重难点01 二次函数综合压轴题综合训练（8大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点01 二次函数存在性问题压轴题综合训练 中考数学中《二次函数存在性问题压轴题综合训练》部分主要考向分为七类： 一、面积问题（或求最值） 二、角度问题 3、 等腰三角形存在性问题 四、直角三角形存在性问题 五、平行四边形存在性问题 六、矩形存在性问题 七、菱形存在性问题 二次函数存在性问题常常在四川中考中以压轴题形式出现，属于拉分题目，本练习针对常见的存在性问题进行分析与讲解，帮助学生克服此类题型。 考向一：面积问题（或求最值） 如图所示，分别过A、B、C三点作三条垂直于水平面的线，外侧两条垂直之间的距离就是△ABC的“水平宽”，中间这条线与△ABC的截线就是△ABC的“铅锤高”，×水平宽×铅锤高。所以三角形的面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半。 解题步骤： ①分别找出点B、点C的坐标，将横坐标相减，即可求出水平宽； ②求出直线BC的解析式，中间垂线与BC的交点为点D，点A与点D的横坐标相同，将点A的横坐标代入BC的解析式即可求点D的纵坐标，再用点A的纵坐标减去点D的纵坐标即可得到铅锤高。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，的面积为12 (2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3 (3)的值是定值，定值为 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的坐标为或或或 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 3．（2023·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求经过A、C两点的直线解析式； (2)求抛物线的解析式和对称轴； (3)若点P是抛物线上的点且在直线的下方，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，抛物线的对称轴是 (3)在直线下方的抛物线上存在点，使面积最大， 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式得：， 解得：， ， ∴抛物线的对称轴是直线． （3）解：在直线下方的抛物线上存在点，使的面积最大． 设点的横坐标为，此时点，过点作轴的平行线，交于点，如图所示： ∴点的坐标为， ， ， ∵当时，面积的最大值为． 由，得． ． 4．（2023·四川达州·一模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，图，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． ∵抛物线的对称轴为：，而，，则， 设， ， ∴， 由两点间的距离可得：． 解得． 满足条件的点的坐标为或； （3）解：如图3，设交抛物线的对称轴于点， 设，则， ， ． 设直线的解析式为，则． 解得， ∴解析式为， 当时，， ， ， ． ． ． ， ， 或 解得或或 当时，， 当时，． 当时，， 当当时，， 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或或或． 5．（2024·四川乐山·二模）如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且 (1)用表示点的坐标； (2)求实数的取值范围； (3)请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)有，最大值为 【详解】（1）解抛物线过， ∴， ∴抛物线为：， 点在抛物线上， ， 点的坐标为． （2）由（1）得， ， ∴， ∴， （3）解：的面积有最大值，理由如下： 的对称轴为直线，， 点的坐标为， 由（1）得， 而 的对称轴是， 当时，取最大值， 其最大值为； 6．（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设，代入A、C， 得：， 解得：， ∴， ∵， ∴设， 代入点B，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：或（舍）， ∴， 同理，可求，， 联立， 解得， ∴， 过点P作轴于点E， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：设， ∵，， ∴设， 代入点得，， ∴， ∴， 联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， 设，代入点A、N得， ， 解得：， ∴， 同理可求， 联立：， 解得：， ∴点， 过点E作轴交于点F， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 考向二：角度问题 中考常见题型分析 1.特殊角度存在性问题 示例：如题目要求存在点使∠ADQ=45°、∠ACO+∠FCB=45°等； 考查形式：通过坐标系中点的位置关系，结合抛物线对称性、几何模型(如等腰直角三角形、三垂直模型)判断角度存在性。 2.角度关系与坐标求解 示例：已知角度相等、角平分线或角度比例关系，求点的坐标； 考查形式：需将几何角度条件转化为代数方程，常用相似三角形、三角函数或向量斜率关系； 3.动点与角度动态变化 示例：动点P在抛物线上运动时，分析线段与角度关系(如线段PM的三等分点、角度随动点位置的变化)； 考查形式：需设动点参数坐标，通过函数表达式或几何关系建立方程。 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，， (2)或或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 当时， 解得：， ∴ （2）∵，，， 设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形 当为对角线时， 解得：， ∴； 当为对角线时， 解得： ∴ 当为对角线时， 解得： ∴ 综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或 （3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，    ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴在上， ∵，， ∴，， ∵， ∴在上， 设，则 解得：（舍去） ∴点 设直线的解析式为 ∴ 解得：. ∴直线的解析式 ∵，， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴． 3．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，，， 由题意知，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，， ∴， 解得，或（舍去）或（舍去）， ∴； 当时，， ∴轴， 把代入，得， ∴，， ∴，成立； 综上所述，当以C，P，D为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：如图，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点， ∴重合， ∴存在点P，使得，点P的坐标为． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相交于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)18 (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标C为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设直线与x轴交于点K，交直线于点T，如图所示： 联立 解得： 或， ∴， 在中，令得，令， ∴， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∵C为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为18； （3）作C关于B的对称点G，连接，过G作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C、G关于点B对称， ，， ∴C、B、G三点共线， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴或 ． 5．