4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.3.1　第1课时 等比数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　观察下面几个问题中的数列,回答下面的问题。 ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”:“今天出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” 构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98。 ②-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、…,依次排成一列数:-,,-,,…; 类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律? 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等比数列与指数函数的关系。 q 1.等比数列的概念 文字 语言 一般地,如果一个数列从第_____项起,每一项与它的前一项的比都等于_______________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_____,公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 ________=_____ (q为常数,q≠0,n∈N*) 2 同一个常数 公比 2.等比中项 (1)前提:三个数a,G,b成等比数列。 (2)结论:______叫做a,b的等比中项。 (3)满足的关系式:G2=____。 3.等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有公式an=________。这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比。 G ab a1·qn-1 4.等比数列与指数函数的关系 由an=·qn可知,当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数f (x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f (n)(如图所示)。 反之,任给指数函数f (x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f (1)=ka,f (2)=ka2,…,f (n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a。 微提醒 1.等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要,切记不可丢掉。 2.公比q可正,可负,但不能为0,它是一个与n无关的非零常数。 微思考 1.定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗? 2.任意两个实数a,b都有等比中项吗? 提示:不可以。因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2项起”。 提示:不一定,只有a,b同号时才有等比中项。 类型一 等比数列的概念 　　【例1】　(1)判断下列数列是否为等比数列。 ①1,3,32,33,…,3n-1,…; ②-1,1,2,4,8,…; ③a1,a2,a3,…,an,…。 解　①记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,…,因为==3(n≥2,n∈N*),所以数列为等比数列,且公比为3。 ②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,因为=-1≠=2,所以此数列不是等比数列。 ③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a。 (2)已知数列的前n项和为Sn=2n+a,试判断{an}是否为等比数列。 解　an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2)。当n≥2时,==2;当n=1时,==。故当a=-1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2;当a≠-1时,数列{an}不是等比数列。 判断一个数列{an}是等比数列的基本方法是定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列。 　【变式训练】　(1)下列所给数列中,等比数列的序号是_________。  ①1,1,1,1,1,…;②0,1,2,4,8,…;③2-,-1,2+,…;④,2,4,8,16,…。 ①③ (2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式。 解　因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1)。由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0。所以=2(n∈N*),所以{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1。 类型二 等比中项 　　【例2】　(1)已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab= ( ) A.6 B.-6 C.±6 D.±12 解析　依题意知2a=1+2,b2=(-1)×(-16),解得a=,b=±4,所以ab=±6。 C (2)有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间两个数的和为18,求这四个数。 解　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a。由题意得解得q=2或q=。当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18;当q=时,a=,这四个数为,,,。 解决已知三个数或四个数成等比数列的问题,灵活地设项至关重要。一般地,当三个数成等比数列时,可设为,a,aq,此时公比为q;当四个数成等比数列时,可设为,,aq,aq3,此时公比为q2。在解题中要特别注意,若四个数成公比为负数的等比数列,则不可如此设项,可设为,-,aq,-aq3,此时公比为-q2。 【变式训练】　(1)(多选)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 ( ) A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 D.ac=-9 解析　因为b是-1,-9的等比中项,所以b2=9,b=±3。由等比数列奇数项符号相同,得b<0,故b=-3,而b又是a,c的等比中项,故b2=ac,即ac=9。 BC (2)等比数列{an }的前3项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项。 解　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q。因为a2-a5=42,所以q≠1。由已知得即因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),所以由②除以①,得q(1-q)=,所以q=。所以a1==96。设G是a5,a7的等比中项,则G2=a5a7== q10=962×10=9,即G=±3。所以a5与a7的等比中项是±3。 类型三 等比数列的通项公式及应用 　　【例3】　在等比数列{an }中, (1)已知a3=9,a6=243,求a5; (2)已知a1=,an=,q=,求n。 解　(1)解法一:由a3=9,a6=243,得a1q2=9,a1q5=243。所以q3==27,所以q=3。所以a1=1。所以a5=a1q4=1×34=81。 解法二:因为a6=a3q3,所以q3===27,所以q=3。所以a5=a3q2=9×32=81。 (2)因为a1=,q=,an=,所以=×。所以==。所以n-1=3,所以n=4。 已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项公式常用方程思想,通过已知可以得到关于a1和q的两个方程,从而解出a1和q,再求其他项或通项公式。 　【变式训练】　在等比数列{an}中, (1)已知an=128,a1=4,q=2,求n; (2)已知an=625,n=4,q=5,求a1; (3)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式。 解　(1)因为an=a1·qn-1,所以4·2n-1=128,所以2n-1=32=25,所以n-1=5,n=6。 (2)a1===5。 (3)a3=a1·q2,即8=2q2,所以q2=4,所以q=±2。当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n,当q=-2时,an=a1qn-1=2×(-2)n-1=(-1)n-1×2n,所以数列{an}的公比为2或-2,对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n。 1.(多选)下列说法正确的有 ( ) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是R C.若一个常数列是等比数列,则公比为1 D.22,42,62,82,…成等比数列 解析　A显然正确;等比数列的公比不能为0,故B错误;C显然正确;由于≠,故不是等比数列,D错误。 AC 2.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则a3等于 ( ) A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 解析　由a4=a1q3,得q3=8,即q=2,所以a3==32。 C 3.45和80的等比中项为_____________。  解析　设45和80的等比中项为G,则G2=45×80,所以G=±60。 -60或60 4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为________________。  解析　由Sn=4an+1,得Sn-1=4an-1+1(n≥2),两式相减,得an=4an-4an-1,即3an=4an-1,所以=(n≥2),因此数列{an}是公比为的等比数列。又S1=4a1+1,即a1=4a1+1,所以a1=-,故an=-·()n-1。 an=-·()n-1 5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5。 (1)求该数列的通项公式; (2)判断728是不是该数列中的项。 解　(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去)。于是公比q==3,故通项公式为an=3n-1。 (2)令3n-1=728,解得n=log3 728+1,因为log3 728+1∉N*,所以728不是该数列中的项。 $$