专题03 实数单元过关【基础版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题03 实数单元过关（基础版） 考试范围：第8章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，然后再计算立方根即可． 【详解】解： 8的立方根是2 故选：A． 2．在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根与立方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．先计算算术平方根与立方根，再根据无理数的定义求解即可得． 【详解】解：，， 则，，，0.1010010001，，都是有理数，和是无理数， 所以无理数有2个， 故选：A． 3．下列各数中，结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质化简，再根据负数的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、，是正数，故本选项错误； B、，是负数，故本选项正确； C、，是正数，故本选项错误； D、，是正数，故本选项错误． 故选：B． 4．下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解． 【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确； ②实数都有一个立方根，说法正确； ③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误； ④，3的算术平方根为，故原说法错误； ⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确； 故选D． 5．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的比较大小，特殊角的三角函数值，解题的关键是两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小来进行比较即可． 【详解】解： ∴， 故选：D． 6．下列说法中正确的是（ ）． A．-a一定是负数 B．|a|一定是正数 C．a的倒数是 D．一定不是负数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、绝对值的意义、倒数、利用算术平方根的非负性解题 【分析】由负数的定义、绝对值的意义、倒数的定义、算术平方根的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不一定表示负数，故A错误； B、可以表示正数或0，故B错误； C、当a=0时，a没有倒数，故C错误； D、一定不是负数，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了负数的定义、绝对值的意义、倒数的定义、算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断． 7．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 8．估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键． 根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即和之间， 故选：B 9．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题考查了用有理数估计无理数，先估算无理数的大小，可得，从而表示出的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式中计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：C． 10．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，解题的关键是将等式进行适当的变形，根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解： ， a，b是有理数， ， ，则， ， 故选：B． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若a、b为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、实数的性质、乘方运算的符号规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】由，可得且 再求解的值，从而可得答案. 【详解】解： ， 且 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是实数的性质，非负数的性质，求解代数式的值，掌握“绝对值与偶次方的非负性”是解本题的关键. 12．计算： ． 【答案】2 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、实数的混合运算 【分析】根据二次根式和立方根进行计算即可得． 【详解】解： = = =2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了实数的加法，解题的关键是掌握二次根式，立方根． 13．设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 14．已知实数，满足，则的值为 ． 【答案】0或/或0 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性．先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵有理数x、y满足， 又∵，， ∴，， 解得，， 当，时，则； 当，时，则． 故答案为：0或． 15．估计值的整数部分是： ． 【答案】4 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】根据，得到的整数部分为2，从而得到的整数部分为4，解答即可．本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 16．已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： 18．把下列各数填在相应的大括号内： 2，0，，，，，(每两个3之间依次多一个0)， (1)负数集合：{______________…}； (2)自然数集合：{______________…}； (3)分数集合：{______________…}； (4)无理数集合：{______________…}． 【答案】(1)，， (2)2，0， (3)， (4)， 【知识点】有理数的分类、实数的分类、无理数 【分析】本题主要考查了实数的分类，解题关键是熟记负数的定义，自然数的定义，分数的定义，无理数的定义． （1）根据负数的定义进行归类即可； （2）根据自然数的定义进行归类即可； （3）根据分数的定义进行归类即可； （4）根据无理数的定义进行归类即可． 【详解】（1）解：负数集合：{，，…}； （2）解：自然数集合：{2，0，…}； （3）解：分数集合：{，…} （4）解：无理数集合：{，…}． 19．求下列各式中的 x值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）先移项，合并同类项得出：，然后开平方得出答案即可； （2）直接开立方得出，然后求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 20．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【答案】它的表面积是 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 答：它的表面积是． 21．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的平方根是，的立方根为，则，再解出，即可作答． （2）把代入，得出，再求其的算术平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴， 则的算术平方根是． 22．如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、实数与数轴、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意得： 点表示的数为， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：与互为相反数， ， ，， 解得：．， ， 的平方根是． 23．阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的运算． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到，确定、的值，再代入计算即可； （3）按照材料二所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分为5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：， ， 的整数部分是1，小数部分为， 即， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分为， 即， ， 即； （3）解：面积为127的正方形的边长是，且． 设，其中， 画出边长为的正方形，如图所示： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得， 解得， ， 即． 24．阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【答案】(1) (2)D (3) (4)或 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可； （3）根据立方根的定义解方程即可； （4）根据得出，即，解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：要使式子有意义，则， ∴， ∵， ∴a的取值可以是，故D正确． 故选：D． （3）解：∵， ∴， 即， 解得：． （4）解：∵， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数单元过关（基础版） 考试范围：第8章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 2．在实数，，，，，，，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各数中，结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 5．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 6．下列说法中正确的是（ ）． A．-a一定是负数 B．|a|一定是正数 C．a的倒数是 D．一定不是负数 7．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 8．估计的值在（ ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 9．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 10．已知有理数a，b满足，则（    ） A．2 B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．若a、b为实数，且，则的值是 ． 12．计算： ． 13．设，都是有理数，规定 ，则= ． 14．已知实数，满足，则的值为 ． 15．估计值的整数部分是： ． 16．已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．计算： 18．把下列各数填在相应的大括号内： 2，0，，，，，(每两个3之间依次多一个0)， (1)负数集合：{______________…}； (2)自然数集合：{______________…}； (3)分数集合：{______________…}； (4)无理数集合：{______________…}． 19．求下列各式中的 x值． (1) (2) 20．老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 21．已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根． 22．如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 23．阅读材料，完成下列任务： 材料一； 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务： (1)利用材料一中的方法，的小数部分是 ； (2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？ (3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 24．阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$