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3) 【详解】（1）解：当时，， ， 顶点， 令， 则 解得：或 ，， ； （2）解：二次函数对称轴为直线， ①当时，当时，时函数值最小， ， ， ，所以舍去； ②当时，时函数值最小， ， ， ， ； ③当时，时函数值最小， ， ， ，舍去； 综上所述，； （3）解：由整理得：， ，， ， ， ， 过C作x轴平行线l，过D作于点M， 则， ， ， ， ， ， ，，， ∴ ，解得：（负值舍）， 考向三：等腰三角形存在性问题 二次函数与等腰三角形存在性问题 典型模型 如图，已知线段AB，在直线l上找点P使得△ABP是等腰三角形 求解思路 （1）假设存在点P，并设出点P的坐标； （2）根据两点之间的距离公式，计算线段PA、PB、AB的长度； （3）从定边AB入手，分三种情况进行讨论； （4）根据等腰三角形腰长相等，列出三种等量关系PA=PB，PA=AB， PB=AB； （5）列方程求出点P的坐标； （6）检验点P与A、B是否共线，若共线，则舍去。 备注：设点A，则AB= 1．（2024·四川南充·二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或； (3)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线 的顶点D的坐标为， ∵， ∴，则， 设，则， 则， ①当时，有， 则， 解得：， 故； ②当时，有，则， 此时无解； ③当时，有，则， 解得：或； 故或； 综上所述，点M的坐标为或或； （3）解：存在，理由： 在抛物线上存在点P，使． 令， 解得：，， ∴抛物线交x轴于点， 则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方的抛物线上时， 作于G，于H，延长与直线交于点I，过点I作轴于J， 则， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得： （不合题意的值已舍去）， 则； ②当点P在x轴下方的抛物线上时，延长与直线交于点K．过点K作轴于L， ∵，，， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵，， ∴， 同理根据，可求出直线的解析式为： ， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则点， 综上所述，点P的坐标为：或． 2．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 3．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 4．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，最大，理由见解析 (3)存在，或 【详解】（1）把，代入抛物线解析 式中得：， 抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，，过点作轴交于． 过点作分别交直线，于、 设直线的解析式为， 直线过点，． ， 直线的解析式为． 直线与直线平行， ， 点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大， 则最大，即要使最大， ， 当最大时，最大，即此时的面积最大， 是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为． ，， ， 当时，最大，即此时的面积最大；    （3）设 ， ∵是以为底的等腰三角形 解得：， 或 5．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．    (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ； (2)存在，(3) 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，将点， 代入，得， ，， 解得：，， ∴直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ； （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为：， 设点， ∵M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ∴， ∵， ， ， 解得：， ∴； （3）解：设，且，连接， ∴ ， ，   ∵，， ∴当时，最大为． 考向四：直角三角形存在性问题 二次函数与直角三角形存在性问题 典型模型 如图，已知线段AB，在直线l上找点P使得△ABP是直角三角形 求解思路 （1）假设存在点P，并设出点P的坐标； （2）根据两点之间的距离公式，计算线段PA、PB、AB的长度； （3）从定边AB入手，分三种情况进行讨论； （4）根据直角三角形边的关系，列出三种等量关系，，； （5）列方程求出点P的坐标； （6）检验点P与A、B是否共线，若共线，则舍去。 备注：设点A，则AB= 1．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，    ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 2．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)（-2，-4） (3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），， 【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． （2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大， ∵时，，， ∴A点坐标为：（-4,0）， 设直线AB关系式为：， 将A（-4,0），B（0，-4），代入， 得：， 解得：， ∴直线AB关系式为：， 设直线AB平移后的关系式为：， 则方程有两个相等的实数根， 即有两个相等的实数根， ∴， 即的解为：x=-2， 将x=-2代入抛物线解析式得，， ∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大； （3）①当∠PAB=90°时， 即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：， 将A（-4,0）代入得，， 解得：， ∴PA所在直线解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x=-1， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，3）； ②当∠PBA=90°时， 即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：， 将B（0，-4）代入得，， ∴PA所在直线解析式为：， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，-5）； ③当∠APB=90°时，设P点坐标为：， ∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， ∵PA⊥PB， ∴=-1， 解得：，， ∴P点坐标为：， 综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形． 3．（2024·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为 ∴，解得：； ∴； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵是抛物线上的两个动点， ∴，解得：（点左侧的舍去） ∴，； ②设直线，把，代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴，， 设直线与对称轴交于点，过点分别作，， 则：，， ，， ∴，， ∴， 当时，即：，则：， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； (3)若为直角三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2)为定值，理由见解析 (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）解：抛物线经过点，则， 将点的坐标代入， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：为定值，理由： 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令， 解得：，则点， 则点， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 即； （3）解：当为直角时， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，，， 则，，，， ，， ， ，即， 解得：或， 即点的坐标为：或； 当为直角时， 即， 过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，如图， ∵，，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 则点； 当为直角时， 即， 同理，求得， 则点， 综上，点的坐标为或或或． 