数的加减法及其几何意义 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 1.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 2.复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 重难点一、复数的加减运算 【例1】计算下列各题． (1)； (2)． 【例2】已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【变式1-1】（1）计算：； （2）已知复数z满足，求z. 【变式1-2】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设，，，，求复数. 重难点二、复数加、减法的几何意义 【例3】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【例4】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【变式2-1】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式2-3】已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为 . 知识点2复数的乘除法 设是任意两个复数 运算 计算公式 乘法 除法 重难点三、复数的乘法及乘方 【例5】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【例6】已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 【变式3-1】复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】已知，则的虚部为（    ） A． B．4 C． D． 【变式3-3】设i是虚数单位，则 ． 重难点四、复数的除法 【例7】已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例8】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 【变式4-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 重难点五、根据四则运算求参数 【例9】虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【例10】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式5-1】设为虚数单位，且，则 ． 【变式5-2】设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 重难点六、复数范围内分解因式 【例11】在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【例12】（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【变式6-1】在复数范围内分解因式：. 【变式6-2】在复数范围内分解因式的结果为 ． 【变式6-3】多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 重难点七、复数范围内方程的根 【例13】若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【例14】复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知是关于的方程的一个根，则 ． 【变式7-3】（多选）在复数范围内，方程的两根分别为，，且，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．为实数 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知复数，则（    ） A．2 B． C． D．3 4．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 二、多选题 7．复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限 8．复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 三、填空题 9．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 10．若定义一种运算：.已知为复数，且，则复数 11．已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 四、解答题 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 14．已知 (1)是z的共轭复数，求的值； (2)求的值． 15．已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 复数的四则运算 一、复数的加减运算 五、根据四则运算求参数 二、复数加、减法的几何意义 六、复数范围内分解因式 三、复数的乘法及乘方 七、复数范围内方程的根 四、复数的除法 知识点1复数的加减法及其几何意义 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 1.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 2.复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 重难点一、复数的加减运算 【例1】计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 【例2】已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-1】（1）计算：； （2）已知复数z满足，求z. 【答案】（1）（2）. 【解析】（1）由复数加减法法则计算； （2）根据复数加减法定义计算． 【详解】（1）. （2）因为，所以. 【点睛】本题考查算数的加减法运算，掌握复数加减法法则是解题关键． 【变式1-2】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 【变式1-3】设，，，，求复数. 【答案】 【解析】设，求出，代入中，利用复数相等的充要条件，建立方程，求解即可. 【详解】设，， ， ∴.∴. 【点睛】本题考查复数的代数运算和共轭复数的求法，应用复数相等的充要条件是解题的关键，属于基础题. 重难点二、复数加、减法的几何意义 【例3】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【例4】已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 【变式2-1】复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式2-2】在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 【变式2-3】已知在复平面上的中，对应的复数为，对应的复数为，则向量对应的复数为 . 【答案】 【解析】表示为，代入相对应的复数即可得解. 【详解】设的对角线与相交于点P，由向量加减法的几何意义可得，所以对应的复数为. 故答案为： 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题. 知识点2复数的乘除法 设是任意两个复数 运算 计算公式 乘法 除法 重难点三、复数的乘法及乘方 【例5】若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，因此， 则，，即，所以. 故选：A 【例6】已知复数满足：（，i为虚数单位），则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，∴， ∴. 故选：C. 【变式3-1】复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 【变式3-2】已知，则的虚部为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】，虚部为4. 故选：B. 【变式3-3】设i是虚数单位，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 重难点四、复数的除法 【例7】已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，则， 所以复数在复平面内所对应的点为位于第三象限. 故选：C 【例8】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】， 所以，所以. 故选：C 【变式4-1】设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 【答案】 【详解】由已知可得， 所以， 所以的模为. 故答案为：. 【变式4-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其共轭复数. 故选：A. 【变式4-3】设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 重难点五、根据四则运算求参数 【例9】虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【详解】由已知，， 所以，， 所以，解得. 故选：C. 【例10】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【详解】因，依题意得，. 故选：D. 【变式5-1】设为虚数单位，且，则 ． 【答案】 【详解】由， 所以满足条件， 故答案为： 【变式5-2】设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以且，解得. 故选：B 【变式5-3】已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 重难点六、复数范围内分解因式 【例11】在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） . 【例12】（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 【变式6-1】在复数范围内分解因式：. 【答案】. 【详解】由，得，则或，解得或， 所以. 【变式6-2】在复数范围内分解因式的结果为 ． 【答案】 【详解】依题意， 故答案为： 【变式6-3】多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于方程，因为， 所以有两个虚根，即，， 所以； 故选：A 重难点七、复数范围内方程的根 【例13】若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 【例14】复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由方程得， 由求根公式可得， 不妨设，. 则， 故选：B 【变式7-1】若关于的方程有两个虚根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的方程化为：， 假定方程有实根，而，则且，解得， 因此由原方程没有实根，得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【变式7-2】已知是关于的方程的一个根，则 ． 【答案】 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，故， 故答案为：． 【变式7-3】（多选）在复数范围内，方程的两根分别为，，且，则（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．为实数 【答案】ACD 【详解】由，解得，结合， 所以，，所以，即与互为共轭复数，则A正确； 因为，则B错误； 因为，所以，则C正确； 因为， 所以，则D正确. 故选：ACD. 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2．已知i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：因为， 所以. 故选：A 3．已知复数，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为，所以, 则. 故选：C. 4．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题意得， 则， 其对应的点为，位于第四象限． 故选：D 5．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程有两个虚根和， 所以，则， 又由求根公式知两虚根为，， 所以，则，解得，满足要求， 所以. 故选：C. 6．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】令，则，但，故“”不能推出“”. 设，由得， ， 故“”能推出“”. 综上得，是的必要非充分条件. 故选：B. 二、多选题 7．复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限 【答案】AC 【详解】当时，，故，故选项正确； ，B选项错误； 当时，，， 故对任意，点均在第一象限，故C选项正确； 不存在，使得点在第二象限，D选项错误． 故选：AC． 8．复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 【答案】 【详解】，所以向量对应的复数为. 故答案为： 10．若定义一种运算：.已知为复数，且，则复数 【答案】/ 【详解】因为，所以， 设， 则，， ，所以. 故答案为： 11．已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 【答案】 【详解】令，则 因为为实数， 所以，解得：， ， 当时，， 当时，， 所以 故答案为： 四、解答题 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. 13．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数及. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由，所以， 又为纯虚数，所以， 解得，所以复数； （2）由（1）知，所以， 故，. 14．已知 (1)是z的共轭复数，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)1 【详解】（1）由题意知， ； （2）， ． ． 15．已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1） ，所以， （2）由可得 故 2 学科网（北京）股份有限公司 $$