第12章 定义、命题、证明-2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材） 第12章 定义、命题、证明 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题考查举反例判断命题的真假，正确理解题意是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【规范解答】解：A. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； B. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； C. ，，则，，能说明原命题属于假命题，故该选项符合题意； D. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数，的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题，根据平行公理、质数的定义、平行线的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题错误，不合题意； ②∵， ∴当自然数是的整数倍时，的值不是质数，原命题错误，不合题意； ③同位角相等，两直线平行，该命题是真命题，符合题意； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题错误，不合题意； ∴真命题有个， 故选：． 3．（本题2分）（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 【答案】B 【思路点拨】本题考查了命题与定理的知识，根据对顶角的定义，平行线的性质，邻补角的性质分别进行分析即可． 【规范解答】A. 若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或者相交，故该选项不正确，不符合题意； B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意； C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故该选项不正确，不符合题意； D. 互补的角不一定是邻补角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，的两边与的两边分别平行，则或；④在同一平面内，若，，则．其中假命题的个数是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的性质及判定，逐个判断各个命题的真假即可． 【规范解答】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；故该命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外的点的直线才与已知直线平行．如果这一点不在直线外，不是相交就是重合．所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行是错误的．该命题是假命题； ③若，的两边与的两边分别平行，则或，如图所示，该是真命题； ， ④在同一平面内，若，，则．垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题； 综上所述：是真命题的有③④； 故选：C． 5．（本题2分）（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知下列命题：①若，，则；②若，则；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了命题与定理，根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：∵若，，则， ∴选项①符合题意； ∵若，且时，， ∴选项②不符合题意； ∵若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等或互补， ∴选项③不符合题意； ∵同位角相等，两直线平行， ∴选项④符合题意， ∴真命题的个数是2个． 故选：B． 6．（本题2分）（23-24七年级下·北京通州·期末）已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有（    ） ①如果，那么或； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么的符号与a的符号相同； ⑤如果，那么． A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是掌握有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，难度一般． 根据有理数加法、乘法、乘方法则，有理数大小的比较，逐个判断即可． 【规范解答】解：①如果，那么或，正确，故①是真命题； ②如果，那么或，原命题错误，故②假命题； ③如果，那么，正确，故③是真命题； ④如果，那么的符号与a的符号相同，正确，故④是真命题； ⑤如果，那么，如果，那么，原命题错误，故⑤假命题； ∴是真命题的有①③④． 故选：C． 7．（本题2分）（2024·重庆·一模）用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可． 【规范解答】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 8．（本题2分）（22-23七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，正确的有（　　） （1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）两直线平行，同旁内角相等；（5）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行公理、平行线的性质，对顶角的性质点到直线的距离判断即可． 【规范解答】解：（1）根据平行线的性质得：两条直线平行时，内错角相等； ∴（1）中的命题是假命题； （2）根据对顶角的性质得：对顶角相等， ∴（2）中的命题是真命题； （3）根据平行线的性质得：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ∴（3）中的命题是假命题； （4）根据平行线的性质得：两直线平行，同旁内角互补， ∴（4）中的命题是假命题； （5）根据点到直线距离的定义得：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． ∴（5）中的命题是假命题； 综上所述：真命题是（2）共一个． 故选：A． 9．（本题2分）（23-24八年级上·吉林长春·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．同旁内角相等，两直线平行 C．钝角没有余角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是命题的真假判断，平行线的判定、余角的概念、平行公理、实数的乘方，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【规范解答】解：A、当，时，，，故本选项是假命题，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、钝角没有余角，是真命题，符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 10．（本题2分）（23-24八年级上·河南平顶山·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A．如果，，那么 B．各边对应相等的两个多边形一定全等 C．如果，那么 D．两个锐角之和一定是钝角 【答案】C 【思路点拨】本题考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键； 根据整式的运算，等边形的判定，解一元一次方程、钝角的定义即可依次判断， 【规范解答】A、设，，则，，此时，所以这个命题是假命题，故选项不符合题意； B、边长相等的正方形与菱形，不全等，所以这个命题是假命题，故选项不符合题意； C、，解方程得，故选项符合题意； D、如一个锐角为，另一个锐角为，则两角之和等于，所以这个命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是 ；它是 命题（真、假）． 【答案】 在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 【思路点拨】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．找出原命题中的题设和结论，进行互换即可得到其逆命题． 【规范解答】解：命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是“在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形”．它是真命题． 故答案为：在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真． 12．（本题2分）（22-23八年级上·宁夏银川·期末）“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线平行于同一条直线 【思路点拨】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式，即可求解，把命题改写成“如果那么”的形式是解题的关键． 【规范解答】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”， ∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”， 故答案为：两条直线平行于同一条直线． 13．（本题2分）（23-24七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【解析】略 14．（本题2分）（22-23七年级下·陕西安康·阶段练习）有下列命题①对顶角相等；②同位角相等；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的是 （填序号） 【答案】①④ 【思路点拨】根据对顶角的性质，平行线的性质，点到直线距离的定义，平行线的判定判断即可． 【规范解答】∵对顶角相等； 故①正确； 同位角不一定相等； 故②错误； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离； 故③错误； 平行于同一条直线的两条直线平行， 故④正确； 故答案为①④． 【考点评析】本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，点到直线距离的定义，平行线的判定，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 15．（本题2分）（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 【答案】①② 【思路点拨】逐个判断各个命题的真假即可． 【规范解答】解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意； ③若的两边与的两边分别平行，如图：则或；故③为真命题，不符合题意； ④若，则，故④为真命题，不符合题意； 综上：假命题有①②， 故答案为：①②． 【考点评析】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 16．（本题2分）（22-23七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是 ． 【答案】①③/③① 【思路点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【规范解答】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意； ④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意； 真命题是①③， 故答案为：①③． 【考点评析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离的定义． 17．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【规范解答】解：当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（也可以是等，答案不唯一）． 18．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【思路点拨】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，绝对值的意义，代数式求值等知识逐个分析判断即可求解． 【规范解答】解：①若，则且，或且，故①为假命题． ②若，，则，故②为假命题， ③若，则，故③为真命题， ④若或3，则，故④为真命题， ⑤在同一平面内，若直线， ，则，故⑤为假命题， 综上：真命题的是③④， 故答案为：③④． 19．