4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第2课时 等差数列的性质及应用 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第2课时 等差数列的性质及应用 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　同学们,前面我们学习了等差数列的概念,明白了可以从函数的视角认识等差数列,在学习过程中,我们发现了一个非常有意思的事情,比如说an=n,这是一个正整数的数列,如果我们把其中的偶数拿出来,即2,4,6,8,10,…,容易发现这也是一个等差数列,同样,如果我们把所有的奇数拿出来,也能构成一个新的数列,今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质。 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题。 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一个固定常数;当d≠0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以______为斜率的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点。 2.等差数列通项公式的变形及推广 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N*)。 (2)an=am+(n-m)d(m,n∈N*)。 (3)d=(m,n∈N*,且m≠n)。 d 3.等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=______。 ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak。 ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的______,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…。 (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为______数列。 ap+aq 和 等差 pd1+qd2 递增 递减 (3)若{an}是公差为d的等差数列,则: ①{c+an}(c为任一常数)是公差为______的等差数列。 ②{can}(c为任一常数)是公差为______的等差数列。 ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为______的等差数列。 (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为___________的等差数列。 (5){an}的公差为d,则d>0⇔{an}为______数列;d<0⇔{an}为______数列;d=0⇔{an}为常数列。 d cd 2d 微思考 1.若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap成立吗? 提示:不一定。如数列1,2,3,4,…,满足a1+a2=a3;而数列1,1,1,1,…,则不满足a1+a2=a3。 2.d=,d=,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗? 提示:等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(1,a1), (n,an),(m,am)都是这条直线上的点。d为直线的斜率,故两点(1,a1),(n,an)连线的斜率d=。当两点为(n,an),(m,am)时,有d=。 类型一 等差数列的“子数列”性质 　　【例1】　已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75。 解　因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为第4项,所以a60=a15+3d,得d=4,所以a75=a60+d=24。 (1)关于等差数列中“子数列”性质的应用问题。若已知am,an,求ap,①可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap;②也可以利用等差数列通项公式的推广公式直接求解;③若m,n,p有一定规律,可以构造新的等差数列求解。 (2)等差数列的公差本质上是相应直线的斜率,所以类比直线的斜率公式可得出d=。 【变式训练】　(1)已知等差数列{an}中,若a5=8,a10=20,求a15。 解　解法一:因为a5,a10,a15成等差数列,所以a5+a15=2a10,所以a15=2a10-a5=2×20-8=32。 解法二:因为{an}为等差数列,设其公差为d,所以a10=a5+5d,所以20=8+5d,所以d=,所以a15=a10+5d=20+5×=32。 (2)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,求a5+b5的值。 解　解法一:设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2) = (a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2) =21+2×7=35。 解法二:因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an+bn}也构成等差数列,所以2(a3+b3)= (a1+b1)+(a5+b5)。所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35。 类型二 等差数列“下标和”性质的应用 　　【例2】　(1)在等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值。 解　解法一:根据等差数列性质a2+a10=a4+a8=2a6。由a2+a6+a10=1,得3a6=1,解得a6=,所以a4+a8=2a6=。 解法二:设数列{an}的公差为d,根据等差数列的通项公式得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d) + (a1+9d)=3a1+15d。由题意,知3a1+15d=1,即a1+5d=。所以a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=。 (2)在等差数列{an}中,a3+a7=37,求a2+a4+a6+a8的值。 解　解法一:设等差数列的公差为d,则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=37,所以a2+a4 +a6+a8=4a1+16d=2(2a1+8d)=74。 解法二:由等差数列的性质可知:a3+a7=a4+a6=a2+a8,所以a2+a4+a6+a8= 2(a3+a7)= 2×37=74。 等差数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量。 (2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar。 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5= ( ) A.100 B.90 C.95 D.20 解析　在等差数列{an}中,a2+a8=10,所以a2+a8=2a5=10,解得a5=5,(a4+a6)2-2a5 =(2a5)2-2a5=100-10=90。 B (2)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为_____ 。  解析　依题意,等差数列{an}各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤=(a5)2=9。当且仅当a3=a7=3时取等号。 9 类型三 数列的实际应用 　　【例3】　某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? 解　设第n年的利润为an万元,则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*),所以每年的利润构成一个等差数列{an},从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n。若an<0,则该公司经销这一产品将亏损。所以由an=220-20n<0,得n>11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损。 解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息,若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列。 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题。 　【变式训练】　古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之。上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给。问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金______斤。  解析　设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,则a1,a2,…,a10成等差数列,且设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,则解得d=-,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=。   1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 ( ) A.3 B.-6 C.4 D.-3 解析　由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6。 B 2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于 ( ) A.32 B.-32 C.35 D.-35 解析　由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35。 C 3.在等差数列{an}中,已知a4+a5=15,a7=12,则a2等于 ( ) A.3 B.-3 C. D.- 解析　由等差数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3。 A 4.在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为______。  解析　由等差数列的性质可知,a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+(a5+a9)+a7=5a7=100,所以a7=20。所以3a9-a13=2a9+a9-a13=(a5+a13)+a9-a13=a5+a9=2a7=40。 40 5.在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值。 解　解法一:因为(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,所以a1+a4+ a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列。所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27。 解法二:因为a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)=3a1+9d=39,所以a1+3d=13　①。因为a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)=3a1+12d=33,所以a1+4d=11　②。联立①②解得所以a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27。 $$