2.3 简单的三角恒等变换（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

2.3 简单的三角恒等变换 课程标准 学习目标 （1）能运用上述公式进行简单的桓等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式, 这二组公式不要求记忆)。 （1）理解积化和差、和差化积、半角公式； （2）积化和差、和差化积、半角公式的应用（难点) 知识点01 半角公式 降幂公式 (由余弦倍角公式可得) 半角公式 (由降幂公式可得) 【即学即练1】 （22-23高一下·广东深圳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 知识点02 万能公式 万能公式 (由倍角公式可得) 【即学即练2】 （21-22高二下·河南焦作·期中）已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 知识点03 积化和公式与和化积公式 1 积化和公式 (由和差公式可得) 和化积公式 (由和差公式可得) 【即学即练3】 （20-21高一·全国·课后作业）已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 【题型一：降幂公式的运用】 例1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 变式1-2．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，θ为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1降幂公式：； 2 三角恒等变换中，若存在角度倍数公式和一次方二次方关系，要不降幂要不把角度统一为一倍角或二倍角. 【题型二：半角公式的运用】 例2．（20-21高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（    ） A． B．－ C．－ D． 变式2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是第三象限角，则（    ） A． B． C．1 D．3 变式2-3．（18-19高一·全国·课后作业）已知，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【方法技巧与总结】 1 半角公式 2 若能从题中求得一倍角的余弦值，就可采取半角公式求半角其他函数值. 【题型三：万能公式的运用】 例3．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（18-19高二下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 变式3-3．（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【方法技巧与总结】 1 万能公式 2 根据题意求得，便可利用万能公式求得、、. 【题型四：积化和公式与和化积公式的运用】 例4．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 变式4-1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 变式4-2．（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题），则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 变式4-3．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 【题型五：恒等式证明】 例5．证明： . 变式5-1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）求证：． 变式5-2．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【题型六：三角恒等变换的实际应用】 例6．1（22-23高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 例6．2（12-13高一下·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 变式6-1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 变式6-3．（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 变式6-4．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（19-20高一·全国·课后作业）若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 3.（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 5. （23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（    ） A． B． C． D． 6.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 7.（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 10. （24-25高一上·全国·课后作业）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 11. （24-25高三上·四川成都·期中）关于函数描述正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是 C．一条对称轴是 D．一个对称中心是 三、填空题 12．（24-25高三下·河南·开学考试）已知，则 . 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则 ． 14．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 四、解答题 15．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 16.（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中． 17.（2022·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标. (1)如果，，求的值（用表示）； (2)如果，求的值. 18.（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 19. （24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 简单的三角恒等变换 课程标准 学习目标 （1）能运用上述公式进行简单的桓等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式, 这二组公式不要求记忆)。 （1）理解积化和差、和差化积、半角公式； （2）积化和差、和差化积、半角公式的应用（难点) 知识点01 半角公式 降幂公式 (由余弦倍角公式可得) 半角公式 (由降幂公式可得) 【即学即练1】 （22-23高一下·广东深圳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据降幂公式计算，即可得答案. 【详解】， 故选：A 知识点02 万能公式 万能公式 (由倍角公式可得) 【即学即练2】 （21-22高二下·河南焦作·期中）已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求. 【详解】由，， 所以，即， 又，可得. 