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中真命题是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟记平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识．利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义、余角的性质、确定直线的条件等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】解：①两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意； ②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，正确，是真命题，符合题意； ③同角的余角相等，正确，是真命题，符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意； ⑤两点确定一条直线，正确，是真命题，符合题意． 故答案为：①②③⑤ ． 20．（本题2分）（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【思路点拨】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【规范解答】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【思路点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 22．（本题6分）（2024八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【思路点拨】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【规范解答】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 23．（本题8分）（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补 【思路点拨】（1）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （4）根据结果得出即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 理由：∵，， ∴，， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴，， ∵， ∴； （4）解：通过上面（1）、（2）、（3），可得到的真命题是：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角的关系是相等或互补． 【考点评析】本题考查命题与定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 24．（本题8分）（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【规范解答】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 25．（本题8分）（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【规范解答】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 26．（本题8分）（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【思路点拨】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【规范解答】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 27．（本题8分）（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【答案】(1)①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么． (2)三个命题都是真命题，证明见解析． 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，命题的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据命题的定义：两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③． 【规范解答】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么． （2）解：以上三个命题都是真命题， 如果，，那么， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（本题8分）（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 【答案】(1)①，；②见解析；③如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； (2)，或 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，命题的形式；解题的关键是熟知平行线的性质． （1）①②根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等，同旁内角互补）进行推导与证明即可； ③根据题意找条件及结论即可． （2）根据垂直的定义可得或，根据题意可知，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：①图1中与数量关系为； 图2中与数量关系为； 故答案为：，； ②选择图1：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）； 选择图2：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ③用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述为：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； （2）当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∴， ∵比的2倍少， ∴，则， ∴，则， 当与如下图所示时， ∵，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 综上：，或． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材） 第12章 定义、命题、证明 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（本题2分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下面命题中： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②对于所有自然数，的值都是质数； ③同位角相等，两直线平行； ④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 4．（本题2分）（23-24七年级下·河北石家庄·期末）下列命题中： ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若，的两边与的两边分别平行，则或；④在同一平面内，若，，则．其中假命题的个数是（    ） A．3 B．1 C．2 D．0 5．（本题2分）（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知下列命题：①若，，则；②若，则；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题2分）（23-24七年级下·北京通州·期末）已知有理数a，b，下列命题中是真命题的有（    ） ①如果，那么或； ②如果，那么； ③如果，那么； ④如果，那么的符号与a的符号相同； ⑤如果，那么． A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤ 7．（本题2分）（2024·重庆·一模）用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题2分）（22-23七年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，正确的有（　　） （1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（4）两直线平行，同旁内角相等；（5）点到直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题2分）（23-24八年级上·吉林长春·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．同旁内角相等，两直线平行 C．钝角没有余角 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 10．（本题2分）（23-24八年级上·河南平顶山·期末）下列命题中，真命题的是（    ） A．如果，，那么 B．各边对应相等的两个多边形一定全等 C．如果，那么 D．两个锐角之和一定是钝角 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是 ；它是 命题（真、假）． 12．（本题2分）（22-23八年级上·宁夏银川·期末）“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是 ． 13．（本题2分）（23-24七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③邻补角互补；④两直线平行，同位角相等．其中是真命题的是 （填序号）． 14．（本题2分）（22-23七年级下·陕西安康·阶段练习）有下列命题①对顶角相等；②同位角相等；③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的是 （填序号） 15．（本题2分）（22-23七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若的两边与的两边分别平行，则或；④若，则．其中假命题的是 （填写序号）． 16．（本题2分）（22-23七年级下·全国·假期作业）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是 ． 17．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 18．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 19．（本题2分）（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中真命题是 （填序号）． 20．（本题2分）（23-24七年级下·山东烟台·期末）下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 22．（本题6分）（2024八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 23．（本题8分）（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知的两边与的两边平行，即，．    (1)如图①，若，则　　； (2)如图②，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (3)如图③，猜想与有怎样的关系？试说明理由； (4)根据以上情况，请归纳概括出一个真命题． 24．（本题8分）（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 25．（本题8分）（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    26．（本题8分）（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 27．（本题8分）（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 28．（本题8分）（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知和，请根据下面要求解决相应的问题． (1)如图1，图2所示，当，，且交于点P时． ①填空：图1中与数量关系为______； 图2中与数量关系为______； ②请从图1，图2中选择一种情况写出证明过程． ③请用“如果…，那么…”的形式把上述结论表述出来： ________________________________________________． (2)当，，且比的2倍少，请直接写出这两个角的度数． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$