4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第四章 数 列 4.1　数列的概念 第2课时　数列的递推公式及前n项和 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 4.1　第2课时　数列的递推公式及前n项和 当堂检测·提素养 第 ‹#› 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 A版 赢在字里行间 　　《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题:如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第3个月里,又能生1对小兔子。在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,每月月末的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列。 1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题。 2.掌握数列的前n项和Sn与通项公式an的关系。 前n项和公式 1.递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式。 2.数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的__________,记作Sn,即Sn= __________________。 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个______来表示,那么这个式子叫做这个数列的__________________。 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有an= 前n项和 a1+a2+…+an 式子 微提醒 递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项。 微思考 1.数列1,2,4,8,…的第n项an与第n+1项an+1有什么关系?所有的数列都有递推公式吗? 2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,对吗? 提示:an+1=2an。与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式,如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式。 提示:不正确。当n≥2时上述推导正确,当n=1时,a1=2,不适合an=2n-1。所以an= 类型一 由递推公式求数列的项 　　【例1】　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出。 (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项。 解　(1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2 =3+2 =5,a5=a4+a3=5+3=8。故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8。 (2)因为bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,所以b1==,b2==,b3==,b4==。故{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=。 递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系。对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;而递推公式则需要知道首项(或前几项),才能依次求得其他各项。若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性。 【变式训练】　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出该数列中的第2 022项? 解　a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…。规律:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6。证明如下:因为an+2=an+1-an,所以an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an。所以an+6=-an+3=-(-an)=an。所以数列{an}是周期数列,且T=6。所以a2 022=a336×6+6=a6=-1。 类型二 由递推公式求通项公式 　　命题方向1:累加法求通项公式 　　【例2】　已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求数列的通项公式。 解　因为an+1-an=,所以a2-a1=;a3-a2=;a4-a3=;…;an-an-1=;以上各式累加得,an-a1=++…+=1-+-+…+-=1-。因为a1=-1,所以an+1=1-,所以an=-(n≥2)。又因为n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-。 用“累加法”求数列的通项公式 当an-an-1=f (n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1来求通项公式。 【变式训练】　在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+,求数列的通项公式。 解　an+1-an=ln1+=ln(1+n)-ln n,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]=2+ln n(n≥2)。因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n。 　命题方向2:累乘法求通项公式 　　【例3】　设数列{an}中,a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),求数列的通项公式。 解　因为a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),所以=,an=×××…×××a1 =×××…×××1=。又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=。 用“累乘法”求数列的通项公式 当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=···…··a1来求通项公式。 　【变式训练】　若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且a1=1,则a100=______。  解析　由(n-1)an=(n+1)an-1,即=,则a100=a1···…·=1×××…×= 5 050。 5 050 类型三 由数列的前n项和求通项公式 　　【例4】　已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求数列{an}的通项公式。 (1)lg(Sn+1)=n+1; (2)Sn=2n2-3n。 解　(1)因为lg(Sn+1)=n+1,所以Sn+1=10n+1,即Sn=10n+1-1。当n=1时,a1=S1=102-1=99;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9×10n。从而数列{an}的通项公式为an= (2)当n=1时,a1=S1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式,所以an=4n-5(n∈N*)。 数列的通项an与前n项和Sn的关系 (1)已知Sn求an,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错。 (2)在书写数列{an}的通项公式时,务必验证n=1是否满足an(n≥2)的情形。如果不满足,则通项公式只能用an=表示。 【变式训练】　已知数列{an}的前n项和为Sn。 (1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an; (2)若Sn=3n+2n+1,求an。 解　(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1),又a1也适合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1)。 (2)因为当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)- [3n-1+2(n-1)+1] =2·3n-1+2,由于a1不适合此式,所以an= 1.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5= ( ) A.-3 B.-11 C.-5 D.19 解析　因为an+1=an+2-an,所以an+2=an+1+an,又因为a1=2,a2=5,所以a3=a1+a2=7, a4=a3+a2=12,a5=a4+a3=19。 D 2.已知数列{an}的项满足an+1=an,而a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于 ( ) A. B. C. D. 解析　因为an+1=an,所以当n=1时,a2=a1=,当n=2时,a3=a2=,将n=1,n=2,n=3代入四个选项检验可知B正确。 B 3.已知数列{an}满足a1=,an+an-1=1(n∈N*,n≥2),那么a2 022的值为 ( ) A. B. C.0 D. 解析　由an+an-1=1,得an=1-an-1。又a1=,所以a2=,a3=,a4=,…,由此可知数列{an}的项以2为周期重复出现a2 022=a2=。故选B。 B 4.已知数列{an}中a1=1,对所有n≥2都有a1·a2·a3·…·an=n2,则an=____________________ 。  解析　当n≥2时,an==,因为a1=1不符合上式,所以an=   5.已知数列{an}满足a1=,an=an-1+(n≥2),求数列{an}的通项公式。 解　因为an=an-1+(n≥2),所以an-an-1==-,所以a2-a1= -,a3-a2=-,…,an-an-1=-(n≥2)。以上各式相加,得an-a1= -(n≥2),所以an=a1+-=(n≥2),又a1=适合an=,故数列{an}的通项公式为an=。 $$