2.2二倍角的三角函数（7大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

2.2 二倍角的三角函数 题型一 已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 1.已知则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 【分析】利用同角平方关系及三角函数符号可得再由二倍角正弦公式求值. 【详解】因为则， 所以而. 故选：A 2.已知、，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】由、，可计算出、、的值，利用计算即可得. 【详解】由，，则， 则，， 由，则， 又、，则， 故， . 故选：A. 3.设，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式 【分析】结合角的范围利用平方关系先求出余弦值，再利用二倍角公式，建立关于的方程求解即可. 【详解】，， ， 又由得， 因为，所以，， 则. 故答案为：. 4.已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】利用诱导公式，结合二倍角正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】原式， 又由可知，则． 故． 故答案为： 题型二 二倍角的正弦公式 1.（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式 【分析】由正弦函数的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A. 2.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式和二倍角公式即可解得. 【详解】因为且，所以 从而. 故选：D 3.已知，若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】由，得， 因为，所以，， 所以，，解得． 故选：A． 4.（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行计算即可. 【详解】原式 ， 故选：C. 题型三 二倍角的余弦公式 1.已知 ，，则等于（　　） A．- B． C．- D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用余弦的倍角公式得到，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 所以. 故选：D. 2.已知函数，则 A．函数的最大值为，无最小值 B．函数的最小值为，最大值为 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最小值为，无最大值 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的表达式,然后根据所给的定义域求解函数的最值. 【详解】解：因为, 又因为，, 所以函数的最小值为,无最大值. 故选:D. 【点睛】本题考查函数诱导公式六的应用,应用诱导公式刘进行化简,得到正切函数的解析式,进而求最大最小值. 3.（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】先利用诱导公式化为同角，然后利用倍角公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值. 【详解】， . 故选：A. 题型四 二倍角的正切公式 1.（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用正切二倍角公式即可. 【详解】， 故选：D. 2.式子的值等于(　　) A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用同角三角函数关系，二倍角的正切公式，特殊角的三角函数值即可化简求值 【详解】因为，所以原式. 故选：A 3.已知为第三象限角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】确定n分角所在象限、二倍角的正切公式 【分析】利用正切的二倍角公式可得，求出，再根据的范围可得答案. 【详解】∵，∴， 即， ∴或. 为第三象限角，所以，， ∵，∴为第四象限角， ∴，∴. 故选：A. 4.已知，，则的值为（    ） A． B．16 C．2 D． 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】利用及和角正切公式可得，由二倍角正弦公式可得，最后由指数幂运算即可得结果. 【详解】由，而， 所以，又， 所以. 故选：D 题型五 诱导公式五、六、cos2x的降幂公式及应用 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【详解】. 故选：B. 2.sin 54°sin 18°=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角公式、诱导公式变形求解． 【详解】 =， 故选：C． 3.计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式、二倍角正余弦公式化简三角函数式即可. 【详解】由. 故选：D 4.设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式可得，再由诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 题型六 利用三角恒等变换判断三角形的形状 1.已知角，，为的内角，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】利用诱导公式及二倍角公式求出，即可判断. 【详解】在中，，则，所以， 又， ，， ，则，为直角三角形. 故选：B 2.在中，若，试判断的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 而，则，即， 因此，又A、B是三角形内角，于是或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 3.（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，一定有 B．若，那么一定是钝角三角形 C．一定有成立 D．若，那么一定是等腰三角形 【答案】ABC 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】对于、根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断. 对于、除了根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证. 【详解】对于A项：因为在三角形中，所以， 根据正弦定理：，所以，所以正确； 对于B项：因为，所以，， 故是钝角三角形，所以正确； 对于C项：，根据正弦定理， ，，所以正确； 对于D项：，即，， 解得或，所以错误. 故选：. 题型七 特殊角的三角函数值、辅助角公式 1.计算的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、辅助角公式 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式变形求解作答. 【详解】 . 故选：C 2.求值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案. 【详解】. 故选：A． 3.等于（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据基本关系式、诱导公式、二倍角正弦公式及辅助角公式化简可得结果. 【详解】 . 故选：C. 4.（多选） 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】应用辅助角公式、诱导公式化简即可得答案. 【详解】. 故选：BD 1.若，，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据倍角公式先求出 和 的符号，再确定 终边所在的象限. 【详解】 ， ， 的终边在第四象限； 故选：D. 2.的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，所以，且， 所以 . 故选：D 3.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边过点， 所以， 所以. 故选：D. 4.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用表示的等式，然后解方程即可. 【详解】 ， ，又， 则， 解得. 故选：D. 5.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 【分析】求出、、的长，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，， 因为为的中点，所以，， 当伞完全收拢时，，所以，， 在中，， 所以，. 故选：A. 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】万能公式 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 7.若，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】由, 且为第一象限角, 利用同角三角函数间的基本关系求出与的值, 利用二倍角公式化简后, 将各自的值代入计算即可求出值. 【详解】因为为第一象限角，且， 所以，且是第一或第三象限角. 当是第一象限角时，； 当是第三象限角时，. 故. 故选：B 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：B. 9.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx(型)函数的值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用三角恒等变换与正弦定理的边角变换，结合正弦函数的性质得到，从而利用锐角三角形的性质得到的范围，再利用正弦定理转化所求即可得解. 【详解】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 因为是锐角三角形，则，则， 所以，即，则， 所以，解得，则， 所以. 故选：B. 10.《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、二倍角的余弦公式 【分析】先根据半角公式求出，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解. 【详解】由，可得， 故弦长为，矢长为， 所以所求弧田面积为. 故选：A. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 二倍角的三角函数 题型一 已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式 1.已知则的值为 A． B． C． D． 2.已知、，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.设，，则 . 4.已知，且，则 ． 题型二 二倍角的正弦公式 1.（　　） A． B． C． D． 2.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知，若．则（    ） A． B． C． D． 4.（    ） A．1 B． C． D．2 题型三 二倍角的余弦公式 1.已知 ，，则等于（　　） A．- B． C．- D． 2.已知函数，则 A．函数的最大值为，无最小值 B．函数的最小值为，最大值为 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最小值为，无最大值 3.（    ） A． B． C． D． 4.已知，则（    ） A． B． C． D． 题型四 二倍角的正切公式 1.（    ） A．1 B． C． D． 2.式子的值等于(　　) A． B． C．2 D． 3.已知为第三象限角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4.已知，，则的值为（    ） A． B．16 C．2 D． 题型五 诱导公式五、六、cos2x的降幂公式及应用 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 2.sin 54°sin 18°=（　　） A． B． C． D． 3.计算等于（    ） A． B． C． D． 4.设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为（    ） A．－ B． C．－ D． 题型六 利用三角恒等变换判断三角形的形状 1.已知角，，为的内角，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 2.在中，若，试判断的形状. 3.（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，一定有 B．若，那么一定是钝角三角形 C．一定有成立 D．若，那么一定是等腰三角形 题型七 特殊角的三角函数值、辅助角公式 1.计算的值是（    ） A． B．2 C． D． 2.求值（    ） A． B． C． D． 3.等于（ ） A．1 B．2 C． D． 4.（多选） 化简的结果可以是（    ） A． B． C． D． 1.若，，则角的终边在（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.的化简结果是（ ） A． B． C． D． 3.已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　）      A． B． C． D． 6.已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 7.若，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 9.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（    ）    A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$