专题02 矩形的性质与判定【知识串讲+九大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题02 矩形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）矩形的性质 矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD （二）矩形的判定 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形 （三）斜边中线的性质 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 如图：OB=AB 模块三 考点一遍过 考点1：矩形的性质——求角度 典例1：如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．    ①若，则的度数为 ． ②若，则的长度为 ． 考点2：矩形的性质——求线段 典例2：如图，矩形的顶点分别在直线上，直线且相邻两直线间距离相等．若，直线与的夹角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【变式2】如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【变式3】如图，矩形的对角线，，则的长为 cm． 考点3：矩形的性质——求面积 典例3：如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M，N分别是、的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 【变式3】如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 考点4：矩形的性质——证明题 典例4：如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 【变式1】已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【变式2】如图，四边形为矩形，，将对角线绕点逆时针旋转得，作交于点． (1)证明：； (2)连接，求的长． 【变式3】在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求． 考点5：矩形的性质——坐标问题 典例5：在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）    A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 【变式2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【变式3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 考点6：矩形的性质——折叠问题 典例6：如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 【变式1】在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【变式2】如图，在矩形纸片中，．把沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 【变式3】如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 考点7：矩形的判定——证明题 典例7：如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【变式1】已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 【变式2】如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式3】如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 考点8：矩形的判定与性质综合 典例8：如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【变式1】如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 【变式2】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式3】如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 考点9：直角三角形斜边中线性质 典例9：如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【变式1】如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【变式2】如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 【变式3】如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 矩形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）矩形的性质 矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD （二）矩形的判定 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形 （三）斜边中线的性质 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 如图：OB=AB 模块三 考点一遍过 考点1：矩形的性质——求角度 典例1：如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．    ①若，则的度数为 ． ②若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质求角度、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，由已知条件可先求得，在中可求得，再由矩形的性质可知，则可求得，则可求得；由矩形的性质可求出，根据求得，由勾股定理可得． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， 故答案为：； 考点2：矩形的性质——求线段 典例2：如图，矩形的顶点分别在直线上，直线且相邻两直线间距离相等．若，直线与的夹角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形，矩形的性质，正确作出辅助线构造含角直角三角形是解题的关键． 作于点，于点，设相邻两直线间的距离为，得出，,进而得出,，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点，于点， 设相邻两直线的距离为， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 【变式1】如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，由点F为的中点可知，在中利用勾股定理得出的长即可解答． 【详解】解：矩形， ，， 点F为的中点， ， 以点C为圆心，长为半径的圆弧经过点G， ， 在中，， ． 故选：D． 【变式2】如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 【变式3】如图，矩形的对角线，，则的长为 cm． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理；根据矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，根据勾股定理进而可得出答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点3：矩形的性质——求面积 典例3：如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接，由矩形和三角形面积的关系可得：，，从而得到，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是边上一点， ， 是边上一点， ， ， ， ， 即． 故选：C． 【变式1】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M，N分别是、的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是 ． 【答案】15 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，分点与点重合，点与点重合，分别找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状，进而求出面积．解题的关键是熟练运用相关性质和定理． 【详解】解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于中点，点N位于中点， 当点与C点重合时，点位于中点，点位于中点： ∵是的中点，是的中点，是的中点，点是中点， ∴、分别是、的中位线， ∴且，且， ∴四边形为平行四边形， ∴扫过的区域为平行四边形， ∵，，，则， ∴， ， 故答案为：15． 【变式3】如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 考点4：矩形的性质——证明题 典例4：如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，由矩形的性质得 ，，，由可判定，再由全等三角形的性质，即可得证；掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 的角平分线交于点E， ， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ． 【变式1】已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）证即可，推出，即可证明； （2）连接，由（1），设，在中，列式求解求出，即可解决． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）连接， 由（1）知， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵， ∴ ∴． 【变式2】如图，四边形为矩形，，将对角线绕点逆时针旋转得，作交于点． (1)证明：； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先证明，然后根据可证； （2）由全等三角形的性质得，求出，然后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 绕点逆时针旋转得， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【变式3】在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系； （1）由矩形的性质得出，，，得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）先证出，再由角的互余关系即可求出的度数． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （2）解：，， ， 如图，取中点，连，则， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ． 考点5：矩形的性质——坐标问题 典例5：在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 【变式1】如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）    A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 【答案】A 【知识点】坐标与图形、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2）， ∴OA＝1，AB＝2， 由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形， ∴，， ∴点C的对应点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标． 【变式2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 【答案】（，） 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 考点6：矩形的性质——折叠问题 典例6：如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，连接交于点已知，． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出，就可以得出， （2）设，就有，，在中，由勾股定理就可以求出，根据三角形的面积公式就可以求出结论； （3）由翻折可得垂直平分，，根据三角形的面积公式求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，，， ， 与关于成轴对称， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ， ， ； （3）解：由翻折可知：垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出的值是关键． 【变式1】在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 【变式2】如图，在矩形纸片中，．把沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点G．E，F分别是和上的点，交于点H，把沿折叠，使点D恰好与点A重合． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的是折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，灵活运用性质和定理是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形全等的判定定理证明； （2）设为，根据勾股定理求出的值，再求出的值； 【详解】（1）证明：∵矩形纸片， ，， 由折叠性质可知，，， ，， 在和中， ， ； （2）解：设为， ，， ， 在中，， 即， 解得，， ． 【变式3】如图，长方形纸片，，．把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)求的长度； (2)求重合部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、等边对等角、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）设为，则，在中，，则即：，可得出答案； （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，从而得出，得出，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知， 设为，则， 在中，， 即：， 解得：， ； （2）解：由（1）可知：， 矩形， ， ， 由折叠可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 考点7：矩形的判定——证明题 典例7：如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 【变式1】已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、证明四边形是矩形 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得，，再由等角对等边得出，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形．再由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，． ， ， ，， ，， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 点为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分，平分， ，， ， 即， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、等边对等角、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式2】如图，在中，延长到点，使得，连接，，，交于点，已知． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据得到，即可求证； （2）由得到为等边三角形，求得、，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴，点为线段的中点， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵，， ∴为等边三角形． ∴， 由（）得， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式3】如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键． （1）根据得出，再结合平行四边形的性质即可证明； （2）先推得，，再证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）证明：， 又四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． （2）解：若， 又， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 考点8：矩形的判定与性质综合 典例8：如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 【变式1】如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由三角形中线的性质得出，．由角平分线的定义和三角形外角的性质可证，即得出，结合题意即得出，则四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得出，，结合三角形中线的性质证明四边形为平行四边形，得出，即． 【详解】（1）证明：∵在中，，是中线， ∴，， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点F为对角线，的交点， ∴，． ∵是中线， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，三角形中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． 【变式2】如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，推出四边形是矩形，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， 根据勾股定理得， ∴矩形的面积为． 【变式3】如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 考点9：直角三角形斜边中线性质 典例9：如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据，，和是直角三角形，再根据为的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出； （2）根据，可得，，由，，由三角形内角和即可求得的度数． 【详解】（1）证明：，， 和均是直角三角形， 为的中点， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，， ， 的度数为． 【变式1】如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式2】如图，中，，点D是边上一点，于点E，点F是线段的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求C、E两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，，进而求解； （2）连接，求，结合三角形外角的性质可求解，利用等边三角形的性质可求解的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， 点是斜边的中点， ，， ； （2）解：连接，由（1）得， ，， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离是6． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3】如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出，再求出的长，进而求出，则可利用勾股定理的逆定理证明； （3）证明，则由直角三角形的性质可得答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）证明：∵， ∴． 在中，由勾股定理得． 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的中线，， ∴垂直平分， ∴，． ∵是的中线， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$