函数的奇偶性、周期性与对称性讲义-2025届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性与对称性 一、知识梳理 知识点一　常见的奇偶函数 1.常见的奇函数 ①函数f（x）＝m＝m＋（x≠0）或函数f（x）＝m＝m－. ②函数f（x）＝±（ax－a－x） ③函数f（x）＝loga＝loga或函数f（x）＝loga＝loga ④函数f（x）＝loga（＋x）或函数f（x）＝loga（－x） 2. 常见的偶函数 ①函数f（x）＝±（ax＋a－x）； ②函数f（x）＝loga（amx＋1）－； ③函数f（｜x｜）类型的一切函数； ④常数函数 知识点二　函数性质的常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). (4)①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 3．对称性的常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若y＝f(x)对任意的x∈R，都有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． (4)若，则的对称中心为 函数性质练习 1 .下列函数在定义域上是偶函数的为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)= B.f(x)=xsin x C.f(x)=log2(-x) D.f(x)= 2. 若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　 ) A.-1 B.0 C. D.1 3. 已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ） A.－2 B.－1 C.1 D.2 4. 已知函数y=f(x),x∈R不是常函数,且满足以下条件:①f(a+b)+f(a-b)=f(a)f(b),其中a,b∈R;②f(1)=0.则 f(-2026)= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.-2 5. 已知函数f的定义域为R，f为偶函数，f为奇函数，则（  ） A.f＝0 B.f＝0 C.f＝0 D.f＝0 6. 已知函数f(x)=e|x|+log2|x|,设a=f,b=f(7-0.1),c=f(lo25),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 7. 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　 ) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 8. 已知f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x－1）≤f（2x）的解集为（ ） A. B. C.[－1，1] D. 9.函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 10.已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ） A.0 B.6 C.12 D.24 11. (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(2x-1)是周期为2的奇函数,则 (　 ) A.f(1)=0 B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=0 12. (多选题) 对于定义在R上的函数f(x),下述结论正确的是 (　 ) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数 D.函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称 13. 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m,则当x<0时,f(x)=　　　　.  14. 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式<0的解集为　　　　　　.  15. 已知函数f(x+1)是奇函数,f(x+2)是偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=3-x,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=　　　　.  常见的抽象函数模型 （1）对于正比例函数，对应的抽象函数为． （2）对于一次函数，对应的抽象函数为． （3）对于二次函数，对应的抽象函数为 （4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为． （5）对于幂函数，其抽象函数还可以是． （6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为． （7）对于指数函数，其抽象函数还可以是. （8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为． （9）对于对数函数，其抽象函数还可以是． （10）对于对数函数，其抽象函数还可以是. （11）对于正弦函数，对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： （12）对于余弦函数，对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是 注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式： （14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为 注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 题型一 一次函数模型 【例1】已知且，则不等于 A． B． C． D． 题型二 二次函数模型 【例2】已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三 幂函数模型 【例3】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．没有极值点 题型四 指数函数模型 【例4】（多选题）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为非奇非偶函数 C．若，则 D．对任意恒成立 题型五 对数函数模型 【例5】（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 题型六 正弦函数模型 【例6】（多选题）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B． C． D． 题型七 余弦函数模型 【例7】（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 题型八 正切函数模型 【例8】定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数与的大小关系为（     ） A． B． C． D．不确定 学科网（北京）股份有限公司 $$