专题01 平行四边形的性质与判定【知识串讲+九大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题01 平行四边形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行四边形的性质 平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° （二）平行四边形的判定 平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 （三）三角形中位线性质 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 如图：DE=BC 模块三 考点一遍过 考点1：平行四边形性质——求角 典例1：如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将沿对角线折叠，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，于点E，则的度数为 ． 【变式3】在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是 ． 考点2：平行四边形性质——求线段 典例2：如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．8 【变式1】如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式2】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【变式3】如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 考点3：平行四边形性质——求面积 典例3：在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【变式1】如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 考点4：平行四边形性质——证明题 典例4：四边形 中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：； 【变式1】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式2】如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【变式3】如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 考点5：平行四边形性质——坐标问题 典例5：□的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图, 的对角线交点是直角坐标系的原点，若顶点坐标是，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 （写出所有情况） 【变式3】我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 考点6：平行四边形判定——证明题 典例6：如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【变式1】如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【变式2】如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式3】如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 考点7：平行四边形性质与判定综合 典例7：如图，将沿平移，得到，连接，．    (1)若，垂足为，求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【变式2】如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【变式3】如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 考点8：三角形中位线——基础应用 典例8：如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2】如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【变式3】如图，在 中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，的面积是，则 的面积为 ． 考点9：三角形中位线——辅助线 典例9：如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F． (1)若，直接写出的度数；（用含α的式子表示） (2)在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明． 【变式1】如图，分别是三边中线，交于点，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】如图，D是等边中边上的一点，连接，在的右侧作，使，，连接．若平分，求的值． 【变式3】如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行四边形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）平行四边形的性质 平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° （二）平行四边形的判定 平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 （三）三角形中位线性质 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 如图：DE=BC 模块三 考点一遍过 考点1：平行四边形性质——求角 典例1：如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 【变式1】如图，将沿对角线折叠，若，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，，，进一步可得，根据三角形外角的性质可得的度数，进一步求出的度数． 【详解】解：在平行四边形中，， ， 折叠， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A 【变式2】如图，在中，，，于点E，则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】先根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求得，再根据平行四边形的性质与平行线性质求得，即可由直角三角形两锐角互余的性质求银． 【详解】解：， ， ， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】在平行四边形中，连接，过点以为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质． 根据题意可得：，且平分，根据四边形是平行四边形，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，根据平分，即可求解； 【详解】解：根据题意可得：，且平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 考点2：平行四边形性质——求线段 典例2：如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式3】如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 考点3：平行四边形性质——求面积 典例3：在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，根据平行四边形的性质可得，，由此可得，从而可得结论．解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 故选：A． 【变式1】如图，在面积是24的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果． 【详解】解：如图，连接： 四边形是平行四边形， ， ，， 又点O为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，点分别在和上，且，则四边形的面积是多少 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行四边形的面积公式以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据图形的特点，连接，通过证明和全等可知阴影部分的面积正好等于平行四边形面积的一半，即可求出四边形的面积． 【详解】如图，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 且为对角线， ， 在于中， ， ≌， 四边形的面积等于面积的一半， ，作于， ， 边上的高， 四边形的面积为． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理， 熟练掌握知识点，正确添加辅助线，运用勾股定理是解题的关键． 延长交于，由平行四边形下的性质推出，，，得到，令，，求出的面积，四边形的面积，于是得到，推出，由勾股定理得到，求出，（舍去），得到的面积，即可求出四边形的面积为． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 令，， 的面积， 梯形的面积，的面积， 四边形的面积， 与四边形的面积比为， ， ， ， ， ，（舍去）， 的面积， 四边形的面积为． 故答案为：12． 考点4：平行四边形性质——证明题 典例4：四边形 中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质． （1）依据题意，由，从而，又有，进而，故有，从而可以得出结论； （2）依据题意，分别作于点G，于点H，由题意先证明，再证，进而可以得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：分别作于点G，于点H，则， ∵，，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【变式1】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，合理做出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． （1）由点E为中点，可得，再由已知条件求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）过点A作交于点H，易证，是等腰直角三角形，通过等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等量代换可出求证的等式成立． 