故选：D 知识点03 积化和公式与和化积公式 1 积化和公式 (由和差公式可得) 和化积公式 (由和差公式可得) 【即学即练3】 （20-21高一·全国·课后作业）已知，则等于（　　） A．－m B．m C．－4m D．4m 【答案】B 【分析】由积化和差公式变形可得. 【详解】. 故选：B． 【题型一：降幂公式的运用】 例1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 变式1-1．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得，再由周期公式以及余弦函数的奇偶性可得结论. 【详解】易知， 所以其最小正周期为， 且满足，即该函数为偶函数； 因此函数是最小正周期为的偶函数. 故选：B 变式1-2．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，θ为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】由θ为第二象限角，则， 所以. 故选：D 变式1-3．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用倍角公式，通过构角，得到，即可求解. 【详解】因为， 又，所以，得到， 又 ， 所以， 故选：A. 【方法技巧与总结】 1降幂公式：； 2 三角恒等变换中，若存在角度倍数公式和一次方二次方关系，要不降幂要不把角度统一为一倍角或二倍角. 【题型二：半角公式的运用】 例2．（20-21高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【分析】先分析的范围，确定象限，利用cos2＝求解即可. 【详解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos<0.所以cos＝－. 故选：B 变式2-1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的余弦公式可求半角的余弦值. 【详解】，故． 故选：D. 变式2-2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是第三象限角，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】先根据角的范围结合同角三角函数关系，再应用降幂扩角公式化简求值. 【详解】因为是第三象限角，则，， 则． 故选：A. 变式2-3．（18-19高一·全国·课后作业）已知，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式求出，再由正切的半角公式以及的范围即可求解． 【详解】，. 又，， . 故选D 【点睛】本题主要考查了诱导公式、半角公式，求解时注意角的取值范围． 【方法技巧与总结】 1 半角公式 2 若能从题中求得一倍角的余弦值，就可采取半角公式求半角其他函数值. 【题型三：万能公式的运用】 例3．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 变式3-1．（18-19高二下·安徽合肥·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式、倍角正弦公式得，结合万能公式求出即可求最终值. 【详解】， ∵， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了三角恒等变换，根据诱导公式、倍角公式化简目标式，结合已知以及万能公式求值，属于简单题. 变式3-2．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 变式3-3．（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 【方法技巧与总结】 1 万能公式 2 根据题意求得，便可利用万能公式求得、、. 【题型四：积化和公式与和化积公式的运用】 例4．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据积化和差公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解. 【详解】由得， 进而， 则 所以， 则. 故选：A. 变式4-1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果. 【详解】由积化和差公式可得 ， 故 ， 由和差化积公式可得 ， 故 所以. 故选：A 变式4-2．（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题），则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】运用二倍角余弦，结合积化和差公式可解. 【详解】 . 故选：A. 变式4-3．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积化和差、和差化积公式化简，利用辅助角公式求函数的最值. 【详解】， ， , ，（其中）， ， ，当时等号成立. 的最大值为. 故选：A 【方法技巧与总结】 和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 【题型五：恒等式证明】 例5．证明： . 【答案】证明见解析 【分析】利用同角的三角函数关系式结合二倍角公式化简，即可证明三角恒等式. 【详解】证明： ， 即. 变式5-1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由右往左证明，运用正切的半角公式即可得证. 【详解】，证毕. 变式5-2．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式 ． 【题型六：三角恒等变换的实际应用】 例6．1（22-23高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，矩形面积为，求面积的函数的表达式，结合正弦函数性质求其最大值即可. 【详解】设，矩形面积为， 扇形的半径为，圆心角为， 所以，，， 所以． 化简得：，， 当，即时， 取最大值． 故选：B. 例6．2（12-13高一下·湖南怀化·期末）如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先利用三角函数表示和，再结合三角函数恒等变换，以及角的范围，即可求面积的范围； （2）根据（1）分别表示的周长，利用换元，转化为关于的函数，再求最值. 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正确利用三角函数表示面积和周长，第二问中，有和时，利用换元法，结合同角三角函数平方关系式，表示为函数求最值. 变式6-1．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 变式6-2．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，求出、的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得的面积的最大值； （2）计算出线段、、、的长，令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，，则， ， 所以，， 因为，则， 当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为. （2）解：过点作，垂足为点，    因为，，，则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，则为等腰直角三角形，则， 所以，，，， 所以， ， 令， 因为，则，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 故当时，取最大值， 因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为. 