5．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为=； （2）如图，连接， 设点的坐标为， 当的时，得, 则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（点在第四象限，故舍）， ∴． （3）设点的坐标为， 如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解得，或（舍）， 故； ②如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解答，或（舍）， 故， 综上，存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．点的坐标为，． 6．（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把将点，点，点代入抛物线解析式， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 根据可得， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 故可得， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， ①当时， 可得方程， 方程无解，故不成立； ②当时，， 可得方程 解得； ③当，， 可得方程， 解得， 综上所述，或． 考向五：等腰直角三角形存在性问题 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 构造一线三等角，利用边相等得到坐标之间的关系，建立方程求解： ①由一线三等角的模型可知，△ACQ≌△APB； ②再根据全等三角形的性质可知，对应边相等； ③设出相应的坐标求解即可。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 3．（2024·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（，） 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）， 则， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知： AP=，过点P作PE⊥x轴，垂足为E， ∴AE=PE==t，即E（3-t，0）， 又Q（-1+t，0）， ∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ = = ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=，AB=4， ∴0≤t≤3， ∴当t==2时，四边形BCPQ的面积最小，即为=4； （3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F， ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t， ∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t， ∴点M的坐标为（3-2t，4-t）， ∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3， 解得：t=或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 4．（2023·四川广安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，顶点为，E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形为正方形． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，求正方形的面积； (3)如图2，连接，与交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线上一点，且P，Q两点均位于直线下方，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)正方形的面积是32 (3)点P的坐标为 【详解】（1）解： 抛物线的顶点为， 设该抛物线的解析式为， 将代入，解得， 该抛物线的解析式为，即． （2）如图1，过点F作，垂足为R． 设， 则， ，． 四边形是正方形， ， ， 解得（舍去）或， ，， ， 正方形的面积是32． （3）解：令 解得： ， 轴， ，， 设直线为 解得 则直线的解析式为． 设． 如图2，过点P，Q分别作的垂线，垂足分别为T，G． 是等腰直角三角形， ，， ． 又，， ， ，， ． 点P在抛物线上， ， 解得，． ， ， 点P的坐标为． 5．（2024·四川眉山·一模）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【详解】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况： 如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3），    ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S有最大值是； （3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，    ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐标为（，）或（，）； 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，    同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐标为（，）或（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 6．（2023·四川绵阳·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D． （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x2﹣2；点B的坐标为（1，0）；（2）满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）；（3）不存在满足条件的点Q，理由见解析． 【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2． ∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2． ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2． 当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1． ∴点B的坐标为（1，0）． （2）设P（m，n）， ∵∠PDB=∠BOC=90°， ∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①若△OCB∽△DBP，则，即，解得． 由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件， ∴此时点P坐标为（m，）或（m，）． ②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2． 由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件， ∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）． 综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）． （3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形． 如图，过点Q作QE⊥l于点E， ∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°， ∴∠DBP=∠QPE． 在△DBP与△EPQ中，∵， ∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ． 分两种情况： ①当P（m，）时， ∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2）， ∴，解得或（均不合题意舍去）． ②当P（m，2m﹣2）时， ∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2）， ∴，解得或（均不合题意舍去）． 综上所述，不存在满足条件的点Q． 考向六：平行四边形存在性问题 动点与平行四边形存在性问题中常见模型 三定一动类型 三个顶点、一个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，把三条边分别作为对角线讨论； （2）利用中点坐标公式求解； 两定两动类型 两个顶点、两个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，把三条边分别作为对角线讨论； （2）利用中点坐标公式求解； 常见公式：如图所示，在四边形ABCD中，，，，，对角线AC、BD相较于点M。 中点坐标公式：或 1．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； (3)点G的坐标为，，． 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． 2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为 (3)能， 【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为 对称轴为 与x轴另一交点为                                ∴设抛物线为 ∴抛物线的表达式为 （2）在抛物线上 ∴设 在第一象限                              ∴当时，有最大值为 （3）由（1）知，向左平移后的抛物线为 由（2）知 设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．    ①当以为对角线时， 平行四边形对角线互相平分 ，即 在抛物线上 的坐标为                                ②当以为对角线时 同理可得，即 则 的坐标为                                  ③当以为对角线时 ，即 则 的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形． 的坐标为 3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【详解】（1） 解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， 二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ， ； （2） 如图，连接，      当时，， 或2，， 点P在抛物线上， 点P的纵坐标为， ； （3） 设， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 综上：或或． 4．（2024·四川南充·一模）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或或 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 5．（2024·四川内江·二模）已知抛物线经过点，，．（如图1） (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位得到抛物线（如图2），为的顶点，直线交于、，直线、分别交轴于、两点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式，顶点的坐标为 (2)或或 (3)是定值，为9 【详解】（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点，，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 当为边时，即， ∴或； 当为对角线时，如图，过点Q作轴于点P， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为或或； （3）是定值，理由如下： 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设， 设直线的解析式为， 将点E，G坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为， 当，， 当，， ∴， ∴， 令，即， ∴， ∴． 6．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线为：； (2) (3)点的坐标为：）或． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴得对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时， ∴，即； 当时， ∴， 即 ∴点的坐标为：）或． 考向七：矩形存在性问题 所谓矩形存在性问题，即在坐标系中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，首先我们要知道矩形的判定定理。 (1)有一个角是直角的平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形;；(3)有三个角为直角的四边形 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，题型如下 (1)2个定点+1 个半动点+1个全动点 (2)1个定点+3 个半动点 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中 3个点构造直角三角形，再确定第4个点.对“2 定+1半动+1全动”尤其适用； 思路2：先平行，再矩形 当 AC 为对角线时，A、B、C、D 满足以下3个等式，则为矩形； 其中第 1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形.表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可 无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组。 1．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1)，， (2)①；②点P的横坐标为或 【详解】（1）解：将，代入 得：， 解得： ∴抛物线的函数表达式为， 将点代入得， ， ∴， 另，则 ∴， 设直线的函数表达式为，将D代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）①如图，作直线， ∵点P关于直线的对称点恰好落在直线上， ∴直线、关于直线对称， 设直线交x轴于F，作点F关于直线的对称点，则在直线上，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵直线的函数表达式为，令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 则， 解得 ∴直线的函数表达式为； 解 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ②设， 当点P在上方时，分别过点P、D作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或； 当点P在下方时，过点D作直线轴，分别过点P、D作的垂线，垂足分别为G、H， ∴，，，， 同理可得， ∴，即 ∴（不合题意，舍去）或． 综上，点P的横坐标为或． 2．（2024·四川绵阳·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． (1)直接写出A，B两点的坐标，并求出抛物线的表达式； (2)如图，点E是线段之间的一个动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点D，直线于点F．当D，E，F三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求的面积； (3)若点P是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形且时，求点P的横坐标． 【答案】(1)， (2)的面积为4或5 (3)或 【详解】（1）解：令， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； （2）∵， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 设，则：，， 当点为的中点时，则：， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴； 当点为的中点时，则：， 解得：（舍去）或， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 设与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； 综上：的面积为4或5； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴的横坐标为， ∵四边形是矩形且， ∴，， 设， 当点在对称轴左侧： ①点在轴下方时，如图：过点作轴，过点作， 则：，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）或； ②当点在轴上方时，如图： 同法可得：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当点在对称轴右侧时，分别过点作对称轴的垂线，垂足分别为，如图： 同法可得：， ∴， ∴， 解得：（舍去）或； 综上：点的横坐标为：或 3．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）∵，， ∴，， ∵轴，轴，， 在和，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离， 当时，代入中得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）过点作于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 4．（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t． (1)求抛物线解析式； (2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值； (3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，， 【详解】（1）解：过点A作轴于点G， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 又菱形， ∴，， ∴， 由抛物线过原点，设抛物线解析式为． 由题意得解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意得，， 过点D作于点M，于点N， ∵菱形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ，解得， 在中，， 在中，， ， ∵，开口向上，， ∴当，， ； （3）当时，在平面内存在点Q，使得以为边，以点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形， 此时，，，，, 如图，过点E作，过点D作，作于H，延长交于K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴． 由题得 解得或， ∴点P的横坐标为或6， ∴，，， ∴将点P先向左平移2个单位，再向上平移个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为-4或4． 由题意得，解得或， ∴点P的横坐标为或， 将点P先向右平移2个单位，再向下平移个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为或， 综上，满足题意的矩形有，，，，点Q的横坐标分别为，4，，． ； 考向八：菱形存在性问题 二次函数与菱形存在性问题 菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到: (1)有一组邻边相等的平行四边形菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形: (3)四边都相等的四边形是菱形. 【解题技巧】 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法，和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直” 或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形4BCD是菱形，则其4个点坐标需满足 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同 【基本题型】 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型 (1)2个定点+1个半动点+1个全动点 (2)1个定点+3 个半动点 【解题思路】 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D’(4C、BD为对角线)，再结合一组邻边相等到方程组. 思路 2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个再确定第4个点 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2) (3)存在点F，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式为； 当时，，则顶点M的坐标为． （2）解：如图：过点M作交于D 设点，则, ∴， ∵是等边三角形, ∴, ∴,即，解得：或（舍去） ∴，， ∴该三角形的边长． （3）解：存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形 ①如图：线段作为菱形的边， 当为菱形的对角线时，作关于直线的对称线段交于E，连接,作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时． 当为菱形对角线时，， 设，， 则，解得：或， ∴或 ②线段作为菱形的对角线时， 如图：设 ∵菱形, ∴,的中点G的坐标为，点G是的中点， ∴，解得， ∴， 设， 则有：，解得：， ∴．    综上，当或或或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)或或 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时，      ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则，      ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则，      同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则，      同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，      ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为， (3)存在，或或，，见解析 【详解】（1）解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ （3）存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 5．（2023·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或或或． 【详解】（1）解：在中，当时，当时， ∴、， ∵抛物线的图象经过A、C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，解得，， ∴， 设点E的横坐标为t，则， 如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴，， （3）∵抛物线的解析式为， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下， ∵点E位于对称轴左侧， ∴， ∵点M是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴， ，， ①当为菱形的边时，，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的对角线时，，即， ∴， 解得， ∴； ③当，即， ∴， ∴或， ∴或； 综上所述，M的坐标为或或或或． （建议用时：50分钟） 1．