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高中数学 选择性必修 第二册 A版
课时达标检测(三)
等差数列的概念及通项公式
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课时达标检测(三) 等差数列的概念及通项公式
基础达标
一、单项选择题
1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1。
D
2.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为 ( )
A.49 B.50
C.51 D.52
解析 因为an+1-an=,所以数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,所以an=a1+(n-1)= 2+,所以a101=2+=52。
D
3.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是 ( )
A.45 B.46
C.47 D.92
解析 由题意知,等差数列的首项a1=1,公差d=-2,且an=-89。由an=a1+(n-1)d,解得n=46。故选B。
B
4.在数列{an}中,an+1=,a1=2,则a4等于 ( )
A. B.
C. D.
解析 取倒数得=+3,所以-=3,所以是以为首项,3为公差的等差数列,所以=+3(n-1)=3n-=,所以an=,所以a4=。
D
5.在数列{an}中, 若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2 D.an=4n(n+1)
解析 由题意,得-=,故数列{}是首项为=2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=n+,故an=2(n+1)2。
A
6.《周髀算经》里提到:在周城的平地立八尺高的周髀(表竿),日中测影,如图,在二十四节气中,冬至影长1丈3尺5寸,以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算),那么9尺5寸应是二十四节气中的 ( )
A.雨水 B.春分
C.惊蛰 D.谷雨
解析 用{an}表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列,则a1=135,an=95,公差d=-10,所以由an=a1+(n-1)d,得n=+1=5。所以9尺5寸应是二十四节气中的雨水。
A
二、多项选择题
7.下列数列是等差数列的是 ( )
A.0,0,0,0,0… B.1,11,111,1 111,…
C.-5,-3,-1,1,3,… D.1,2,3,5,8,…
解析 根据等差数列的定义可知A,C是等差数列,故选AC。
AC
8.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}分别满足下列各式,其中数列{bn}必为等差数列的是 ( )
A.bn=3an B.bn=
C.bn= D.bn=-
解析 设数列{an}的公差为d,选项A中,bn-bn-1=3an-3an-1=3d,同理可证B,C都不满足bn-bn-1=同一常数,所以选项B,C都是错误的;对于选项D,bn-bn-1=-+==-,所以数列{bn}必为等差数列。
AD
三、填空题
9.已知等差数列{an}中,a1+a2=a4,a10=11,则a12= _____ 。
解析 由题意,得解得故a12=2+11=13。
13
10.若数列{an}是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,则的值为_____。
解析 因为数列{an}是公差不为0的等差数列,ln a1,ln a2,ln a5成等差数列,所以2ln(a1+d)=
ln a1+ln(a1+4d),所以(a1+d)2=a1(a1+4d),所以+2a1d+d2=+4a1d,解得d=2a1,所以==3。
3
11.正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则an=____________ , a7=_______。
解析 因为2=+(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d=-= 4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n∈N*。所以a7==。
四、解答题
12.在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在区间(450,600)内共有多少项?
解 由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108。令450<4n+108<600,解得85.5<n<123,又因为n为正整数,故有37项。
13.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*)。
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式。
解 (1)证明:由=====+,得-=,n∈N*,所以数列是等差数列。
(2)由(1),知=+(n-1)×=,所以an=,n∈N*。
素养提升
14.已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,数列{bn}满足bn=。若对任意n∈N*,bn≤b6,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-8,-6) B.(-7,-6)
C.(-6,-5) D.(6,7)
解析 因为{an}是首项为a,公差为1的等差数列,所以an=n+a-1。所以bn==1-。又因为对任意的n∈N*,都有bn≤b6成立,可知≤,则必有6+a<0且7+a>0,所以-7<a<-6。
B
15.已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*)。
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由。
解 (1)证明:因为an=2-(n≥2且n∈N*),bn=,所以当n≥2时,bn-bn-1=- =-=-=1,又b1==-。所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列。
(2)由(1)知,bn=n-,则an=1+=1+,设函数f (x)=1+,易知f (x)在区间和上为减函数。所以当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3。
$$