5.3导数与实际应用问题讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：导数与实际应用问题 函数与导数：导数与实际应用问题 知识点解析 1.利用导数解决实际应用问题的思路 （1） 理解问题 明确问题的背景和目标，确定需要优化的量（如最大利润、最小成本等）或需要分析的变量关系. （2）建立数学模型 将实际问题转化为数学表达式，通常涉及函数关系.确定自变量和因变量，并建立函数. （3）讨论最值 求导，导论函数单调性，进而得到函数的极值与最值. ※需要注意，实际应用问题中需要注意函数的定义域问题，注意是否为正数或正整数. 2.利用导数求最值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值与、的大小，确定最值. 3.利润问题 （1）总价=单价×数量 （2）利润=总收入-总成本=单个利润×数量=总成本×利润率. ※总成本可能包括生产成本、固定成本、销售成本等，视题目具体要求. 4.常见几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 考点一 利润问题 1．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】B 【详解】设利润为，则． 因为，所以当时，，当时，， 故利润最大时． 故选：B 2．（23-24高二下·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【答案】A 【详解】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大. 故选：A 3．（23-24高二下·重庆·期中）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】设利润为，则. 因为，所以当时，，当时，. 故利润最大时的. 故选：C. 4．（23-24高二下·甘肃·期中）某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 【答案】B 【详解】由年利润与年产量满足， 因为年产量是万件，则年利润是万元，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值， 即年产量为万件时，厂家获得的年利润最大. 故选：B. 5．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习·多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 【答案】BCD 【详解】由已知，每个瓶子的利润为，， 则， 所以当时，，此时函数单调递减，故A错误； 又当时，，函数单调递增， 又，则当时，函数取得最大值，故B正确； 当时，函数取得最小值，故C正确； 又，故D正确． 故选：BCD． 6．（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 【答案】14 【详解】设利润为，则. 因为，所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故当时，利润取得极大值，也是最大值. 故利润最大时，. 故答案为：14. 7．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套． （1）实数 ； （2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格 元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】 【详解】设，， 依题意，解得，则，； 设商店日销售该商品所获得的利润为，则由题可得： ，. 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 故当销售价格时，日销售该商品所获得的利润最大. 故答案为：； 8．（23-24高二下·四川成都·期中）某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕 万斤时，利润最大. 【答案】 【详解】设销售利润为， 则，， 所以， 所以当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 所以每年种植莲藕万斤时，利润最大. 故答案为： 9．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 10．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)9千件 【详解】（1）当时，； 当时，. 综上：. （2）当时，，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)台，万元 【详解】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 12．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)需要增加产量，增加20箱最好. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，2， ，，， X的分布列如表： X 0 1 2 P . （2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元）， 则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元， 所以增加净利润为. 设（或），则， 当时，， 当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 考点二 表面积与体积问题 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设圆锥的轴截面的内切圆的半径为R，即该圆锥的内切球的半径为R.根据等面积法可得 ，解得， 则， 设， 则，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，取得最大值， 即能够被整体放进该容器的球的体积最大时，. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，设点在第一象限，则有，且. 由椭圆和矩形的对称性，把矩形绕着轴旋转180°得圆柱， 则圆柱的底面圆半径为，母线长为， 于是该圆柱体的体积为：， 将对求导，可得：，由可得， 当时，；当时，， 即在上单调递增；在上单调递减. 故当时，圆柱体的体积最大，此时，. 则圆柱的侧面积为：. 故选：A. 3．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 4．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接球的半径为，则，解得. 设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形的外接圆的半径为， 故三棱柱的高为， 所以该正三棱柱的体积， 由，解得， 令，则， ∴函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数在时取得最大值，因为， 所以该正三棱柱的体积的最大值为. 故选：C 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 7．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为，当该圆锥的体积取得最大值时， ． 【答案】/ 【详解】设球的半径为，则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上递增，在上递减， 当时，圆锥的体积取得最大值，此时， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 ． 