课时达标检测(10) 等比数列前n项和的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 课时达标检测(十) 等比数列前n项和的性质及应用 基础达标 一、单项选择题 1.某森林原有木材量为a m3,每年以25%的速度增长,5年后,这片森林共有木材量 ( ) A.a(1+25%)5 B.a(1+25%)4 C.4a D.a(1+25%)6 解析　森林中原有木材量为a,一年后为a(1+25%),两年后为a(1+25%)2,…,五年后为 a(1+25%)5。 A 2.拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图。某树形拓扑结构图如图所示,圆圈代表节点,每一个节点都有两个子节点,则第10层节点的个数为 ( ) A.100 B.128 C.512 D.1 024 解析　由图可知,每一层的节点数组成以1为首项,2为公比的等比数列,所以第10层节点的个数是a10=1×210-1=512。 C 3.某地为了保护水土资源实行退耕还林,如果2018年退耕a万亩,以后每年比上一年增加10%,那么到2025年一共退耕 ( ) A.10a(1.18-1)万亩 B.a(1.18-1)万亩 C.10a(1.17-1)万亩 D.a(1.17-1)万亩 解析　记2018年为第一年,第n年退耕an万亩,则{an}为等比数列,且a1=a,公比q=1+10%,则问题转化为求数列{an}的前8项和,所以数列{an}的前8项和为==10a(1.18-1)。所以到2025年一共退耕10a(1.18-1)万亩。 A 4.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库,现为世界非物质文化遗产之一。某洞窟的浮雕共7层,它们构成一幅优美的图案。若从下往上计算,从第二层开始,每层浮雕像个数依次是下层个数的2倍,该洞窟浮雕像总共有1 016个,则第5层浮雕像的个数为 ( ) A.64 B.128 C.224 D.512 解析　设最下层的浮雕像的数量为a1,依题意有公比q=2,n=7,S7==1 016,解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7,n∈N*),所以a5=27=128。 B 5.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为p,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 ( ) A. B. C. D. 解析　设每年应还x万元,则x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)9=M(1+p)10,= M(1+p)10,所以x=。故选B。 B 6.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论。他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000 m,此时乌龟便领先他100 m;当阿基里斯跑完下一个100 m时,乌龟仍然领先他10 m;当阿基里斯跑完下一个10 m时,乌龟仍然领先他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟。按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2m时,乌龟爬行的总距离(单位:m)为 ( ) A. B. C. D. 解析　由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列{an},且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5===。 B 7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队成,每队更该八个甲,每个甲头八个兵。”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 ( ) A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.8+(87-8)人 D.8+(89-84)人 解析　该问题中有8名将官,84名先锋,85名旗头,86名队长,87名甲头,88名士兵,则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+84+85+86+87+88=8+=8+×(89-84)(人)。 C 二、填空题 8.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了2个伙伴;第2天,3只蜜蜂飞出去,各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有_______只蜜蜂。 解析　每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3,所以第6天所有蜜蜂归巢后,蜜蜂总数为a6=36=729(只)。 729 9.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题:今有银一秤一斤十两,令甲、乙、丙从上作折半差分之。其意思是:现有银一秤一斤十两,将银分给甲、 乙、丙三人,甲、乙、丙三人每一个人所得是前一个人所得的一半。若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银______两。(规定:1秤=10斤,1斤=10两)  解析　一秤一斤十两共120两,将这5人所得银的数量由小到大排列,记为数列{an}(n=1,2,3,4,5),则{an}是公比q=2的等比数列,于是得前5项之和S5===120,解得a1=。故得银最少的3个人一共得银的数量为a1+a2+a3=×(1+2+22)=(两)。   10.农民收入由工资收入和其他收入两部分构成。2016年某地区农民人均收入为13 150元(其中工资收入为7 800元,其他收入为5 350元)。预计该地区自2017年起的6年内,农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元。根据以上数据,2022年该地区农民人均收入约为_________元。(1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)  解析　农民人均收入来源于两部分,一是工资收入为7 800×(1+6%)6=7 800×1.066≈11 076(元),二是其他收入为5 350+6×160=6 310(元),因此,2022年该地区农民人均收入约为11 076+ 6 310=17 386(元)。 17 386 三、解答题 11.一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的。这个热气球上升的高度能超过150 m吗? 解　用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列。热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+…+an===150×1-n<150,即这个热气球上升的高度不可能超过150 m。 12.某单位从市场上购进一辆新型轿车,购价为36万元,该单位使用轿车时,一年需保险费、汽油费、年检费等约6万元,同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%,当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用),试问:使用多少年后,该单位花费在该车上的总费用就达36万元,并说明理由。 解　用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用,则有a1=6+36×0.1,a2= 6+ (36×0.9)× 0.1,a3 =6+(36×0.92)×0.1,…,依次类推可得an=6+(36×0.9n-1)×0.1。所以Sn=a1+a2+…+ an= 6n+36×0.1×[1+0.9+0.92+…+0.9n-1]=6n+3.6×=6n+36(1-0.9n)。令Sn=36,得n= 6×0.9n,0.9n=。易得到1<n<6,取值验证。当n=3时,S3=6×3+36×(1-0.93) =27.756<36;当n=4时,S4=6×4+36×(1-0.94)=36.380 4>36,故使用4年后,该单位花费在该轿车上的费用就已达到36万元。 素养提升 13.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn,则 ( ) A.Sn无限大 B.Sn<3(3+)m C.Sn=3(3+)m D.Sn可以取100m B 解析　由题意,从外到内正方形的边长依次为a1=m,a2==,a3= =,…,则数列{an}是以首项为m,公比为的等比数列,所以Sn=4·,当n→∞时,Sn→3(3+)m。 14.(多选)计算机病毒危害很大,一直是计算机专家研究的对象。当计算机内某文件被病毒感染后,该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件。计算机专家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0,即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数,某计算机病毒的传染指数C0=2,若一台计算机有105个可能被感染的文件,如果该台计算机有一半以上文件被感染,则该计算机将处于瘫痪状态。该计算机现只有一个病毒文件,如果未经防毒和杀毒处理,则下列说法中正确的是 ( ) A.在第3分钟内,该计算机新感染了18个文件 B.经过5分钟,该计算机共有243个病毒文件 C.10分钟后,该计算机处于瘫痪状态 D.该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 ABC 解析　设第n+1分钟之内新感染的文件数为an+1,前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn,则an+1=2(Sn+1),且a1=2,a2=6,由an+1=2(Sn+1)可得an=2(Sn-1+1)(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,所以an+1=3an,经验证a2=3a1,所以每分钟内新感染的病毒构成以a1=2为首项,3为公比的等比数列,所以an=2×3n-1,在第3分钟内,该计算机新感染了a3=2×33-1=18个,故选项A正确。经过5分钟,该计算机共有1+a1+a2+a3+a4+a5=1+=243个病毒文件,故选项B正确。10分钟后,该计算机感染病毒的文件总数为1+a1+a2+…+a10=1+=310>×105,所以计算机处于瘫痪状态,故选项C正确。该计算机瘫痪前,每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列,故D选项错误。故选ABC。 $$