7.3 万有引力理论的成就-2024-2025学年高一物理精品讲义（知识梳理+考点精讲）（人教版2019必修二）

7.3万有引力理论的成就 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。 2.掌握解决天体运动问题的基本思路。 3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 4.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 知识点一：“称量”地球的质量 1. “带换法”称量地球的质量（自力更生） （1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度） （2）地球质量的大小： 2. 环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。 （1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力有地球对卫星的万有引力提供。 （2）关系式： ①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得 ②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得： ③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。 知识点二：计算太阳（或中心天体）的质量和密度 【拓展】宇宙中的双星模型 1. 双星系统 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”． 2．双星模型的特点 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同． (4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L. 3. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了他们做圆周运动的向心力，即：，由此可得： (1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近． (2)由于、r1＋r2＝L，可得： ①两恒星质量之和：； ②两轨道半径：， ④星体转动的周期： 知识点三：发现未知天体 1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 【考点一：计算天体的质量】 1．一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球下落的过程中根据自由落体运动规律有 解得 质量为m的物体，在星球表面，星球对它的引力等于其重力，有 解得星球质量 故选B。 1-1.如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力恒量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物体做自由落体运动有 根据万有引力与重力的关系 解得月球的质量为 故选B。 1-2.（多选）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地角速度和绕地半径 C．核心舱的质量和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 【答案】BD 【详解】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得 可得 则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地半径、核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。 故选BD。 1-3.中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求： （1）“空间站”的环绕周期T； （2）地球的质量M。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）“空间站”做匀速圆周运动的角速度 “空间站”的环绕周期 所以 （2）“空间站”的轨道半径 “空间站”做匀速圆周运动万有引力提供向心力 所以地球质量 1-4.一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示） （1）小球抛出的初速度大小； （2）该星球表面的重力加速度； （3）该星球的质量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设小球抛出的初速度大小为，则有 解得 （2）设该星球表面的重力加速度为，则有 解得 （3）在星球表面上，由万有引力等于物体的重力，得 解得该星球的质量为 1-5.宇航员在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图所示。已知万有引力常量为G，星球M的半径为R。求星球M的密度。    【答案】 【详解】由a−x图像可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律， 当x=0时，得M星球表面上的重力加速度， 设M星球的质量为M，物体所受重力等于万有引力，即 则有质量 又有 则有星球M的密度 【考点二：天体密度的计算】 2. 若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可以求出（　　） A．行星的质量 B．太阳的质量为 C．行星的密度为 D．太阳的密度为 【答案】B 【详解】依题意，根据牛顿第二定律，可得 可得太阳质量为 则太阳密度为 由于太阳的半径未知，所以太阳的密度不能求出，由于行星的质量可以约掉，故也无法求出行星的质量及密度。 故选B。 2-1. 假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设星球的质量为，半径为，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，根据万有引力定律和牛顿第二定律有 在两极处有 又 联立解得该星球的密度为 故选C。 2-2.假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。 【答案】 【详解】[1]由自由落体公式得 解得 g= [2]设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力等于万有引力，有 mg=G 设月球体积为V，V=πR3，则月球的密度为ρ=，联立以上各式得 ρ= 2-3.2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求： （1）地球的平均密度； （2）空间站距离地面的高度h。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在地球表面 根据密度公式， 解得 （2）空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 在地球表面 解得 2-4.2021年5月，“天问一号”探测器在火星成功着陆。探测器着陆前，若将其在贴近火星表面轨道上的运动看做匀速圆周运动，已知探测器的运动周期为，火星的半径为R，引力常量为G。求： （1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小； （2）火星的密度。 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小为 （2）根据牛顿第二定律有 根据球体积公式有 根据密度公式有 解得 【考点三：双星系统】 3．宇宙中存在两个质量均为m的星球A和星球B，两星球之间的距离为L，引力常量为G。 （1）若将A、B星球视为远离其他天体的双星模型，请用L、G、m等参数表示两行星做匀速圆周运动的周期T0； （2）天文观测发现A、B星球实际的运行周期，某天文学家认为导致该现象的原因可能是在A、B星球连线的中点处存在一颗暗星（由暗物质构成的天体）C，请根据上述信息计算暗星C的质量M与A星球的质量m的比值。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）以A星球为研究对象，其公转半径，根据匀速圆周运动规律有 解得 （2）以A星球为研究对象，做匀速圆周运动的向心力来源于B星及C星的引力，即 且 联立两式解得 3-1．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和，且r1<r2，下列说法正确的是（　　） A．m1一定小于m2 B．轨道半径为r1的星球线速度更大 C．若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 D．只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出某一颗星的质量 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力＝m1ω2r1＝m2ω2r2 可得m1r1＝m2r2 因r1<r2 则有m1>m2 故A错误； B．根据v＝ωr 可知轨道半径为r1的星球线速度更小，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 解得 可知若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大，故C正确； D．由 可知，只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出两星的质量之和，不能计算出某一颗星的质量，故D错误。 故选C。 3-2.