精品解析：河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期期末评估卷（一）数学试题

2024-2025学年高三上学期期末评估卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，结合实部等于虚部建立方程，解之即可求解. 【详解】， 所以，解得. 故选：D 2. 声强级（单位：dB）公式，其中为声强（单位：），繁忙的交通道路声强约为，其声强级为（ ） A. 60dB B. 70dB C. 80dB D. 90dB 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的模型，代入计算即得答案. 【详解】在中，当时，， 所以所求声强级为70dB. 故选：B 3. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 5. 已知两定点，，动点满足．则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得的轨迹，即可利用三角换元，结合三角函数的性质求解. 【详解】由于， 故点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 其中长轴长为，，所以， 故椭圆方程为， 设，则到直线的距离为： ，其中锐角满足， 故当时此时取最小值， 故选：B 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由的范围求出的范围，再由正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意设，由，所以， 则在上单调递增， 所以，解得，又， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 8. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数是区间上的平均值函数，故有在内有实数根，进而可得方程在上有根，即可求出t的取值范围． 【详解】∵函数是区间上的平均值函数， 故有即在内有实数根，则有根， 所以x＝1或. 又 ∴方程在上有根， 因为，而当时，， 于是. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD. 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 10. 某手机商城统计的2024年5个月手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（ ） A. B. 与正相关 C. 当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D. 预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部 【答案】AB 【解析】 【分析】根据回归直线方程过样本中心点求出判断A，利用回归直线方程的性质和概念判断BCD. 【详解】由表中数据，计算得，所以， 则，解得，A说法正确； 由回归直线方程中的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，B说法正确； 当月份编号增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误； 2025年2月份对应的月份编号，，D说法错误； 故选：AB 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称， ， 所以为偶函数，关于轴对称，故A正确； 对于B，，则， 即，解得，与定义域矛盾， 所以不存在，使，故B错误； 对于C，， 因为当和，单调递增， 所以单调递减，即单调递减，故C正确； 对于D，由选项C可知，， 因为且，则且， 所以且，即且， 所以的值域为，故D错误， 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对集合根据和进行分类讨论，再由确定不等关系求解即可. 【详解】因为，所以，则. 当时，，由，得，解得； 当时，，此时，符合条件． 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 14. 斐波那契数列，因数学家莱昂纳•斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”.指的是这样一个数列，，在数学上定义.（i）__________.（ii）设的前项和为，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用递推公式即可求出，利用累加法即可求出. 【详解】因为， 所以， ， 由， 得，，，， 累加得， 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名消费者中中老年人的人数为300，青年人的人数为500，其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍． 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 中老年人 合计 （1）请将上面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关； （2）按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由独立性检验的知识补全列联表求出卡方判断即可； （2）从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，可知服从超几何分布，计算概率求得分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下： 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 400 100 500 中老年人 200 100 300 合计 600 200 800 ， 所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关． 【小问2详解】 根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中，4人是青年人，2人是中老年人， 再从这6人中随机抽取4人，则的可能取值为2，3，4． ，，， 所以的分布列为 2 3 4 则，即随机变量的期望为． 16. 在中，内角，，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，结合内角和定理整理得，进而求得. （2）由正弦定理得，结合面积公式得到，再利用余弦定理求. 【小问1详解】 由题意及正弦定理得，， 有， 又由， 有， 又由，有，可得， 可得，又由，可得. 【小问2详解】 由正弦定理及，有， 又由的面积为， 有，可得，， 由余弦定理，有，故. 17. 函数． （1）求在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； 【小问2详解】 因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求得得标准方程； （2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得，计算即可； （3）设，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程求得点C坐标，同理求得点D坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论． 【小问1详解】 椭圆的长轴长为，离心率为， 则，则，则， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上点关于直线的对称点， 则， 解之得，则， 由在椭圆上，可得， 整理得，解之得或， 当时与点重合，舍去， 则. 【小问3详解】 设，则， 又，则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 令则，直线的方程为， 由，整理得， 则，则， 又，则， 则，则， 则， ， 由点和点三点共线，可得， 则， 整理得，则. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 如图，在三棱锥中，，，，，分别为中点. （1）证明：平面与平面的交线平面； （2）证明：； （3）若直线与平面的夹角为，二面角的正切值为，求的长. 【答案】（1） 因为分别是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，所以， 而平面，平面，所以平面. （2） 因为，，，平面， 所以平面， 平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，故. （3）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，利用线线平行可得线面平行； （2）由已知可证平面，可得，可证平面，可证结论； （3）建立空间直角坐标，用向量法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 解法一：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系： 设， 由（2）：平面且平面，故平面平面， 过在平面内作，所以平面，设，则 则，，，， 所以，，所以， 因为直线与平面的夹角为，所以 所以，解得， 所以，所以， 所以， 所以：， ， ，，， 设，则： ， 所以， 解得：或，经检验，均符合题意. 解法二：由（2）得:平面，连， 所以，设，则， 设，在中由勾股定理: ，故:. 又由平面，则接下来过找， 过作，所以， . 所以由. 解得:或，经检验，均符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三上学期期末评估卷（一） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2. 声强级（单位：dB）公式，其中为声强（单位：），繁忙的交通道路声强约为，其声强级为（ ） A. 60dB B. 70dB C. 80dB D. 90dB 3. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 已知两定点，，动点满足．则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 7 8. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 10. 某手机商城统计的2024年5个月手机的销量（万部）如下表所示： 月份 7月 8月 9月 10月 11月 1 2 3 4 5 2 2 3 4 根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（ ） A. B. 与正相关 C. 当月份编号增加1时，销量增加0.5万部 D. 预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部 11. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. ，使 C. 在和上单调递减 D. 的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则a的取值范围为__________． 13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 14. 斐波那契数列，因数学家莱昂纳•斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”.指的是这样一个数列，，在数学上定义.（i）__________.（ii）设的前项和为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名消费者中中老年人的人数为300，青年人的人数为500，其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍． 喜欢网上购物 不喜欢网上购物 合计 青年人 中老年人 合计 （1）请将上面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关； （2）按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，求随机变量的分布列和期望． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 在中，内角，，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 17. 函数． （1）求在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围． 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，分别为中点. （1）证明：平面与平面的交线平面； （2）证明：； （3）若直线与平面的夹角为，二面角的正切值为，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $