精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高三下学期第一次调研数学试题

2025届高三下学期第一次调研 数学试题 2025.2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，，，则( ) A. B. C. D. 5. 已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 6. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 8. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 10 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若是边长为2等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________. 13. 已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是__________. 14. 已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于，两点.若以的中心为圆心，的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为，若，，成等差数列，则的渐近线方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 （1）求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； （2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2706 3.841 6.635 … 16. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设． （1）求的通项公式，并证明：； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2． （1）求证：图2中的平面平面； （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离． 18. 已知函数．（其中是自然对数的底，，）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求整数的最大值（）． 19. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三下学期第一次调研 数学试题 2025.2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求解. 【详解】由， 由，可得，即， 所以． 故选：D． 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部. 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 3. 已知向量，，则“”是“和的夹角是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得到不等式，求出且，结合包含关系得到答案. 【详解】和的夹角是锐角，则且和不同向共线， 故且， 解得且， 由推不出且，故充分性不成立， 由且推得出，故必要性成立， 所以是和的夹角是锐角的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数平方关系可求得，利用两角差余弦公式求得，由同角三角函数商数关系化简所求后可得结果. 【详解】因为，，， ，故， 且，故， 所以． 故选：D. 5. 已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 6. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 7. 过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，ABC不是，D是. 故选：D 8. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据的第60百分位数为14 B. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C. 若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D. 【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误； 对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确； 对C， 设数据的平均数为， 由平均值性质可知：样本数据的平均数为， 解得，故C正确； 对D，由题意可知，解得或， 则或，故D错误. 故选：BC 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B、C，由，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D. 【详解】因为，，， 对于A：，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：，当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C：， 又，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：， 设，则， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以， 所以的最小值为，当且仅当、时取等号，故D正确. 故选：BCD 11. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数解析式，由图象观察可得时，函数取最大值，由此可求，结合周期公式求周期，判断A，求函数的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B，化简函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C，求的范围，结合条件列不等式求的范围，判断D. 【详解】依题意，， 观察图象可得时，函数取最大值，又， 所以，， 解得，，而，解得， ，的最小正周期为，A错误； 是奇函数，B正确； ， ， 令，，可得，， 因此的对称中心为， 当时，函数对称中心为，故C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若是边长为2等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________. 【答案】##-1.5 【解析】 【分析】已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可． 【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点， 则，， 又， 则， 故答案为：． 13. 已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的外心为点，连接、，则平面，利用余弦定理求出方长，利用正弦定理求出的长，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】如下图所示： 设的外心为点，连接、，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得，则， 所以，， ， 所以，. 故答案为：. 14. 已知，是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于，两点.若以的中心为圆心，的长为直径的圆与的右支的一个交点恰为，若，，成等差数列，则的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知以为直径的圆过点，可知，再结合等差数列及双曲线定义可得各边长，再根据直角三角形勾股定理可得，即可得渐近线方程. 【详解】 如图所示，由已知以的中心为圆心，的长为直径的圆过点， 可知， 再由，，成等差数列， 得， 由双曲线定义可知，， 则， 即，， 又， 则，即， 则， 即渐近线方程为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. “赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 （1）求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； （2）从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 【答案】（1），能； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可知，求出值完善列联表，然后计算，对照临界值表即可得结论； （2）根据古典概型概率公式，结合排列组合求解可得分布列，再由期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 2×2列联表如下： 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 60 40 100 女性 80 20 100 合计 140 60 200 根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n， 则，且X的所有可能取值为1，2，3，4. ， ， ， . 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以. 16. 已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设． （1）求通项公式，并证明：； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求等差数列的基本量可得的通项公式，根据数列的迭代可得； （2）构造法求出数列为等比数列且，用错位相减法可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，即，解得， 又因为，可得，所以， 由数列满足，可得，，， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以， 所以， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 17. 如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2． （1）求证：图2中的平面平面； （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接， 由题意， 则为等边三角形， 由余弦定理得，所以， 则， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 设， 故， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 所以， 设平面的法向量为， 则有，可取， 所以点到平面的距离为． 18. 已知函数．（其中是自然对数的底，，）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求整数的最大值（）． 【答案】（1）答案见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用导数分析函数单调性即可； （2）转化问题为对于恒成立，设，利用导数分析函数单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为，． 当时，，在上是增函数； 当时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 【小问2详解】 由题意当时，，整理得． 令函数， 则． 令，则． 当时，恒成立，所以在单调递增． 又，， 所以，使得，即． 故时，；时，． 因此在单调递减，在单调递增， 所以． 令函数．则， 所以在单调递增，因此． 又，， ∴． 因此整数的最大值为1. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 19. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，从而求出轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，设，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点在定直线上； （ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断. 【小问1详解】 由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 设曲线的方程为，则，解得， 所以， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 因为在上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点在定直线上. （ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为， 从而得，， 由（ⅰ）知，，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $