1.7 平面向量的应用举例（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.7 平面向量的应用举例 课程标准 学习目标 （1）利用平面向量解决平面几何、物理问题 （1）能利用平面向量解决简单的平面几何问题 （2）能利用平面向量解决简单的物理问题 知识点01 平面向量在平面几何的应用 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 【即学即练1】 （23-24高一下·宁夏银川·期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 知识点02 平面向量在物理的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【即学即练2】 （23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【题型一：用向量证明垂直关系】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    变式1-1．（23-24高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 变式1-2．（22-23高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【方法技巧与总结】 在平面几何中证明两直线、垂直关系，利用平面向量处理证明数量积. 【题型二：用向量解决夹角问题】 例2．（2021·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 变式2-2．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【方法技巧与总结】 求解平面几何中两直线、的夹角，可以利用平面向量的夹角公式. 【题型三：用向量解决线段长度问题】 例3．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）中，AD为中线，AD = 4，BC = 6，作，则等于（    ） A．7 B． C． D．9 变式3-3．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【方法技巧与总结】 求解平面几何中线段的长度，可以利用求解，而向量可以利用建系法或基底法求解. 【题型四：向量与几何的最值】 例4．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式4-2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向量，，，， ，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 变式4-3．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【方法技巧与总结】 1 平面向量中的最值问题，可以根据平行四边形法则或三角形法则把向量问题转化为几何问题； 2 向量模的最值可以考虑向量不等式. 【题型五：力的合成】 例5．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 变式5-2．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 变式5-3．（20-21高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【方法技巧与总结】 力的分解，要根据题意确定好分解的方式，把问题几何化，根据平行四边形法则活或三角形法则确定各线段或角度的关系. 【题型六：速度、位移的合成】 例6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 变式6-1．（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 变式6-2．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（23-24高一下·北京通州·期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 速度或位移的合成与力的合成的解题思路差不多；过河问题要理解什么情况下时间最短什么情况下路程最短. 【题型七：功、动量的计算】 例7．（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24高一·全国·课前预习）已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 变式7-2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    变式7-3．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 一、单选题 1．（23-24高三上·吉林·阶段练习）四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 2.（20-21高一下·四川成都·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3.（2024高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 4.（2022·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 7. （23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8.（2023·山东·模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 10. （23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 11. （23-24高一下·云南保山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    13.（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 14.（23-24高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 16.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 17.（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18.（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 19. （23-24高一下·山东滨州·期中）在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.    (1)如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； (2)已知是的平分线，请你用向量法证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.7 平面向量的应用举例 课程标准 学习目标 （1）利用平面向量解决平面几何、物理问题 （1）能利用平面向量解决简单的平面几何问题 （2）能利用平面向量解决简单的物理问题 知识点01 平面向量在平面几何的应用 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 【即学即练1】 （23-24高一下·宁夏银川·期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状. 【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形； 又由，可得，则平行四边形四边形为菱形 故选：D 知识点02 平面向量在物理的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【即学即练2】 （23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，推得，再将两边同时平方，即可求解. 【详解】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则， ，，与的夹角为150°， 故. 故选：A. 【题型一：用向量证明垂直关系】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 变式1-1．（23-24高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 变式1-2．（22-23高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见详解 【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明. 【详解】对于菱形，可知，即， 因为， 可得，则， 所以菱形的两条对角线互相垂直. 【方法技巧与总结】 在平面几何中证明两直线、垂直关系，利用平面向量处理证明数量积. 【题型二：用向量解决夹角问题】 例2．（2021·陕西·模拟预测）已知菱形中，，，点为上一点，且，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】设与交于点，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系如图所示，则点，，， ∴，，则， 故选：D. 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系，考查了学生的计算能力. 变式2-1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 变式2-2．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【答案】 【分析】通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化解得即可得到答案. 【详解】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，    在中，，所以， 由，平方得， 代入得，， 化简得，，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将转化为数量关系，结合图形关系得到代入求解即可. 【方法技巧与总结】 求解平面几何中两直线、的夹角，可以利用平面向量的夹角公式. 【题型三：用向量解决线段长度问题】 例3．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 变式3-1．（22-23高一下·福建·期中）在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可. 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 变式3-2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）中，AD为中线，AD = 4，BC = 6，作，则等于（    ） A．7 B． C． D．9 【答案】A 【分析】在三角形中利用向量的加、减法的几何意义，将长度、垂直问题转化为向量数量积问题求解可得. 【详解】在中，由， 则， 由三点共线， 则 ， 设， 则，且， 则. 故，即. 所以. 故选：A. 变式3-3．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得的长；利用向量法即可求得的长度； （2）利用向量夹角的余弦公式即可求得的值. 【详解】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另解：过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 【方法技巧与总结】 求解平面几何中线段的长度，可以利用求解，而向量可以利用建系法或基底法求解. 【题型四：向量与几何的最值】 例4．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 变式4-1．