第9章 图形的变换-2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材） 第9章 图形的变换 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形为一矩形纸带，点分别在边上，将纸带沿折叠，点的对应点分别为，若，则的度数为（    ）​ A． B． C． D． 2．（本题2分）（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 3．（本题2分）（23-24七年级下·甘肃天水·期末）将沿方向平移个单位得．若的周长等于，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 6．（本题2分）（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 7．（本题2分）（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 9．（本题2分）（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（本题2分）（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，将一张长方形纸片分别沿折叠后，点B落在点M处，点C落在点N处，且E，M，N三点刚好在同一条直线上，为的平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图①，，将长方形纸片沿直线折叠成图②，则的度数为      12．（本题2分）（20-21七年级下·湖北武汉·期中）如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．若，则 ． 13．（本题2分）（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，将沿着折叠，点A的对应点为．已知，当时，的度数为 ． 14．（本题2分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，点A，C分别在直线a和b上，已知，，则 度；将直线b绕着点C按逆时针方向旋转（），旋转后使得直线，则n的值是 ． 15．（本题2分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 16．（本题2分）（22-23七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 17．（本题2分）（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，，，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边，平行，则所有满足条件的的值为   ． 18．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点M，P，Q，N在同一直线上，现将绕点P以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为t秒，当时，t的值为 ． 19．（本题2分）（21-22七年级下·福建福州·期中）如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）    20．（本题2分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点A在PQ上，的一条边BE在MN上，且，．现将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是，），同时，射线AQ绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是）．设旋转时间为t秒．    （1） （用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线与边平行时，则t的值为 秒． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． (1)写出点A，B的对应点； (2)求的度数． 22．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 24．（本题8分）（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 25．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 26．（本题8分）（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 27．（本题8分）（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则______； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 28．（本题8分）（21-22七年级上·重庆·期末）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下学期章节易错题培优检测卷（新教材） 第9章 图形的变换 试题满分：100分 难度系数：0.51（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形为一矩形纸带，点分别在边上，将纸带沿折叠，点的对应点分别为，若，则的度数为（    ）​ A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由可得，再利用折叠的性质求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 由折叠性质可得，， ∵， ∴， 故选：． 2．（本题2分）（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【规范解答】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 3．（本题2分）（23-24七年级下·甘肃天水·期末）将沿方向平移个单位得．若的周长等于，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平移的性质，先根据平移的性质得，，又，通过等线段代换计算四边形的周长，掌握平移的性质是解题的关键． 【规范解答】∵沿方向平移个单位得， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∴四边形的周长， 故选：． 4．（本题2分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是关键；由第一次折叠知，，，则；由第二次折叠得，，则，；由，得，由此即可求得与的关系式． 【规范解答】解：如图，由第一次折叠知，，， ， ； 由第二次折叠得，， ，， 则； ， ， 即， ． 故选：D． 5．（本题2分）（23-24七年级下·河北保定·期末）题目：“如图，在中，，M、N分别是边上的点，将沿折叠得到．若与的边平行，求的度数． ”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答案对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，分和两种情况求解即可，正确处理的位置是解答本题的关键． 【规范解答】解：当时，如图1中， ， ， ， ， 由折叠得，； 当时，如图2， ， 由折叠得，， 的度数为或， 故甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 6．（本题2分）（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【思路点拨】本题考查了图形的平移，一元一次方程的应用，先根据平移的性质得到，分，，三种情况解答即可求解，掌握平移的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，的值为或或， 故选：． 7．（本题2分）（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【思路点拨】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【规范解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【思路点拨】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【考点评析】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 9．（本题2分）（22-23七年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】由题可知，沿过O的射线分为了射线和射线两种情况，分类讨论两种情况，利用建立等量关系即可解决． 【规范解答】解：①由题意得，三个角分别是、、， 且，， 又 ， ， ②三个角分别是、、， 有且只有一个角最大，即为， 且，， 又 ， ． 故选：D． 【考点评析】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值． 10．（本题2分）（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，将一张长方形纸片分别沿折叠后，点B落在点M处，点C落在点N处，且E，M，N三点刚好在同一条直线上，为的平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查折叠性质，角平分线的定义，掌握折叠性质是解题关键，由折痕分别为，可得，由E，M，N三点刚好在同一条直线上知，可求，根据，得到进而得到，，即可得到，由射线为的平分线，可求． 【规范解答】解：由折叠的性质得：， E，M，N三点刚好在同一条直线上， ， ， ， ，， ， 为的平分线， ． 故选：B． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图①，，将长方形纸片沿直线折叠成图②，则的度数为      【答案】/度 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，翻折变换等知识，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由长方形的性质可知，由此可得出，再根据翻折的性质可知翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出度数． 【规范解答】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知： 图2中，， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）（20-21七年级下·湖北武汉·期中）如图1，将长方形纸带沿折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，再沿折叠成图2．若，则 ． 【答案】72 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得． 【规范解答】解：， ，， 即，， ． ， ， 由折叠可得：， ． 故答案为：． 13．（本题2分）（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，将沿着折叠，点A的对应点为．已知，当时，的度数为 ． 【答案】/73度 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 由折叠可得，再由平行线的性质可得，利用补角的定义可求得的度数，即可求的度数． 【规范解答】解：由折叠可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（本题2分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，点A，C分别在直线a和b上，已知，，则 度；将直线b绕着点C按逆时针方向旋转（），旋转后使得直线，则n的值是 ． 【答案】 45 15 【思路点拨】本题主要考查了图形的旋转，解题关键是旋转的性质的应用． 