【答案】 【详解】设圆柱模型的底面半径为，高为，则圆柱模型的体积为，即， 所以圆柱模型的表面积为， 令，，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在取得最小值，即当圆柱模型的底面半径为时，模型的表面积最小， 故答案为：. 9．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是 ． 【答案】8 【详解】如图，铁管不倾斜时，令， ，，，， . 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 此时通过最大长度，所以，所以倾斜后能通过的最大长度， 所以. 故答案为：8. 11．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【详解】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 12．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.    (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 【答案】(1)立方分米 (2)元 【详解】（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为， 则圆锥的体积，圆柱的体积， 则该容器的容积，， 由，，则， 则， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米）， 即该容器的容积的最大值为立方分米. （2）由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米， 则圆锥与圆柱的高为分米， 则圆锥的侧面积（平方分米）， 圆柱的侧面积（平方分米）， 则该容器的表面积为（平方分米）， 又（元）， 则需要的铁皮的总费用为元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：导数与实际应用问题 函数与导数：导数与实际应用问题 知识点解析 1.利用导数解决实际应用问题的思路 （1） 理解问题 明确问题的背景和目标，确定需要优化的量（如最大利润、最小成本等）或需要分析的变量关系. （2）建立数学模型 将实际问题转化为数学表达式，通常涉及函数关系.确定自变量和因变量，并建立函数. （3）讨论最值 求导，导论函数单调性，进而得到函数的极值与最值. ※需要注意，实际应用问题中需要注意函数的定义域问题，注意是否为正数或正整数. 2.利用导数求最值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 步骤1：确定函数的定义域. 步骤2：求导，令导数，求根. 步骤3：根据的根将定义域分为多个区间，分别讨论每个子区间导数的正负. 步骤4：根据导数的正负写出单调区间. 步骤5：根据单调区间确定极值点和极值. 步骤6：比较极值与、的大小，确定最值. 3.利润问题 （1）总价=单价×数量 （2）利润=总收入-总成本=单个利润×数量=总成本×利润率. ※总成本可能包括生产成本、固定成本、销售成本等，视题目具体要求. 4.常见几何体的表面积与体积 （1）常见几何体的体积 ① ② ③ ④ （2）常见旋转体的侧面积与表面积 ①圆柱的侧面积与表面积：； . ②圆锥的侧面积与表面积：； . ③圆台的侧面积与表面积：； . ④球的侧面积与表面积：. （3）常见多面体的侧面积与表面积 ①棱柱的侧面积与表面积：棱柱的侧面积由侧面的平行四边形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ②棱锥的侧面积与表面积：棱锥的侧面积由侧面的三角形的面积组成，表面积由侧面积与一个底面积组成. ③棱台的侧面积与表面积：棱台的侧面积由侧面的梯形的面积组成，表面积由侧面积与两个底面积组成. ※计算面积的高和计算体积的高不可混为一谈，需要互相转换时，需要借助侧棱长进行转换. 考点一 利润问题 1．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．80 B．90 C．100 D．110 2．（23-24高二下·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 3．（23-24高二下·重庆·期中）已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（23-24高二下·甘肃·期中）某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 5．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习·多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（    ）（注：；利润可为负数） A．利润随着瓶子半径的增大而增大 B．半径为6cm时，利润最大 C．半径为2cm时，利润最小 D．半径为3cm时，制造商不获利 6．（24-25高二上·山西·期末）已知某商品成本与销量的函数关系式为，单价与销量的函数关系式为，则当利润最大时， . 7．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套． （1）实数 ； （2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格 元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大． 8．（23-24高二下·四川成都·期中）某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕 万斤时，利润最大. 9．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 10．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 12．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 考点二 表面积与体积问题 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期末）在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆：上，将该矩形绕轴旋转180°，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 7．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，圆锥的底面半径为，高为，当该圆锥的体积取得最大值时， ． 8．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）某校高二年级学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．某学生准备做一个体积为的圆柱形模型，当模型的表面积最小时，其底面半径为 ． 9．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 10．（24-25高三上·江苏·阶段练习）有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是 ． 11．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 12．（24-25高三上·河北唐山·期中）如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米. (1)忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值； (2)设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$