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．    (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）由题意，得 （2）由（1）得抛物线的解析式为． 令，则，得． ∴B点的坐标为． ， ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵在直线上， ∴． ∴． ∴直线的解析式为．    （3）设P点坐标为． ∵点P在直线和抛物线上， ∴． ∴． 解得（舍去）． ∴点P的坐标为．    由翻折，得． ∵， ∴'． ∴． ． 设点E的坐标为，则． ． 当时，点E的坐标为． 设, 由，得： ， 解得：， 则点的坐标为． 当时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 4．（2023·四川广元·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 5．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由见详解 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 二次函数存在性问题压轴题综合训练 中考数学中《二次函数存在性问题压轴题综合训练》部分主要考向分为七类： 一、面积问题（或求最值） 二、角度问题 3、 等腰三角形存在性问题 四、直角三角形存在性问题 五、平行四边形存在性问题 六、矩形存在性问题 七、菱形存在性问题 二次函数存在性问题常常在四川中考中以压轴题形式出现，属于拉分题目，本练习针对常见的存在性问题进行分析与讲解，帮助学生克服此类题型。 考向一：面积问题（或求最值） 如图所示，分别过A、B、C三点作三条垂直于水平面的线，外侧两条垂直之间的距离就是△ABC的“水平宽”，中间这条线与△ABC的截线就是△ABC的“铅锤高”，×水平宽×铅锤高。所以三角形的面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半。 解题步骤： ①分别找出点B、点C的坐标，将横坐标相减，即可求出水平宽； ②求出直线BC的解析式，中间垂线与BC的交点为点D，点A与点D的横坐标相同，将点A的横坐标代入BC的解析式即可求点D的纵坐标，再用点A的纵坐标减去点D的纵坐标即可得到铅锤高。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求经过A、C两点的直线解析式； (2)求抛物线的解析式和对称轴； (3)若点P是抛物线上的点且在直线的下方，使的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 4．（2023·四川达州·一模）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当时，求点的坐标． 5．（2024·四川乐山·二模）如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且 (1)用表示点的坐标； (2)求实数的取值范围； (3)请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由． 6．（2024·四川成都·一模）抛物线与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）两点，与y轴负半轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标； (2)如图1，连接，过点B作，交抛物线于点D，直线交于点P，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线上一动点（不含C点），作交抛物线于另一点N，直线交于点E，若，求点E的坐标（用含h的式子表示）． 考向二：角度问题 中考常见题型分析 1.特殊角度存在性问题 示例：如题目要求存在点使∠ADQ=45°、∠ACO+∠FCB=45°等； 考查形式：通过坐标系中点的位置关系，结合抛物线对称性、几何模型(如等腰直角三角形、三垂直模型)判断角度存在性。 2.角度关系与坐标求解 示例：已知角度相等、角平分线或角度比例关系，求点的坐标； 考查形式：需将几何角度条件转化为代数方程，常用相似三角形、三角函数或向量斜率关系； 3.动点与角度动态变化 示例：动点P在抛物线上运动时，分析线段与角度关系(如线段PM的三等分点、角度随动点位置的变化)； 考查形式：需设动点参数坐标，通过函数表达式或几何关系建立方程。 1．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 2．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标C为，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线相交点D，与x轴相交于点M， (1)求抛物线的函数表达式． (2)连接，求四边形的面积． (3)若点E在直线上，且，求点E的坐标． 5．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，二次函数图象的顶点为D． (1)若，求顶点D的坐标及线段的长； (2)当时，二次函数的最小值为，求m的值； (3)连接，，，若，求点C的坐标． 考向三：等腰三角形存在性问题 二次函数与等腰三角形存在性问题 典型模型 如图，已知线段AB，在直线l上找点P使得△ABP是等腰三角形 求解思路 （1）假设存在点P，并设出点P的坐标； （2）根据两点之间的距离公式，计算线段PA、PB、AB的长度； （3）从定边AB入手，分三种情况进行讨论； （4）根据等腰三角形腰长相等，列出三种等量关系PA=PB，PA=AB， PB=AB； （5）列方程求出点P的坐标； （6）检验点P与A、B是否共线，若共线，则舍去。 备注：设点A，则AB= 1．（2024·四川南充·二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M是y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)如图2，过点C作交x轴于点E，交于点F．抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 3．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川凉山·二模）如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，面积取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．    (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值． 考向四：直角三角形存在性问题 二次函数与直角三角形存在性问题 典型模型 如图，已知线段AB，在直线l上找点P使得△ABP是直角三角形 求解思路 （1）假设存在点P，并设出点P的坐标； （2）根据两点之间的距离公式，计算线段PA、PB、AB的长度； （3）从定边AB入手，分三种情况进行讨论； （4）根据直角三角形边的关系，列出三种等量关系，，； （5）列方程求出点P的坐标； （6）检验点P与A、B是否共线，若共线，则舍去。 备注：设点A，则AB= 1．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 3．（2024·四川成都·三模）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； (3)若为直角三角形，求点A的坐标． 5．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，，，若，求点的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 考向五：等腰直角三角形存在性问题 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 构造一线三等角，利用边相等得到坐标之间的关系，建立方程求解： ①由一线三等角的模型可知，△ACQ≌△APB； ②再根据全等三角形的性质可知，对应边相等； ③设出相应的坐标求解即可。 