4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.2　第1课时 等比数列的前n项和公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　在信息技术高速发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息。在此背景下,要求每一个人都要“不造谣,不信谣,不传谣”,否则要依法承担有关法律责任。你知道这其中的缘由吗?其实这可由我们今天所要学的等比数列前n项和来解释。 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式。 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 公式 Sn= Sn= 2.错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法。 (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即若{bn}是公差d≠0的等差数列,{cn}是公比q≠1的等比数列,求数列{bn·cn}的前n项和Sn时,可以用这种方法。 3.等比数列前n项和的性质 数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列。 微思考 1.等比数列的前n项和公式Sn=的适用条件是什么? 2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为何值? 提示:公比q≠1。 提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn=na。 类型一 等比数列前n项和的运算 　　【例1】　在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5; (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q。 解　(1)由题意,知解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=。 (2)解法一:由题意,知解得从而S5==。 解法二:由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=。又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5==。 (3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根。从而或又Sn==126,所以q为2或。 (1)在等比数列{an}的五个量,a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用。 (2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论。 　　【变式训练】　已知数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,且有5S2=4S4,求公比q的值。 解　当q=1时,由5S2=4S4知10a1=16a1,则a1=0,不合题意,故q≠1,当q≠1时,由5S2=4S4知=,所以5(1-q2)=4(1-q4),解得1+q2=,即q=±。 类型二 错位相减法求和 　　【例2】　已知数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N*),数列{bn}满足=an+1-an(n∈N*),且a1=b1,a3=5,a5+a7=22。 (1)求an及bn; (2)令cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn。 解　(1)由数列{an}满足an+2+an=2an+1(n∈N*),可得数列{an}为等差数列,设其公差为d,易知d≠0,则数列{bn}满足=an+1-an=d(n∈N*),所以数列{bn}为等比数列。由题意有解得故an=2n-1。由=2,且b1=a1=1,可得bn=2n-1。 (2)由(1)得cn=anbn=(2n-1)·2n-1,则数列{cn}的前n项和Sn=1·20+3·21+5·22+…+(2n-1)·2n-1　①,2Sn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n　②,由①-②,得-Sn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2·-(2n-1)·2n,化简可得Sn=3+(2n-3)·2n。 错位相减法求和的适用情况和注意点 一般地,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列且公比为q(q≠1),求{anbn}的前n项和时,常用“乘公比,错位减”的方法求和,即错位相减法。在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式。 在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点:①乘数(式)的选择;②对q的讨论;③两式相减后各项间呈现的规律;④可构成数列的项的项数。 　【变式训练】　已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)记bn=,{bn}的前n项和为Tn,求Tn。 解　(1)设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d,则d>0。因为S3=12,即a1+a2+a3=12,所以3a2=12,所以a2=4。又2a1,a2,a3+1成等比数列,所以=2a1(a3+1),即42=2(4-d)(4+d+1),解得d=3或d=-4(舍去),所以a1=a2-d=1,故an=3n-2。 (2)解法一:bn===(3n-2)×,所以Tn=1×+4×+7×+…+(3n-2)×　①。①×得,Tn=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×　②。①-②得,Tn=+3×+3×+3×+…+3×-(3n-2)×=+3×-(3n-2)×=-×-(3n-2)×,所以Tn=-×-×=-×。 解法二:bn===n×-2×,设An=1+2×+3×+4×+…+n×　①,则An=+2×+3×+4×+…+n×　②,①-②得,An=1++ ++… + - n×=-n×=-+n×,所以An=-+n×,所以Tn=An-2×=- +n×-1-=-×。 类型三 等比数列前n项和的性质应用 　　【例3】　(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8= ( ) A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50 解析　因为数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn,所以S4,S8-S4,S12-S8也构成等比数列。所以(S8-S4)2=S4·(S12-S8),因为S4=10,S12=130,等比数列{an}各项均为正数,所以(S8-10)2 =10·(130-S8),所以S8=40。 B (2)一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数。 解　解法一:设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N*)。由已知,得a1=1,q≠1,有由②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,所以n=4。故公比为2,项数为8。 解法二:因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q,所以q===2。又S2n=85+170=255,根据S2n=,得=255,所以22n=256,所以2n=8。即公比q=2,项数2n=8。 在等比数列的计算中既可以通过构造方程(组)求解,也可以通过性质求解,注意性质求解的条件及灵活性。 　【变式训练】　(1)各项都是正实数的等比数列{an},前n项的和记为Sn。若S10=10,S30=70,则S40= ( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 解析　解法一:设首项为a1,公比为q,由题意,知q≠±1,所以由以上两式相除,得q20+q10-6=0,解得q10=2。代入①,得=-10,所以S40==-10×(-15)=150。 解法二:易知q≠±1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30构成公比为q10的等比数列,则S30= S10 + (S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,解得q10=2,所以S40=S10+(S20-S10) +(S30-S20)+(S40-S30)=10×(1+2+22+23)=150。 A (2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=___ 。 解析　由题意知所以所以公比q===2。 2 分类讨论等比数列求和 【典例】　设等比数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,若S3+S6=S9,则该数列的公比为______。  【解析】　设公比为q,当q=1时,S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,由S3+S6=S9,得3a1+6a1=9a1恒成立,故q=1。当q≠1时,+=,因为a1≠0,q≠1,所以1-q3+1-q6=1-q9,即(q6-1)·(q3-1)=0,所以q=-1。综上可知,q=±1。 ±1 在提到等比数列的前n项和时,首先要考虑公比q=1的情况,然后再考虑q≠1的情况。事实上,Sn=本身隐含q≠1。 　【变式训练】　求数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn。 解　当a=0时,易得数列的前n项和Sn=1。当a≠0时,数列是公比为2a的等比数列。若2a=1,即a=,这时数列为常数列,Sn=n×1=n;若2a≠1,即a≠,数列的前n项和Sn=。又因为a=0时,Sn=1适合Sn=,故Sn= 1.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,a1=5,S5=55,则公比q等于 ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-2或4 解析　依题意可得=55,将各选项代入上式验证得q=-2。 C 2.已知等比数列{an}的公比为2,前4项和是1,则该数列的前8项和为 ( ) A.15 B.17 C.19 D.21 解析　由题意得=1,解得a1=,所以该数列的前8项和为=17。 B 3.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,则a3a5= ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 解析　等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1+a,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+a-(2n-2+a)=2n-2。则a3a5=2×23=16。 C 4.等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=____ 。  解析　设等比数列{an}的公比为q>0,因为2S3=8a1+3a2,所以2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,可化为2a3=6a1+a2,即2a1q2=6a1+a1q,化为2q2-q-6=0,解得q=2。又a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2。则S4==30。 30 5.求数列an=n·2n的前n项和。 解　设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,2Sn=1×22+2×23+ 3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减,得-Sn=1×21+(22+23+24+…+2n)-n·2n+1 =-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,故Sn=(n-1)·2n+1+2。 $$