根据平角定义得，再利用平行线的性质即可解决问题；根据旋转的性质结合平行线的性质即可解决问题． 【规范解答】解：由， 得， 由， 得， 得， 得． 得， 故答案为：45； 由直线绕着点按逆时针方向旋转，旋转后使得直线，得旋转后， 得． 故答案为：15． 15．（本题2分）（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b，c交于一点，且，平移直线a到直线d的位置，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了平移的性质、平行线的性质，根据对顶角相等、垂直定义及平行线的性质、角的和差关系即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平移直线a到直线d的位置， ∴, ∴， 故答案为：． 16．（本题2分）（22-23七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 【答案】6或15或33 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方. ①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论． 【规范解答】①Ⅰ当时，， ， ， ， Ⅱ当时，， ， ， (舍去) ②当时， ， ③当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行. 17．（本题2分）（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角板如图1所示摆放，，，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边，平行，则所有满足条件的的值为   ． 【答案】15或105或60 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【规范解答】解：由题意得：，， （1）当时， 如图所示：延长交于点， ①在上方， ，，， ， ， ， ， ， 即，； ②在下方时，， ，，， ， ， ， ， ， 即， 解之得：； 如图：当时， 延长交于点， ①在上方，度， ，， ， ， ， ， ， 即，解之得：； ②在下方，度， ，，， ， ， ， ， ， 即，解之得：（舍去）， 综上可知：所有满足条件的的值为：15或105或60， 故答案为：15或105或60． 18．（本题2分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点M，P，Q，N在同一直线上，现将绕点P以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为t秒，当时，t的值为 ． 【答案】36或72或108 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，根据题意，t秒后，每秒转过每秒转过，第一次时，应有即；第二次时，应有即； 第三次时，应有即，分类计算即可． 【规范解答】根据题意，t秒后，每秒转过每秒转过， 当时，    则即， 解得； 当时，    则即； 解得； 当时，    则即 解得； 故答案为：36或72或108． 19．（本题2分）（21-22七年级下·福建福州·期中）如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）    【答案】 【思路点拨】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 由折叠性质得， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题． 20．（本题2分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，点A在PQ上，的一条边BE在MN上，且，．现将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是，），同时，射线AQ绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是）．设旋转时间为t秒．    （1） （用含t的代数式表示） （2）在旋转的过程中，若射线与边平行时，则t的值为 秒． 【答案】 5或35 【思路点拨】（1）直接根据速度和时间可得：，所以根据余角的定义可得结论； （2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论． 【规范解答】解：（1）如图1，由题意得： ，，      ∴ 故答案为：； （2）①如图2，， 延长交于C，则， 由题意得：，，                                                                             ∴，解得：； ②如图3，， 延长，交于D，交直线于C，则， 由题意得： ，， ∴    ∵, ∴，解得， 综上，在旋转的过程中，若射线与边平行时，则t的值为5秒或35秒； 故答案为：5或35． 【考点评析】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． (1)写出点A，B的对应点； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可得； （2）由旋转的性质可得，即可求解． 【规范解答】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转后得到， 点的对应点，点的对应点； （2）解：因为将绕点按逆时针方向旋转得到，所以， 所以． 22．（本题6分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【思路点拨】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【规范解答】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得， 线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 23．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【规范解答】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 24．（本题8分）（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数为或 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 由折叠的性质得：， 所以， 所以； （2）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即， 所以； （3）解：由折叠的性质得：， 所以， 因为， 所以，即； （4）解：的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， 所以， 因为，即，， 所以； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， 所以， 又因为， 所以，即， 所以． 综上所述：的度数为或． 25．（本题8分）（2025七年级下·全国·专题练习）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为． (1)当面积最大时，求t的值． (2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，． (3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)35或95 (3)的度数为定值， 【思路点拨】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键． （1）根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可； （2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论； （3）用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值． 【规范解答】（1）解：如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长， 所以，此时面积最大． 因为，， 所以，当面积最大时，． （2）如图， ∵在中，，，平分， ∴， ∴． 当时，设交直线于点G， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 解得． 如图： 当时，设交直线于点G， ∴． ， ∴， ∴， ∴绕点C再旋转， ∴． 综上所述，当t的值为35或95时，． 故答案为：35或95； （3）的度数为定值，．理由如下： 如图3，由题意，可知旋转后，，，． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 26．（本题8分）（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在，或，理由见解析 【思路点拨】（1）当与互余时有以下两种情况：（ⅰ）当在的上方时，（ⅱ）当在的下方时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可； （2）①当，画出图形，计算出的度数即可； ②依题意得：，然后分两种情况讨论如下：（ⅰ）当在内部时，（ⅱ）当在内部时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可． 【规范解答】（1）解：若与互余， 有以下两种情况： （ⅰ）当在的上方时，如图1所示： 点在直线上，， ， ， 与互余， ， 即， ； （ⅱ）当在的下方时，如图2所示： ， 与互余， ， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． （2）解：①，如图3所示： 点在直线上，， ， 平分， ， ； ②存在，或，理由如下： 依题意得：， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当在内部时，如图4所示： 与互余， ， 即， ， 平分， ， 当与互余时，； （ⅱ）当在内部时，如图5所示： 与互余， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当与互余时，． 综上所述：当或时，使得与互余． 【考点评析】此题主要考查了角平分线的定义，互为余角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 27．（本题8分）（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则______； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路点拨】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又， ， 解得：； 综上所述，或或或． 28．（本题8分）（21-22七年级上·重庆·期末）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或或 【思路点拨】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【规范解答】（1）解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． （2）当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； （3）射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为：秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为：(秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【考点评析】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$