专题05 相交线与平行线单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题05 相交线与平行线单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，正确，不符合题意； B、和是内错角，原说法错误，符合题意； C、和是同旁内角，正确，不符合题意； D、和是内错角，正确，不符合题意； 故选B． 2．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：D． 3．如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 4．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 5．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】过点A作的平行线，过点B作的平行线，由两直线平行，内错角相等可得；再根据两直线平行，同旁内角互补得出，根据图中角的关系求出，即得． 本题考查了平行线的性质．熟练掌握“两直线平行，同位角相等”；“两直线平行，同旁内角互补”；“两直线平行，内错角相等”．作辅助线．是解题的关键（方法不唯一）． 【详解】解：过点A作的平行线，过点B作的平行线，如图所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴． 故选：C． 7．（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（     ）个． ①0既不是正数，也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a 取什么值，不可能等于． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数的分类、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题考查的是有理数的分类和比较大小，几何图形的面积，掌握几何图形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：①0既不是正数，也不是负数，说法正确； ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军，说法正确； ③当时，等于，原说法错误； ④两条平行线之间图形的面积一样大，原说法错误； 故选B． 8．如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，利用平行线的性质求出，再根据角平分线的定义，求出，然后用平角定义即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得 ，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点G作， ∵， ∴， ∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM， ∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM， 由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM， ∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM， ∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM， ∴ 当时，如图2所示，过点G作， 同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ， ∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM， ∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°， ∴∠PHG=150°-2∠ABM， ∴， 综上所述，或， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，请写出能判定的一个条件： ． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行进行作答即可． 【详解】解：依题意，∵ ∴ ∴能判定的一个条件： 故答案为： 12．如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 【答案】、或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，解答时涉及一元一次方程的应用，解决本题的关键是画出符合题意的图形，利用列一元一次方程解答. 【详解】射线运动时间为， 根据题意，当射线顺时针旋转时，如图所示： ∵ , ， ， ， ， ∵则 ∴， ， 解得 ； 当射线逆时针旋转时，，如图所示： 则， ，解得 ； 当射线再次顺时针旋转时，，如图所示： 则， ∴，解得 ； 故答案为：、或 13．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为 度． 【答案】90 【知识点】与方向角有关的计算题、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查方向角的概念，平行线的性质，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此求出． 【详解】解：∵岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴从C岛看A，B两岛的视角为， 故答案为：90． 14．如图，平面内，，点E，O，F在一条直线上，下列结论： ①； ②与互补； ③平分； ④； ⑤因为，所以与，互余． 其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义．根据余角的定义、角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①的说法正确； ∵， 即与互补，②的说法正确； ∵，，点E，O，F在一条直线上， ∴， 即平分，③的说法正确； ∵， ∴， 而和不一定相等， ∴，④的说法错误； ∵互余是指两个角的和为，即两个角互为余角， ∴与，互余的说法是错误的， ⑤的说法错误， 故答案为：①②③． 15．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行． 【答案】30或110/110或30 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、平行线的性质在生活中的应用 【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD， ①当0＜t≤90时，如图1所示： ∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA， ∴∠PBD＝∠CAM 有题意可知：2t＝30＋t 解得：t＝30， ②当90＜t＜150时，如图2所示： ∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°， ∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD＋∠CAN＝180°， ∴30＋t＋（2t－180）＝180 解得：t＝110 综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行． 故答案为：30或110 【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定．先证明，再证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行． 17．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握角平分线的定义及平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据平分，平分，得到，，由，得到，即可求解； （2）根据题意可得，由平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 18．如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明AB∥CD的理由． 解：因为GH平分∠AGE（已知）， 所以∠AGE＝2∠AGH（　 　） 同理∠　 　＝2∠DMN 因为∠AGH＝∠DMN（已知） 所以∠AGE＝∠　 　（　 　） 又因为∠AGE＝∠FGB （　 　） 所以∠　 　＝∠FGB （　 　） 所以AB∥CD （　 　）． 【答案】角平分线的定义，DMF，DMF，等量代换，对顶角相等，DMF，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【知识点】角平分线性质定理及证明、对顶角相等、同位角相等两直线平行、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的定义和等量关系可得∠AGE=∠DMF，再根据对顶角相等和等量关系可得∠DMF=∠FGB，再根据平行线的判定推出即可． 【详解】因为GH平分∠AGE（已知）， 所以∠AGE＝2∠AGH（角平分线的定义）， 同理∠DMF＝2∠DMN， 因为∠AGH＝∠DMN（已知）， 所以∠AGE＝∠DMF（等量代换）， 又因为∠AGE＝∠FGB （对顶角相等）， 所以∠DMF＝∠FGB （等量代换）， 所以ABCD （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 19．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 20．在如图所示的方格中，点、、均为网格点，按要求画图并回答问题： (1)画直线； (2)过点画线段的垂线，垂足为点； (3)画线段的垂直平分线； (4)点与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是______． A．两点之间线段最短    B．两点确定一条直线    C．垂线段最短 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)C 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查画直线，画垂线和中垂线，以及垂线段最短： （1）画出直线即可； （2）借助三角板画出即可； （3）取的中点，借助三角板画出线段的垂直平分线即可； （4）根据垂线段最短进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； （4）线段最短的数学道理是垂线段最短； 故选C． 21．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的计算及几何图形中角的计算，解题的关键是根据角之间的数量关系和角平分线的性质来解答． （1）根据角之间的数量关系和角平分线性质求出和的度数，再将两个角的度数相加便是答案； （2）根据角之间的数量关系和角平分线性质求出和的度数，再将两个角的度数相减便是答案； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ． （2），， ； ． ． 又平分， ， ． （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 22．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是每秒，灯B转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空： (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，则在灯B射线到达之前，转动的时间为______秒． 【答案】(1)60 (2)A灯旋转30秒或110秒时，两灯的光束互相平行 (3)140或100 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论∶当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）分两种情形，根据平行线的性质，构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：，， ． 故答案为：． （2）设A灯转动t秒．两灯的光束互相平行， ①当时，如图1 ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，A灯旋转30秒或110秒时．两灯的光束互相平行． （3）设灯A射线转动时间为t秒， ， ， 又， ， 解得：（舍去） 或， 解得， 如图4中，当时 ， ， 综上所述：满足条件的值为60或140或100秒． 故答案为：140或100． 23．已知直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点． (1)如图1，请说明； (2)如图2，，平分，平分，，求的度数： (3)如图3，点为上一点，，，交于点，请探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、角n等分线的有关计算 【分析】（1）过点E作，根据题意和平行线的判定得，根据平行线的性质得，根据，即可得； （2）根据题意得，，根据平行线的性质得，根据得，即可得，进行计算即可； （3）根据题意得，，根据得，根据得，根据得，即可得． 【详解】（1）证明：如图1所示，过点E作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴． ∵， ∴．　 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差计算．解题的关键是根据图形找到角之间的和差关系和熟练掌握平行线的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交线与平行线单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图，下列说法错误的是（    ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 2．如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 3．如图，，=（ ） A． B． C． D． 4．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（数学知识的综合应用）下列说法中，正确的有（     ）个． ①0既不是正数，也不是负数． ②在一次跳远比赛中，小明比小亮多跳0.17米，小亮比小军少跳0.18 米．三人中跳得最远的是小军． ③不论a 取什么值，不可能等于． ④如图，两条平行线之间梯形的面积最大．    A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交直线于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，请写出能判定的一个条件： ． 12．如图，已知，点，分别在，上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至后停止运动．若射线先转动30秒，射线才开始转动，当射线与互相平行时，射线的旋转时间为 秒． 13．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，那么从岛看，两岛的视角为 度． 14．如图，平面内，，点E，O，F在一条直线上，下列结论： ①； ②与互补； ③平分； ④； ⑤因为，所以与，互余． 其中正确的有 ．（填序号） 15．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 17．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：． 18．如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明AB∥CD的理由． 解：因为GH平分∠AGE（已知）， 所以∠AGE＝2∠AGH（　 　） 同理∠　 　＝2∠DMN 因为∠AGH＝∠DMN（已知） 所以∠AGE＝∠　 　（　 　） 又因为∠AGE＝∠FGB （　 　） 所以∠　 　＝∠FGB （　 　） 所以AB∥CD （　 　）． 19．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 20．在如图所示的方格中，点、、均为网格点，按要求画图并回答问题： (1)画直线； (2)过点画线段的垂线，垂足为点； (3)画线段的垂直平分线； (4)点与直线上各点连结的所有线段中，线段最短的数学道理是______． A．两点之间线段最短    B．两点确定一条直线    C．垂线段最短 21．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若，求和的数量关系． 22．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是每秒，灯B转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空： (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且，则在灯B射线到达之前，转动的时间为______秒． 23．已知直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点． (1)如图1，请说明； (2)如图2，，平分，平分，，求的度数： (3)如图3，点为上一点，，，交于点，请探究，，之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$