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高中数学 选择性必修 第二册 A版
课时达标检测(一)
数列的概念与表示
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课时达标检测(一) 数列的概念与表示
基础达标
一、单项选择题
1.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
解析 an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列。
A
2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的通项公式为 ( )
A.an=(10n-1),n∈N*
B.an=(10n-1),n∈N*
C.an=,n∈N*
D.an=(10n-1),n∈N*
解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的通项公式为1-,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的,所以an=,n∈N*。
C
3.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是 ( )
A.an=n2-n+1 B.an=
C.an= D.an=n2+1
解析 令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D检验即可。排除A,B,D,从而选C。
C
4.已知数列,,,,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 0.96==,0.98==,0.99=。
C
5.如图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键 ( )
A.6n个 B.4n+2个
C.5n-1个 D.5n+1个
解析 每个结构简图去掉最左边的一个化学键后,每个环上有5个化学键,故第n个结构简图有5n+1个化学键。
D
6.若数列{an}的通项公式为an=3n2-28n+3,则数列{an}各项中最小项是 ( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
解析 因为an=3-,又n∈N*,所以当n=5时,an最小,所以数列{an}各项中最小项是第5项。
B
二、多项选择题
7.给出以下通项公式,其中可以作为数列,0,,0,,0,…的通项公式的是 ( )
A.an=[1-(-1)n]
B.an=
C.an=
D.an=
解析 代入验证,可知ABC均可以作为数列,0,,0,,0,…的通项公式。
ABC
8.下列命题正确的是 ( )
A.已知数列{an},an=(n∈N*),那么是这个数列的第10项,且最大项为第1项
B.数列,-,2,-,…的一个通项公式是an=(-1)n+1
C.已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=31
D.已知an+1=an+3,则数列{an}为递增数列
解析 对于A,由an==⇒n=10。易知最大项为第1项,故A正确;对于B,联想数列,,,,…,则an=(-1)n+1,故B正确;对于C,由an=kn-5,且a8=11⇒k= 2⇒ an=2n-5⇒a17=29,故C错误;对于D,由an+1-an=3>0,易知D正确。
ABD
三、填空题
9.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式是______________________。
10.数列{an}的通项公式为an=,则-3是此数列的第_______项。
解析 令=-3,即-=-3,解得n=9。
an=2n+1,n∈N*
9
11.数列{an}的通项公式为an=logn+1(n+2),则它前14项的积为________。
解析 log23·log34·log45·…·log1516=log216=4。
4
四、解答题
12.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式。
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,…。
解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。
(2)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,所以an=1-。
13.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2 022;
(3)2 022是否为数列{an}中的项?
解 (1)设an=kn+b(k≠0),则有解得k=4,b=-2,所以an=4n-2。
(2)a2 022=4×2 022-2=8 086。
(3)由4n-2=2 022,得n=506∈N*,故2 022是数列{an}中的项。
素养提升
14.若数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则这个数列中的最大项是 ( )
A.第12项 B.第13项
C.第14项 D.第15项
解析 an==,因为n+≥2=28,当且仅当n=14时,n+有最小值28,所以当n=14时,取得最大值。
C
15.(多选)数列{an}的通项公式为an=n+,则 ( )
A.当a=2时,数列{an}的最小值是a1=a2=3
B.当a=-1时,数列{an}的最小值是a1=0
C.当0<a<4时,a是数列{an}中的项
D.当a<2时,{an}为递增数列
解析 当a=2时,an=n+,由f (x)=x+的单调性及a1=3,a2=3,可知A正确;当a=-1时,an=n-,显然是递增数列,故最小值为a1=0,B正确;令an=n+=a,得n2-na+a=0,当0<a<4时,Δ=a2-4a<0,故方程无解,所以a不是数列{an}中的项,C错误;若{an}是递增数列,则an+1>an,即n+1+>n+,得a<n2+n,又n2+n≥2,所以a<2,D正确。
ABD
16.在数列{an}中,an=。
(1)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;
(2)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
解 (1)证明:因为an==1-(n∈N*),所以0<an<1,故数列的各项都在区间(0,1)内。
(2)令<<,则<n2<2,n∈N*,解得n=1,即在区间内有且只有1项数列中的项,为a1。
$$