精品解析：上海市立达中学2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

2024学年第二学期3月单元练习 初三年级数学学科试卷 （满分150分 时间100分钟） 2025年3月 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 三角形的外心是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的判定和三角形外心的定义即可求解． 【详解】解：如图，点O是的外心， ∴， ∴点O在线段、、的垂直平分线上， ∴三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义、线段垂直平分线的判定，熟练掌握三角形外心的定义是解题的关键． 2. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ） A. 升国旗的过程 B. 摩天轮的转动 C. 汽车刹车时的滑动 D. 电梯的运行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 3. 抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A. 事件①发生的可能性最大 B. 事件②发生的可能性最大 C. 事件③发生的可能性最大 D. 事件①②③发生的可能性相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性，可得抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用可能性大小的计算方法求解即可求得各个事件发生的可能性，继而求得答案，熟练掌握求可能性的方法分析题目是解决此题的关键． 【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反， ∴全是正面的可能性：， 一正一反的可能性：， 全是反面可能性：， ∴“一正一反”发生的可能性大． 故选：B． 4. 如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（ ） A. 1∶4 B. 2∶5 C. 1∶5 D. 3∶5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理等知识．过点F作交于点G，得到，进一步得到，由得到即可． 【详解】解：∵F是上的中点， ∴， 过点F作交于点G， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 故选：C 5. 如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．先根据一次函数的表达式，得出点的坐标，再结合四边形是正方形，得出点坐标，进一步得出点坐标，最后利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：将代入得， ， 所以点的坐标为． 又因为，两点在二次函数图象上， 则，两点关于轴对称． 因为四边形为正方形， 所以，两点关于轴对称， 所以点坐标为， 则， 所以点坐标为． 令二次函数的表达式为， 则， 解得， 所以二次函数的解析式为． 故选：B． 6. 如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为2的与直线相切，半径长为5的与内含，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键． 先根据圆的切线性质得到，则，根据圆与圆内含得到，结合点A在点O、B之间即可求解． 【详解】解：设切点为点， 则由题意得，， ∵， ∴， ∵半径长为5的与内含， ∴， ∴， ∴， ∵点A在点O、B之间， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共12小题） 7. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，， ∴， ∴， 解得， 又∵线段的长度是正数， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 用科学记数法表示-864000=___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 10. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，注意检验是否有增根是解题的关键． 由题意得或，求解之后，再检验即可． 【详解】解： 或 解得：或， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为：， 故答案为：． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 12. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，理解并掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图像过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点，都在反比例函数图像上，且， ∴． 故答案为：． 13. 在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量的运算法则求出，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，画图如下： ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 14. 已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距． 【详解】解：如图，在正六边形中，边长AB=6cm，O为正六边形的中心，过点O作OG⊥AB于点G，连接OA、OB， 根据题意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm， 在中，， 即它的边心距等于cm． 故答案为： 【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形. 15. 如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论． 【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图， ∵C为半圆的中点， ∴CP⊥AB，即∠ADP=90° 又∠AOB=90° ∴∠APD=∠ABO ∵A（2，0），B（0，1） ∴AO=2，OB=1 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 过点C作CF⊥x轴于点F， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点C的坐标为（，） ∵点C在反比例函数的图象上 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键． 16. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 17. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，再分别求解的值，从而可得答案． 【详解】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， ∵矩形，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵，为圆心， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于， ∵矩形，，， ∴，，四边形为矩形， ∴， 同理可得： ，， ∵， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， 综上：点E到直线的距离不超过3，则； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键． 18. 如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】连接OB、OC，作CH⊥BE于H点，根据条件证明△ADE∽△CHE，得到，设AE=m，DE=n，n(5-n)=m2，然后再推出∠OBC=∠ADE=90°，根据勾股定理建立等式，两式联立求解，从而求出AD长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OB、OC，作CH⊥BE于H点， ∵BC=EC，CH⊥BE， ∴BH=HE， ∵∠ADE=∠CHE=90°，∠AED=∠HEC， ∴△ADE∽△CHE， ∴ ， 设AE=m，DE=n， ∴n(5-n)=m2， 在Rt△OBC中， ∵OB2+BC2=OC2， ∴OD2=AD2= m2-n2， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵CB=CE， 又∴∠BEC=∠CBE=∠AED， ∴， ∴∠OBC=∠ADE=90°， ∴ ∵ ， ，, ∴， 将m2=n(5-n)代入整理得： ， 解得n=1或0（舍去）， ∴m=2， ∴ ， ∴ ， 即的半径为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及圆的基本知识，解题的关键是利用构建方程的方法解决几何问题． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，立方根，分母有理化，零指数幂，正确计算是解题的关键． 先求乘方，特殊角的三角函数值，立方根，零指数幂，分母有理化，然后去绝对值，最后进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20. 生命在于运动．某校初2025届2000名学生进行了一次期末体育模拟考试（满分：50分）．测试完成后，从男生，女生各抽取了20名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 20名女生的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50、50，49、47． 