专题04 实数单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题04 实数单元过关（培优版） 考试范围：第8章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是 C．的立方根是2 D．0.01的算术平方根是0.1 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．原式各项利用平方根，算术平方根，以及立方根定义计算即可做出判断． 【详解】解：A、4的算术平方根是2，错误； B、9的平方根是，错误； C、的立方根是，错误； D、0.01的算术平方根是0.1，正确． 故选：D 2．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根定义和算术平方根定义，根据算术平方根和立方根定义进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 3．在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查无理数的定义，立方根，平方根的知识；根据无理数是无限不循环小数即可得出答案． 【详解】解：， 无理数为：，，···（两个“1”之间依次多个“0”） 无理数的个数是3个， 故选：B． 4．已知是无理数，则a的值可以为（       ） A． B． C．0 D．8 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查无理数的定义，把各数代入计算，然后根据无理数的定义判断即可解题． 【详解】解：A.当时，，是有理数； B.当时，，是有理数； C.当时，，是有理数； D.当时，，是无理数； 故选：D． 5．估计的值在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．绝对值小于的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，绝对值．熟练掌握无理数的估算，绝对值是解题的关键． 由题意可得，则绝对值小于的整数有，，，，0，1，2，3，4共9个，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴绝对值小于的整数有，，，，0，1，2，3，4共9个， 故选：D． 7．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、程序设计与实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 9．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：C． 10．表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）. 下列说法： ①可以是奇数，也可以是偶数； ②的最小值是； ③若，则. 其中正确的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键. 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ∴， ∴是偶数，故错误； ∵， ∴的最小值是， ∴的最小值是， 又∵为正整数， ∴的最小值为20，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：C. 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 【答案】4 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根的性质化简，再相加即可． 【详解】解：原式 故答案为：4 12．计算： ． 【答案】0 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．的立方根是 的算术平方根 的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查立方根、算术平方根及平方根，解题的关键是理解和掌握立方根、算术平方根及平方根的定义．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是：； ∵， ∴的算术平方根是：； ∵， ∴的平方根是：． 故答案为：；；． 14．若，则m的值为 【答案】 【知识点】绝对值的意义、加减消元法、化简绝对值 【分析】根据，可知异号，再根据，或，进行分类讨论即可解答． 【详解】解： 异号， ①当， 则， 解得， 或 ，， 解得 ②当， 则，， 解得 或，， 解得：， 总上所述的值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义以及进行分类讨论时解题的关键． 15．估计值的整数部分是： ． 【答案】4 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】根据，得到的整数部分为2，从而得到的整数部分为4，解答即可．本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 16．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案． 【详解】因为等式左边第一项依次增加2， 所以第5个等式的第一项是11， 因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1， 所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5， 因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积， 所以这个数是30， 观察其余部分都相同，直接带下来即可， 所以第5个等式是． 故答案为：． 【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力． 评卷人 得分 三、解答题 17．把下列各数填在相应的括号内． （每两个1之间逐次增加1个0） ①正数集合{……} ②整数集合{……} ③负分数集合{……} ④无理数集合{……} 【答案】① （每两个1之间逐次增加1个0）； ② ；③ ；④ 每两个1之间逐次增加1个0） 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查的是实数的分类，掌握相关概念是解题的关键；依据实数的分类进行解答即可； 【详解】解：①正数集合{ （每两个1之间逐次增加1个0）}； ②整数集合{ }； ③负分数集合{ }； ④无理数集合{ 每两个1之间逐次增加1个0）}． 故答案为：① （每两个1之间逐次增加1个0）；② ；③ ；④ 每两个1之间逐次增加1个0）． 18．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、无理数 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 19．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)4 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出，，的值； （2）将，，的值代入代数式求出值后，进一步求得立方根即可． 【详解】（1）解：因为的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，， 所以，， 因为， 所以. 因为是的整数部分， 所以； （2）将，，代入，得， 因为64的立方根是4， 所以的立方根是4． 21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而， ∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴， ∴， ∴59319的立方根的十位数字是3， ∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1331的立方根是一个　　　位数，其个位数字是　　　； (2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根． 【答案】(1)两；1 (2)的立方根是62，验证见解析 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题看考查了立方根的推导技巧，读懂题意是解题的关键． （1）根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数是1， 故答案为：两；1． （2）∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划除后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 22．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 23．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的平方根、实数的性质 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 24．（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p． ①则p的值=　　； ②若p的小数部分为k，求的值． （2）已知与互为相反数， ①则的平方根　　；②解关于x的方程． （3）已知正实数x的平方根是m和． ①当时，则m　　；②若，求x的值． 【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二次根式的混合运算、平方根概念理解、无理数的大小估算 【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数； ②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可； （2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可； （3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可． 【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴p的小数部分为， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴， 则， 解得∶， ①当时， ，16的平方根为∶； ②当时，化为 ， 解得∶； (3) ∵正实数x的平方根是m和， ∴， 得∶， ①当时，， 解得∶； ②∵，， ∴， ， ， 则， 解得∶， ∵x是正实数， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数单元过关（培优版） 考试范围：第8章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是 C．的立方根是2 D．0.01的算术平方根是0.1 2．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在实数，，0，，，，，···（两个“1”之间依次多个“0”）中无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知是无理数，则a的值可以为（       ） A． B． C．0 D．8 5．估计的值在（    ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．绝对值小于的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．8个 D．9个 7．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．设表示不大于x的最大整数，则 的值为（ ） A．5 151 B．5150 C．5050 D．5049 10．表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）. 下列说法： ①可以是奇数，也可以是偶数； ②的最小值是； ③若，则. 其中正确的个数（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ． 12．计算： ． 13．的立方根是 的算术平方根 的平方根是 14．若，则m的值为 15．估计值的整数部分是： ． 16．观察下列等式： ①3－=（－1）2， ②5－=（－）2， ③7－=（－）2， … 请你根据以上规律，写出第5个等式 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．把下列各数填在相应的括号内． （每两个1之间逐次增加1个0） ①正数集合{……} ②整数集合{……} ③负分数集合{……} ④无理数集合{……} 18．如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 19．如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 20．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的立方根． 21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而， ∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴， ∴， ∴59319的立方根的十位数字是3， ∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1331的立方根是一个　　　位数，其个位数字是　　　； (2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并验证a是238328的立方根． 22．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 23．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 24．（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p． ①则p的值=　　； ②若p的小数部分为k，求的值． （2）已知与互为相反数， ①则的平方根　　；②解关于x的方程． （3）已知正实数x的平方根是m和． ①当时，则m　　；②若，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$