【详解】（1）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：过点A作交于点H， 则， ∴， 即， ∵，， 且，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由三角形中位线定理可求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ∴， ； （2）解：∵， ∴，即点O是的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式3】如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)55° (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 考点5：平行四边形性质——坐标问题 典例5：□的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形、平行四边形性质的其他应用、由平移方式确定点的坐标 【分析】根据平行四边形的性质，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵□的顶点坐标分别是为，，， ∴线段向右平移5个单位，再向上平移2个单位可得到线段，点与点对应，点与点对应， ∴点的坐标为． 故选：C. 【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，平行四边形的性质和点平移坐标变化的规律等知识． 根据点与点的坐标，得出平移前后点的坐标变化规律是解题的关键． 【变式1】如图, 的对角线交点是直角坐标系的原点，若顶点坐标是，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用、求关于原点对称的点的坐标 【分析】先根据C点坐标和BC的长度求出点B的坐标，再根据B，D关于原点对称求出D点坐标即可． 【详解】解：∵的对角线交点是直角坐标系的原点， ∴B，D关于原点对称． ∵坐标是，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标，掌握平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标的特点是解题的关键． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 （写出所有情况） 【答案】（2，2），（8，-2），（-4，-8） 【知识点】坐标与图形、平行四边形性质的其他应用 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 【详解】解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时， D（2，2）； 当四边形ABCD为平行四边形时， D（8，-2）； 当四边形ABDC为平行四边形时， D（-4，-8）； 故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键． 【变式3】我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 【答案】 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【详解】分析：根据勾股定理，可得 ,根据平行四边形的性质，可得答案. 详解：由勾股定理得：= ,即(0,4). 矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形是平行四边形， A=B, =AB=4-(-3)=7, 与的纵坐标相等，∴（7,4），故答案为（7,4）. 点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B, =AB=4-(-3)=7是解题的关键. 考点6：平行四边形判定——证明题 典例6：如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 【变式1】如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 的面积． 【变式2】如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2)24 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1） 根据平行的性质可得，运用角边角可证，可得，结合平行四边形的判定方法“对角线相互平分的四边形是平行四边形”即可求解； （2）根据题意可得四边形是菱形，运用勾股定理可得，由此菱形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形． 证明如下：， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 考点7：平行四边形性质与判定综合 典例7：如图，将沿平移，得到，连接，．    (1)若，垂足为，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）根据平移的性质得，根据等量代换得，根据，利用“三线合一”的性质即可得； （2）根据平移的性质得，即可得四边形为平行四边形，求得，，利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：连接，    ∵将沿平移，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵沿平移，得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得：，，根据即可求证； （2）分类讨论 两种情况，画出图形即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵，， ∴， ∵ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）解：时，如图所示： 则， ∴， ∴ 由（1）得：， ∴， 解得：； 时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 【变式2】如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式3】如图1，在四边形中，对角线交于点O，点O是的中点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证明得，进而可证四边形是平行四边形； （2）证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形；证明可证是等腰三角形； 【详解】（1）证明： ∵点O是的中点 ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形； ∵， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 综上可知，等腰三角形有． 考点8：三角形中位线——基础应用 典例8：如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系．令中点为点N，连接，则，根据勾股定理求出，由中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：令中点为点N，连接， ∵点N为中点， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 【变式1】如图，在中，是的垂直平分线，分别交、于点、，且是边长为6的等边三角形，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，先根据垂直平分线得到，，然后根据等边三角形得到，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【答案】/0.6 【知识点】全等三角形的性质、三角形中位线与三角形面积问题 【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论． 【详解】解：取中点，则是中位线， ∴， ， ∴， ∴ 设，则，， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键． 【变式3】如图，在 中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，的面积是，则 的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形中位线与三角形面积问题 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： 点是的中点， ，， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等． 考点9：三角形中位线——辅助线 典例9：如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F． (1)若，直接写出的度数；（用含α的式子表示） (2)在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的中位线定理； （1）由等腰三角形三线合一可得，，得到，再由，求出，最后根据计算即可； （2）取中点，连接，则，是中位线，得到，推出，得到，最后根据推理得到． 【详解】（1）解：∵平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：，证明如下： 如图，取中点，连接，则， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，分别是三边中线，交于点，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，中位线性质等．根据题意连接，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质可得，再证明四边形是平行四边形，继而得到，，再利用中位线性质即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是中点， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，D是等边中边上的一点，连接，在的右侧作，使，，连接．若平分，求的值． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，三角形中位线定理等；延长到点F，使，连接，延长到点G，使，连接，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形中位线定理得，由直角三角形的特征得，即可求解；掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，三角形中位线定理，能根据题意构建等边三角形及直角三角形是解题的关键． 【详解】解：延长到点F，使，连接，延长到点G，使，连接， ， ， ， ． ， 为等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键． 取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得． 【详解】证明：连接，取中点G，连接， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$