20名男生的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 a 6 9 其中，20名男生的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，47，48，48，48，48，抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 女生 47.5 48.5 c 男生 47.5 b 49 （1）根据以上信息可以求出： ， ， ； （2）你认为该校初2025届的男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2025届参加此次体育测试的学生中优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）3，48，50 （2）女生的成绩较好，理由：因为平均数相等、女生的中位数、众数都比男生的大 （3）该校初2025届参加此次体育测试的学生中优秀的学生有950人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数和众数的定义，并会利用这些统计量作决策是解答的关键． （1）根据题中数据和中位数、众数的定义求解即可； （2）根据甲乙两班的平均数、中位数和众数分析决策即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：； 男生成绩第10、11个数为成绩高于46，但不超过48分的成绩的较大的两个，为48，48． ∴； 将20名女生的测试成绩按从小到大的顺序排列：41，43，43，44，45，47，47，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50， ∴成绩出现次数最多的是50，因此众数是50， ∴， 故答案为：3，48，50； 【小问2详解】 解：女生的成绩较好，理由：因为平均数相等、女生的中位数、众数都比男生的大； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校初2025届参加此次体育测试的学生中优秀的学生有950人． 21. 如图，是的直径，弦与相交于点E．过点D作，交的延长线于点F，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径和的长． 【答案】（1）为的切线，理由见解析； （2）1， ． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先证明，求出，则；过E作于H，求出，，根据计算即可求解． 【小问1详解】 解：为的切线，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为1， ∴， 过E作于H， 则是等腰直角三角形， ∴， 过C作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 【答案】（1）不能，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解； （2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． ∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）； ∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）； ∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． 【小问2详解】 解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地， 汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下： 先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）， 此时另外名学生步行路程是：(千米)； 设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时． 则； 解得（小时）（分钟）； 从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）； 所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为： （分钟）； 又； 所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地． 23. 如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据全等三角形的判定证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 由（1）已证：， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 24. 二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论； （3）设点P坐标为，则 设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接、，过点P作，交于点D． 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则 ∴， ∴ 设点P坐标为，则， 则 当时，的最大值为8． ∴， ∴， ∴最大． 【小问3详解】 设点P坐标为，则 设的半径为r． ∵与相切，切点为T． ∴ ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的半径是常量． 25. 【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）1， （2），证明见解析 （3）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 故答案为：1；； 【小问2详解】 解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即 ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即， ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期3月单元练习 初三年级数学学科试卷 （满分150分 时间100分钟） 2025年3月 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 三角形的外心是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 2. 下列选项中的运动，属于旋转变换的是（ ） A. 升国旗的过程 B. 摩天轮的转动 C. 汽车刹车时的滑动 D. 电梯的运行 3. 抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A. 事件①发生的可能性最大 B. 事件②发生的可能性最大 C. 事件③发生的可能性最大 D. 事件①②③发生的可能性相等 4. 如图所示，在中，点E是上的一点，，F是上的中点，则的值（ ） A. 1∶4 B. 2∶5 C. 1∶5 D. 3∶5 5. 如图，正方形的边在轴上，顶点、在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为2的与直线相切，半径长为5的与内含，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12小题） 7. 已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________． 8. 分解因式：______． 9. 用科学记数法表示-864000=___________ 10. 方程的根为_______． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为_______． 12. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 13. 在梯形中，，，AC与BD交于点P，令，，那么____________；（用向量、表示） 14. 已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________． 15. 如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 16. 如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 17. 已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是______． 18. 如图，AB是的弦，D为半径OA的中点，过D作交弦AB于点E，且．若，，那么的半径为_______________ 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 20. 生命在于运动．某校初2025届2000名学生进行了一次期末体育模拟考试（满分：50分）．测试完成后，从男生，女生各抽取了20名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息： 20名女生的测试成绩统计如下：41，47，43，45，50，49，48，50，50，49，48，47，44，50，43，50，50、50，49、47． 20名男生的测试成绩统计如下： 组别 频数 1 1 a 6 9 其中，20名男生的测试成绩高于46，但不超过48分的成绩如下：47，47，48，48，48，48，抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 女生 47.5 48.5 c 男生 47.5 b 49 （1）根据以上信息可以求出： ， ， ； （2）你认为该校初2025届的男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）； （3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校初2025届参加此次体育测试的学生中优秀的学生有多少人？ 21. 如图，是的直径，弦与相交于点E．过点D作，交的延长线于点F，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径和的长． 22. A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 23. 如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证： 24. 二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 25. 【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 （1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； （2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在中，于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $