4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时 等比数列的性质及应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第2课时 等比数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　观察等比数列:2,4,8,16,32,64,128,256,…。 可以发现:162=8×32=4×64=2×128,即=a3a5=a2a6=a1a7。 观察项的角标满足什么关系?由此你能得到什么固定的结论吗? 1.熟悉等比数列的有关性质。 2.掌握等比数列在实际中的应用。 3.掌握等比数列与等差数列的综合应用。 1.等比数列的常用性质 (1)an=am·_______ (m,n∈N*)。 (2)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则有______________。 特别地,如果m+n=2k(m,n,k∈N*),则有am·an=。 (3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列。 (4)在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列。 qn-m am·an=ak·al (5)如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{anbn},,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,|q1|。 (6)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=________ =________ =…。 a2an-1 a3·an-2 递增 常数 2.等比数列的单调性 公比q 单调性首 项 q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 ______ 数列 ______ 数列 ______ 数列 摆动 数列 a1<0 ______ 数列 ______ 数列 3.等比数列的实际应用 实际生活中常会遇到增长率问题,如果增长量是个常量,则与等差数列有关;如果增长率是个常量,则与等比数列有关。 递增 递减 递减 微思考 1.已知等比数列{an},取其奇数项组成一个新数列,则此数列是否为等比数列?若取偶数项呢? 2.设数列是各项为正数的等比数列,那么{lg an}还是等比数列吗? 提示:设等比数列{an}的公比为q,其奇数项为a1,a3,a5,…,是公比为q2的等比数列;同样,偶数项也是公比为q2的等比数列。从等比数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等比数列。 提示:不是,{lg an}是等差数列。 类型一 等比数列性质的应用 　　【例1】　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ( ) A.5 B.7 C.6 D.±5 解析　解法一:由等比中项的性质知a1a2a3==5,a7a8a9==10,所以a2a8=5,所以a4a5a6==()3=(5)3=5。 解法二:由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比数列,所以(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a4a5a6)2,所以a4a5a6=±=±5。又数列各项均为正数,所以a4a5a6=5。 A (2)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+ log2a3+…+log2a2n-1= ( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 C 解析　解法一:由a5·a2n-5=22n得a1q4·a1q2n-6=q2n-2=22n,所以(a1qn-1)2=(2n)2。又an>0,所以a1qn-1=2n。故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3·…·a2n-1)= log2(q2+4+…+2n-2)= log2[qn(n-1)]=log2[(a1qn-1)n]=log2[(2n)n]=n2。 解法二:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,因为an>0,所以an=2n。取特殊值,如令n=2,则log2a1+log2a3=log2(2·23)=log224=4。只有C选项符合。 解法三:由等比中项的性质,得a5·a2n-5=(an)2=22n,因为an>0,所以an=2n。于是log2a1+log2a3 +…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2。 应用等比数列的性质解题的策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题。 (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用:①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=进行求解。 【变式训练】　(1)等比数列{an}中,a2=3,a7a10=36,则a15等于 ( ) A.12 B.6 C.-12 D.-6 解析　由a2a15=a7a10,得a15===12,故选A。 A (2)在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++=______。  解析　因为+=,+=,由等比数列的性质知a7a10=a8a9,所以+++==÷-=-。 - 类型二 等比数列的实际应用 　　【例2】　已知0<r<p<100,在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg,注入浓度为p%的溶液 kg,搅匀后倒出混合液 kg。如此反复进行下去。 (1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%; (2)设第n次混合后溶液的浓度为an%,试用an表示an+1; (3)写出an的通项公式。 解　(1)a1%==(p+4r)%。 (2)an+1%==(p+4an)%,即an+1=(p+4an)。 (3)由(2)知an+1=(p+4an),即an+1-p=(an-p),所以{an-p}是一个首项为a1-p=(r-p),公比为的等比数列,所以an-p=(r-p)=(r-p),所以an=p-(p-r)。 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题,在建立等比数列模型后,计算时往往要运用指数运算等,要注意计算的准确性,对于近似计算问题,答案要符合题设中实际问题的需要。 　【变式训练】　某小区现有住房的面积为a平方米,在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房,同时按当年住房面积的10%建设新住房,则n年后该小区的住房面积为 ( ) A.a·1.1n-nb B.a·1.1n-10b(1.1n-1) C.n(1.1a-1) D.(a-b)1.1n B 解析　由题意,第一年的住房面积为a1=a·1.1-b,第二年的住房面积为a2=a1·1.1-b= a·1.12-1.1b-b,…,则an+1=an·1.1-b。若an+1+m=(an+m)·1.1,则m=-10b,所以{an-10b}是首项为a1-10b,公比为1.1的等比数列,则an-10b=(a1-10b)×1.1n-1=(a-10b)×1.1n,所以an=1.1na-10b(1.1n-1)。故选B。 类型三 等比数列的综合应用 　　【例3】　已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若S4,S6,Sn成等比数列,求n及此等比数列的公比。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d≠0。因为S1+1,S3,S4成等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,所以即可得a1=1,d=2(d=0舍去),所以an=1+2(n-1) =2n-1,n∈N*。 (2)由(1)可得Sn==n2,所以S4=42=16,S6=62=36。因为S4,S6,Sn成等比数列,所以=S4·Sn,所以362=16n2,化为36=4n,解得n=9,所以此等比数列的公比为=。 解决等差、等比数列综合问题,一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系,然后利用两种数列的性质求解。 　【变式训练】　已知{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,a1=16,2a3+3a2=32。 (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=3log2an,求数列{bn}的前n项和Sn,并求Sn的最大值。 解　(1)设{an}的公比为q(q>0),因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0,解得q=-2(舍去)或q=,因此{an}的通项公式为an=16×=25-n。 (2)由(1),得bn=3(5-n)log22=15-3n,当n≥2时,bn-bn-1=-3,故{bn}是首项为b1=12,公差为-3的递减的等差数列,则Sn=12n+n(n-1)(-3)=-(n2-9n)。又b5=0,所以数列{bn}的前4项为正数,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,且最大值为S4=S5=30。 1.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析　由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2。 A 2.在等比数列{an}中,an>0,且a1a10=27,则log3a2+log3a9= ( ) A.9 B.6 C.3 D.2 解析　因为a2a9=a1a10=27,所以log3a2+log3a9=log327=3。 C 3.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为____。  解析　设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2。插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8。 8 4.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则q=____ ,a8+a9+a10=________。  解析　设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2,则a8+a9+a10=q7(a1+a2+a3)=27×1=128。 2 128 5.已知{an}为等比数列。 (1)若{an}满足a2a4=,求a1a5; (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值。 解　(1)在等比数列{an}中,因为a2a4=,所以=a1a5=a2a4=,所以a1a5=。 (2)由等比中项,化简条件,得+2a6a8+=49,即(a6+a8)2=49,因为an>0,所以a6+a8=7。 (3)由等比数列的性质,知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10。 $$