4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时 等差数列的概念及通项公式 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.2.1　第1课时 等差数列的概念及通项公式 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　我国有用十二生肖纪年的习惯,例如:2021年是牛年,从2021年开始,牛年的年份为2021,2033,2045,2057, 2069,2081,…。这些年份有什么特点? 1.通过生活实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义。 2.体会等差数列与一次函数的关系。 公差 d A a+b a1+(n-1)d 1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第_____项起,每一项与它的_______的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_____,公差通常用字母_____表示。 2.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时, _____叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道,2A=_______。 3.等差数列的通项公式 (1)通项公式:首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式是an=____________。 2 前一项 同一个常数 (2)等差数列与一次函数的关系: ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f (x)=dx+ (a1-d)上。 ②任给一次函数f (x)=kx+b(k,b为常数),则f (1)=k+b,f (2)=2k+b,…,f (n)=nk+b,构成一个等差数列{nk+b},其首项为_______,公差为_______。 (k+b) k 微思考 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差是常数,那么这个数列是等差数列吗? 2.任何两个数都有等差中项吗? 3.数列{an}的通项公式是an=2n+3,则数列{an}是等差数列吗? 提示:不一定。如数列1,2,4,7,10满足条件但不是等差数列,因此等差数列的定义中强调“差都等于同一个常数”。 提示:任何两个数都有等差中项。 提示:是等差数列,其公差是2。 类型一 等差数列的通项公式及应用 　　【例1】　在等差数列{an}中, (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9。 解　(1)由题意,知解得 (2)由题意,知解得所以a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17。 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程,通过列方程组求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量。 【变式训练】　(1)在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 ( ) A.-14 B.-7 C.7 D.14 解析　因为a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7。 C (2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9= ( ) A.12 B.18 C.24 D.30 解析　因为在等差数列{an}中,a5+a10=12,所以2a1+13d=12,3a7+a9=3(a1+6d)+ a1+8d= 4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24。 C 类型二 等差中项 　　【例2】　(1)等差数列的前3项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为 ( ) A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 解析　因为x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3项,所以2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0。所以a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,所以d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3。 B (2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数。 解　解法一:设这三个数为a,b,c,且a<b<c,则由题意,得解得所以这三个数是4,6,8。 解法二:设这三个数为a-d,a,a+d,由已知,得由①,得a=6。代入②,得d=±2。因为该数列是递增的,所以d=2(-2舍去)。所以这三个数为4,6,8。 等差中项的应用策略 (1)求两个数x,y的等差中项,即根据等差中项的定义得A=。 (2)当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d。利用和为定值先求出其中某个未知量,再进一步解题。 　【变式训练】　(1)已知a=,b=,则a,b的等差中项为 ( ) A. B. C. D. 解析　a,b的等差中项为×+=×(-++)=。 A (2){an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d= ( ) A.2 B. C.1 D. 解析　因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+ a3=4,两式相减得a3-a1=2d=2,解得d=1。 C 类型三 等差数列的判定与证明 　　命题方向1:等差数列的证明 　　【例3】　(1)已知数列{an}是等差数列,设bn=2an+3,求证:数列{bn}也是等差数列。 证明　因为数列{an}是等差数列,可设其公差为d,则an+1-an=d。从而bn+1-bn=(2an+1+3)- (2an+3)=2(an+1-an)=2d,它是一个与n无关的常数,所以数列{bn}也是等差数列。 (2)已知a1=2,若an+1=2an+2n+1,证明为等差数列,并求{an}的通项公式。 证明　由于an+1=2an+2n+1,所以-=-=1,所以是以1为首项 ,1为公差的等差数列。所以=1+(n-1)×1=n。所以an=n·2n。 等差数列的判定方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列。 (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列。 (3)通项公式法:an=an+b(a,b为常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列。 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法。 【变式训练】　已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=。求证:数列{bn}是等差数列。 证明　定义法:因为bn+1===,所以bn+1-bn=-==,为常数(n∈N*)。又b1==,所以数列{bn}是首项为,公差为的等差数列。 　命题方向2:等差数列的探究 　　【例4】　数列{an}满足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*)。 (1)当a2=-1时,求λ及a3的值。 (2)是否存在λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求其通项公式;若不存在,说明理由。 解　(1)因为an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*)及a1=2,a2=-1,所以a2=(λ-3)a1+2,所以λ=。所以a3=-a2+22,所以a3=。 (2)不存在。因为a1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3= (λ-3)a2+4 =2λ2-10λ+16。若数列{an}为等差数列,则a1+a3=2a2,即2+2λ2-10λ+16=2(2λ-4),所以λ2-7λ+13=0。因为Δ=49-4×13<0,所以方程无实数解,所以λ不存在,即不存在λ,使数列{an}为等差数列。 先假设数列是等差数列,根据题意列出方程,若方程有解,则数列是等差数列,否则数列不是等差数列。若否定数列是等差数列也可以利用特殊项,如用a1,a2,a3不是等差数列进行否定。 【变式训练】　已知数列{an}满足a1=2,an+1=。 (1)数列是否为等差数列?说明理由; (2)求an。 解　(1)数列是等差数列,理由如下:因为a1=2,an+1=,所以==+,所以-=,即是首项为=,公差为d=的等差数列。 (2)由(1)可知=+(n-1)d=,所以an=。 1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n,则它的公差为 ( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 解析　因为an=3-2n=1+(n-1)×(-2),所以d=-2。故选C。 C 2.若数列{an}的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列 解析　an+1-an=[2(n+2)+3]-[2(n+1)+3]=2,故{an}是公差为2的等差数列。 A 3.已知等差数列{an}中,a1=,a2+a5=4,an=33,则n等于 ( ) A.50 B.49 C.48 D.47 解析　由题得2a1+5d=4,将a1=代入,得d=,则an=+(n-1)=n-,又an=33,所以n-=33,得n=50。故选A。 A 4.在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则通项公式an= ______。  解析　由题意可得解得d=2,a1=2。所以an=2+(n-1)×2=2n。 2n 5.已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn+r(p,q,r∈R,且p,q,r为常数)。当p,q,r满足什么条件时,数列{an}是等差数列? 解　欲使{an}是等差数列,则an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)+r]-(pn2+qn+r)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列{an}是等差数列。此时q,r∈R。 $$