（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 变式4-2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知平面向量，，，， ，若，则的最大值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意由各向量间的夹角以及模长，画出图形利用圆心角和圆周角的关系并由向量数量积定义可得结果. 【详解】如下图所示： 令，，， 由余弦定理得，， 因为，所以， 则C点在圆E的优弧AB上运动，可得圆心角， 其中，，，， 则，所以， 所以 故选：B． 变式4-3．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案. 【详解】连接，如下图所示： 因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以 . 当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为 故选：C. 【方法技巧与总结】 1 平面向量中的最值问题，可以根据平行四边形法则或三角形法则把向量问题转化为几何问题； 2 向量模的最值可以考虑向量不等式. 【题型五：力的合成】 例5．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据,先求得，再由，即可求解. 【详解】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即， 解得 故选：A 变式5-1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【分析】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 变式5-2．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 变式5-3．（20-21高一·全国·课后作业）如图，重为的匀质球，半径，放在墙与均匀木板之间，A端固定在墙上，B端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小．    【答案】 【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解． 【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，令球心为，与球的切点为， 则，， 依题意，，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有， 又，，（）， 所以绳的拉力为.    【方法技巧与总结】 力的分解，要根据题意确定好分解的方式，把问题几何化，根据平行四边形法则活或三角形法则确定各线段或角度的关系. 【题型六：速度、位移的合成】 例6．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实际速度)． 【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．    设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向． 故选：A. 变式6-1．（23-24高一下·北京石景山·期中）红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（    ） A．曲线 B．直线 C．曲线 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，物体做曲线运动，进而得到答案. 【详解】当红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时， 合速度的方向与合加速度的方向，不在一条直线上，物体做曲线运动， 因为玻璃管水平向右做匀加速直线运动，所以红蜡块在竖直方向运动相同的距离时，向右的运动的距离越来越大， 所以运动轨迹为曲线. 故选：A. 变式6-2．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 变式6-3．（23-24高一下·北京通州·期中）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作出图形，由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，    由图可知，，所以，故， 所以又因为，所以， 所以（），故 . 故选：B 【方法技巧与总结】 速度或位移的合成与力的合成的解题思路差不多；过河问题要理解什么情况下时间最短什么情况下路程最短. 【题型七：功、动量的计算】 例7．（22-23高一下·湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理得出，再根据求功公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理， ， ∴. 故选：B 变式7-1．（23-24高一·全国·课前预习）已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 【答案】D 【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可. 【详解】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝. 故选：D 变式7-2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    【答案】 1000J 【分析】利用投影向量的求解公式求投影向量，利用数量积的定义直接计算即可. 【详解】因为，且与小车的位移方向的夹角为， 所以在小车位移上的投影向量为. 又力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移， 所以力做的功. 故答案为：；1000J. 变式7-3．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，分别得出三个力，，的坐标，计算其合力的坐标，同时得出位移的坐标表示，用数量积计算合力所做的功即可. 【详解】以三个力的作用点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由已知可得，，. ∴. 又位移， 所以. 故这三个力的合力所做的功为. 故答案是：. 一、单选题 1．（23-24高三上·吉林·阶段练习）四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解 【详解】由题意， 即，且 故四边形为平行四边形 又 故 即四边形为菱形 故选：A 2.（20-21高一下·四川成都·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】取中点，连接，则，利用向量数量积的运算律变形，得，从而可判断三角形形状． 【详解】取中点，连接，则， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以的是等腰三角形． 故选：B． 3.（2024高二上·黑龙江·学业考试）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 4.（2022·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 5.（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，船的实际速度与水流速度垂直，作出图形，求出的值，即可求得船所需的时间. 【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直， 作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示： 由题意可知，，且，， 由勾股定理可得， 因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间， 则. 故选：B. 6.（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 7. （23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的反向延长线与单位圆交于点，得出，求出到圆心的距离的最值后根据圆的性质可得． 【详解】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则， ， 所以， 又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上， 因此的最大值是，最小值是，即所求值域是． 故选：B．    8.（2023·山东·模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】将中向量进行分解，即：， 由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值. 【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以， 取的中点，所以，，如图所示： 因为, 因为是的中点，所以， ， 所以若最大，所以只需最大， 所以， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 10. （23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABD 【分析】易得，再由表示在上的投影即可得的取值范围，即可得解. 【详解】由正六边形的性质得：， 则，， ， 而表示在上的投影， 当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0， 所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 11. （23-24高一下·云南保山·阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解. 【详解】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    【答案】 【分析】根据功的公式，结合平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，， 故答案为：. 13.（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 14.（23-24高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【答案】 【分析】作，交于点，可知；利用向量线性运算可得到，根据，由向量数量积的定义和运算律可求解得到. 【详解】作，交于点，则， ，则； ，， 又，，， ， ， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 16.（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 17.（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 18.（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 19. （23-24高一下·山东滨州·期中）在中，向量等式或，沟通了几何与代数的联系，利用它并结合向量的运算，可以很好地帮助我们研究问题，体现向量法的特性.    (1)如图，的三个角角所对的边分别为，，，设为所在平面的一个单位向量，记向量与的夹角为.现构造等式，请你探究及时得到的结论； (2)已知是的平分线，请你用向量法证明：. 【答案】(1)；； (2)证明见解析. 【分析】（1）时，由数量积的定义和运算性质计算即得； 当时，，代入条件由数量积的定义和运算性质可得答案. （2）设，可得出，再由，从而得证 【详解】（1）当时，，，同理， 由，得，即， 所以； 当时，，由，得，即 则或 因此，即.    （2）设，如图，设,则 所以，设， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$