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·四川广安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，顶点为，E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形为正方形． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，求正方形的面积； (3)如图2，连接，与交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线上一点，且P，Q两点均位于直线下方，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标． 5．（2024·四川眉山·一模）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 6．（2023·四川绵阳·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D． （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 考向六：平行四边形存在性问题 动点与平行四边形存在性问题中常见模型 三定一动类型 三个顶点、一个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，把三条边分别作为对角线讨论； （2）利用中点坐标公式求解； 两定两动类型 两个顶点、两个动点构成平行四边形 （1）分类讨论，把三条边分别作为对角线讨论； （2）利用中点坐标公式求解； 常见公式：如图所示，在四边形ABCD中，，，，，对角线AC、BD相较于点M。 中点坐标公式：或 1．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 2．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．    (1)求抛物线的表达式． (2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． (3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 3．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．    (1)求二次函数的表达式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川南充·一模）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·四川内江·二模）已知抛物线经过点，，．（如图1） (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)点是坐标平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位得到抛物线（如图2），为的顶点，直线交于、，直线、分别交轴于、两点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（2024·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点B． (1)求此抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，是否存在以点O、B、Q、P为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 考向七：矩形存在性问题 所谓矩形存在性问题，即在坐标系中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，首先我们要知道矩形的判定定理。 (1)有一个角是直角的平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形;；(3)有三个角为直角的四边形 矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，题型如下 (1)2个定点+1 个半动点+1个全动点 (2)1个定点+3 个半动点 思路1：先直角，再矩形 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中 3个点构造直角三角形，再确定第4个点.对“2 定+1半动+1全动”尤其适用； 思路2：先平行，再矩形 当 AC 为对角线时，A、B、C、D 满足以下3个等式，则为矩形； 其中第 1、2 个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形.表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可 无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组。 1．（2024·四川泸州·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点D的坐标及直线的函数表达式． (2)点P为抛物线上一动点． ①当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，求点P的坐标； ②若点Q为平面直角坐标系内一点P，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形是以为边的矩形时，请直接写出点P的横坐标． 2．（2024·四川绵阳·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点． (1)直接写出A，B两点的坐标，并求出抛物线的表达式； (2)如图，点E是线段之间的一个动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点D，直线于点F．当D，E，F三个点中的一个点平分另外两个点构成的线段时，求的面积； (3)若点P是抛物线上不与顶点重合的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形且时，求点P的横坐标． 3．（2023·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； 4．（2023·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t． (1)求抛物线解析式； (2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值； (3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 考向八：菱形存在性问题 二次函数与菱形存在性问题 菱形作为一种特殊的平行四边形，可以从以下几种方式得到: (1)有一组邻边相等的平行四边形菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形: (3)四边都相等的四边形是菱形. 【解题技巧】 坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法，和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直” 或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形4BCD是菱形，则其4个点坐标需满足 考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同 【基本题型】 因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型 (1)2个定点+1个半动点+1个全动点 (2)1个定点+3 个半动点 【解题思路】 思路1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D’(4C、BD为对角线)，再结合一组邻边相等到方程组. 思路 2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个再确定第4个点 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标． （建议用时：50分钟） 1．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．    (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（2023·四川广元·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 5．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$