变式6-3．（23-24高一上·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（），该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示. (1)求扇形空地AOB的半径和圆心角； (2)取CD的中点M，记. （i）写出运动场馆的面积S与角的函数关系式； （ii）求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为； (2)（i），；（ii），. 【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得. （2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值. 【详解】（1）设扇形空地所在圆半径为，扇形弧长为，依题意，， 解得或，当时，圆心角，不符合题意， 当时，圆心角，符合题意， 所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为. （2）（i）由（1）知，，则， 在中，，则， 在中，，， 于是， 所以 ，. （ii）由（i）知，当时，， 则当，即时，， 所以当时，运动场馆的面积最大，最大面积为. 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 变式6-4．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，. 【详解】（1） ， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧， （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 2.（19-20高一·全国·课后作业）若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【分析】先求的范围，确定cos的符号，再求半角公式计算得到答案. 【详解】由题,则，∴， . 故选：C. 【点睛】本题考查了半角公式，属于基础题. 3.（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 4.（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 5. （23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得. 【详解】法一： 因为，所以， 即， 即，即，即. 法二： . 故选：D. 6.（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）中，设，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】先将降幂扩角,再将利用诱导公式换成,再利用和角公式展开即可得出结论. 【详解】由得 整理得,因为, 所以 所以 所以 又因为,所以,即. 所以为等腰三角形. 故选:C. 7.（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 8.（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当人在点时，根据两角和的正切公式求出和，当人运动到中点时，作于点，由勾股定理即可求解． 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知，则的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．不存在 【答案】AD 【分析】由二倍角、半角公式即可求解. 【详解】， 当时，不存在， 当时，. 故选：AD. 10. （24-25高一上·全国·课后作业）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由两角差的余弦公式可判断A，由余弦的二倍角公式可判断B，由两角和的正切公式可判断C，由诱导公式及正弦二倍角公式可判断D. 【详解】对A,，A错误； 对B,，B正确； 对C,，C正确； 对D,，D错误． 故选：BC 11. （24-25高三上·四川成都·期中）关于函数描述正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是 C．一条对称轴是 D．一个对称中心是 【答案】BCD 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，当时，函数取得最大值；CD选项，代入进行检验，得到CD正确. 【详解】A选项， ， 故函数的最小正周期为，A错误； B选项，当，即时， 取得最大值，最大值为，B正确； C选项，由于时，，故是函数的一条对称轴，C正确； D选项，时，，故一个对称中心是，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高三下·河南·开学考试）已知，则 . 【答案】 【分析】由已知可求得，利用二倍角的正切公式可求得，进而利用两角差的正切公式可求值. 【详解】因为，整理得， 所以，所以， ， 故答案为：. 13．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据求得，利用半角公式求出即得. 【详解】由可知，故． 故答案为：. 14．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角化成一角一函数，再利用诱导公式即可化简，或者利用两角和公式计算和即可得解. （2）根据诱导公式和切与弦的关系即可化简得解. 【详解】（1）法一：． 法2：. （2）. 16.（2024高一上·全国·专题练习）化简，其中． 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可. 【详解】由，可得， 所以， 由，可知， 得原式． 17.（2022·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，在以原点为圆心半径等1的圆上，将射线绕原点逆时针方向旋转后交该圆于点，设点的横坐标为，纵坐标. (1)如果，，求的值（用表示）； (2)如果，求的值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）由题设知，根据三角函数与单位圆的关系及和角正余弦公式、同角三角函数的平方关系求，，进而可得. （2）由题设可得求，再由倍角余弦公式、万能公式可得，即可求值. 【详解】（1）由题设知：，则，    ∴，， ∴，而，，则， ∴，时，； ，时，. （2）由题设，，可得， 又， ∴. 18.（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 19. （24-25高三上·山东·阶段练习）16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式. 积化和差：，． 和差化积：，． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)仅有1个，理由见解析. 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可； （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明； （3）易得，再证明当时，即可. 【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式可得： . （2）左边 . 右边 . 因为，所以， 故. （3）仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 所以， 所以当时，. 综上，仅有1个零点. 【点睛】本题第三问的关键利用放缩法证明当时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$