（多选）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，忽略其他星球对A、B的影响，则下列说法正确的是（　　） A．恒星B的周期为 B．A、B两颗恒星质量之比为1：2 C．恒星B的线速度是恒星A的2倍 D．A、B两颗恒星质量之和为 【答案】BD 【详解】A．由于A、B两恒星连线始终过O点，运动周期相同，均为T。故A错误； B．根据 可知 又 联立，解得A、B两颗恒星质量之比为 故B正确； C．根据 联立，解得 故C错误； D．根据B选项，可知 故D正确。 故选BD。 【考点四：多星运动问题】 4．（多选）如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为，中心天体质量为，环绕天体质量均为，已知，则（　　） A．乙、丙图中环绕天体的周期之比为 B．乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度 C．甲图中的角速度大于丙图中的角速度 D．乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为 【答案】CD 【详解】A．根据万有引力定律，对乙图所示的模型有 可得 对丙图所示的模型有 可得 则有 故A错误； B．角速度之比等于周期的反比，乙图中环绕天体的周期比丙图中的大，故乙图中环绕天体的角速度比丙图中的小，故B错误； C．根据万有引力定律，对甲图所示的模型有 解得 对丙图所示的模型有 解得 由于，则甲图中的角速度大于丙图中的角速度，故C正确； D．乙、丙两图半径相同，线速度之比为周期的反比，故线速度之比为，故D正确。 故选CD。 4-1太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图所示）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为 M，两种系统的运动周期相同，引力常量为 G，求三角形三星系统星体间的距离 L。    【答案】 【详解】以左边的系统中的甲或者丙为研究对象，根据牛顿第二定律有 得 三星系统中任意星体所受合力为 而根据牛顿第二定律，有 根据题意，其周期与左边系统周期相同 根据几何关系，轨道半径r与边长L的关系为 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3万有引力理论的成就 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。 2.掌握解决天体运动问题的基本思路。 3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 4.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 知识点一：“称量”地球的质量 1. “带换法”称量地球的质量（自力更生） （1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度） （2）地球质量的大小： 2. 环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。 （1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力有地球对卫星的万有引力提供。 （2）关系式： ①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得 ②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得： ③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。 知识点二：计算太阳（或中心天体）的质量和密度 【拓展】宇宙中的双星模型 1. 双星系统 如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”． 2．双星模型的特点 (1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同． (4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L. 3. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了他们做圆周运动的向心力，即：，由此可得： (1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近． (2)由于、r1＋r2＝L，可得： ①两恒星质量之和：； ②两轨道半径：， ④星体转动的周期： 知识点三：发现未知天体 1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。 2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。 3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。 4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。 【考点一：计算天体的质量】 1．一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　） A． B． C． D． 1-1.如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力恒量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为（　　） A． B． C． D． 1-2.（多选）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地角速度和绕地半径 C．核心舱的质量和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径 1-3.中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求： （1）“空间站”的环绕周期T； （2）地球的质量M。 1-4.一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示） （1）小球抛出的初速度大小； （2）该星球表面的重力加速度； （3）该星球的质量。 1-5.宇航员在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图所示。已知万有引力常量为G，星球M的半径为R。求星球M的密度。    【考点二：天体密度的计算】 2. 若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可以求出（　　） A．行星的质量 B．太阳的质量为 C．行星的密度为 D．太阳的密度为 2-1. 假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　） A． B． C． D． 2-2.假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。 2-3.2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求： （1）地球的平均密度； （2）空间站距离地面的高度h。 2-4.2021年5月，“天问一号”探测器在火星成功着陆。探测器着陆前，若将其在贴近火星表面轨道上的运动看做匀速圆周运动，已知探测器的运动周期为，火星的半径为R，引力常量为G。求： （1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小； （2）火星的密度。 【考点三：双星系统】 3．宇宙中存在两个质量均为m的星球A和星球B，两星球之间的距离为L，引力常量为G。 （1）若将A、B星球视为远离其他天体的双星模型，请用L、G、m等参数表示两行星做匀速圆周运动的周期T0； （2）天文观测发现A、B星球实际的运行周期，某天文学家认为导致该现象的原因可能是在A、B星球连线的中点处存在一颗暗星（由暗物质构成的天体）C，请根据上述信息计算暗星C的质量M与A星球的质量m的比值。    3-1．宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和，且r1<r2，下列说法正确的是（　　） A．m1一定小于m2 B．轨道半径为r1的星球线速度更大 C．若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 D．只要测得双星之间的距离L和双星周期T，即可计算出某一颗星的质量 3-2.（多选）在银河系中，双星的数量非常多，研究双星，对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义。如图所示为由A、B两颗恒星组成的双星系统，A、B绕连线上一点O做圆周运动，测得A、B两颗恒星间的距离为L，恒星A的周期为T，恒星A做圆周运动的向心加速度是恒星B的2倍，忽略其他星球对A、B的影响，则下列说法正确的是（　　） A．恒星B的周期为 B．A、B两颗恒星质量之比为1：2 C．恒星B的线速度是恒星A的2倍 D．A、B两颗恒星质量之和为 【考点四：多星运动问题】 4．（多选）如图所示，甲、乙、丙分别为单星、双星、三星模型图，轨迹圆半径都为，中心天体质量为，环绕天体质量均为，已知，则（　　） A．乙、丙图中环绕天体的周期之比为 B．乙图中环绕天体的角速度大于丙图中环绕天体的角速度 C．甲图中的角速度大于丙图中的角速度 D．乙、丙两图中环绕天体的线速度之比为 4-1太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图所示）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为 M，两种系统的运动周期相同，引力常量为 G，求三角形三星系统星体间的距离 L。    1 学科网（北京）股份有限公司 $$