06 函数与导数：零点问题 讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：零点问题 函数与导数：零点问题 知识点解析 1.函数的零点与零点存在性定理 (1)函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 (2)方程的解与函数的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. (3)函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 2.指对幂函数的零点分布问题 (1)由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. (2)常见函数的图像 ①一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点. ②二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口方向，与决定了函数的对称轴，且与左同右异,决定了函数与轴的交点. ③指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，指数函数过定点. ④对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，对数函数过定点. (3)几个常见的定值 ①对于函数，若，则. ②对于函数，若，则. ③对于函数，若，则. 3.利用导数探究零点问题 (1)零点唯一性：如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有唯一零点 (2)求零点问题的方法 ①参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ②直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后探究极值的正负，进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 考点一 零点存在性定理 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·期末）函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·甘肃武威·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（   ） A． B．（1，2） C． D． 6．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（   ） A．(0， 1) B．(1， 2) C．(2，3) D．(3， ) 考点二 指对幂函数的零点分布问题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 7．（23-24高一上·陕西西安·期末·多选）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是 . 考点三 利用导数探究零点问题：参变分离法 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 8．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是 . 9．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 10．（2025·山东临沂·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 11．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 考点四 利用导数探究零点问题：构造函数，讨论单调性与极值的正负 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 4．（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 ． 5．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 6．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 7．（24-25高三下·广西桂林·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)求函数的零点个数． 8．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 9．（24-25高三上·广东·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 10．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：零点问题 函数与导数：零点问题 知识点解析 1.函数的零点与零点存在性定理 (1)函数的零点 对于一般函数，我们把使得的实数叫做函数的零点 (2)方程的解与函数的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图像与轴的交点的横坐标,所以方程有实数解函数有零点函数图像与轴有交点. ※方程的解的数量函数与函数的交点的数量. (3)函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解. 2.指对幂函数的零点分布问题 (1)由函数零点的分布或方程解的分布求参数范围 策略一：讨论函数的单调性，进而利用零点存在性定理求参数范围. 策略二：刻画函数图像，根据函数的图像求参数范围. (2)常见函数的图像 ①一次函数的图像由和决定，决定了函数的单调性，决定了函数与轴的交点. ②二次函数的图像由和和决定，决定了函数的开口方向，与决定了函数的对称轴，且与左同右异,决定了函数与轴的交点. ③指数函数的图像由决定，决定了函数的单调性，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，指数函数过定点. ④对数函数的图像由决定，决定了函数的单调性，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，对数函数过定点. (3)几个常见的定值 ①对于函数，若，则. ②对于函数，若，则. ③对于函数，若，则. 3.利用导数探究零点问题 (1)零点唯一性：如果函数在区间上的图象是连续不断且单调的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有唯一零点 (2)求零点问题的方法 ①参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数 的图象的交点问题. ②直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后探究极值的正负，进而将问题转化为函数图象与轴的交点问题. 考点一 零点存在性定理 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知函数在上单调递增， 又， 即， 故函数的零点所在区间为， 故选：B 2．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，函数定义域为. ∵函数，在均为减函数， ∴在为减函数， ∵，， ∴函数的零点所在区间为. 故选：A. 3．（24-25高一上·河北石家庄·期末）函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为， 又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为， 故选：A. 4．（24-25高三上·甘肃武威·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的零点所在区间为． 故选：A 5．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（   ） A． B．（1，2） C． D． 【答案】B 【详解】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 6．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（   ） A．(0， 1) B．(1， 2) C．(2，3) D．(3， ) 【答案】C 【详解】因为函数是减函数,又,, 所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3). 故选：C 考点二 指对幂函数的零点分布问题 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若方程仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 方程仅有4个不相等的实数根，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， ∴实数的取值范围是. 故选:A. 2．（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 5．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末·多选）已知函数，且关于的方程恰有四个不同的根，从小到大依次为，则（   ） A． B．最小值为9 C．恰有6个不同的根 D．，使得恰有8个不同的根 【答案】ABD 【详解】图像如下， 可知时，与恰有四个不同交点，所以A正确： 由对称性可知，而，所以， 则，所以， 当且仅当时等号成立，B成立： 对于，令， 则有两个不同根，， 各有四个不同根，共有八个不同根，所以C错误； 对于D，令在时有三个根：， 而有2个不同根，有4个不同根，有2个不同根， 共8个，所以D正确． 故选：ABD. 6．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习·多选）已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（   ） A．在和上单调递减 B．的值域为 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【详解】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点， 对A，由图象知A正确， 对B，当时，，B错； 对C，或， 因为，所以，从而，又， 所以，C正确， 对D，由图可知 ，即，D正确， 故选：ACD． 7．（23-24高一上·陕西西安·期末·多选）已知函数若方程有三个不等的实数解、、且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】画出的大致图象如图所示. 若方程有三个不等的实数解，根据图象可得，且. 令，得；令，得， 则，， ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以. 所以BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 8．（24-25高一上·山西运城·期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如下图所示： 方程有四个不同的解、、、且，且， 由图可知，点、关于直线对称，则， 由图可得，由可得，可得， 由可得， 所以，， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 因为，则， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意作出函数的图象，如图， 方程有4个不同的实数根，，，（）， 即函数的图象与直线有四个不同的交点， 易知，则，即， 由二次函数对称性可得且， 则， ，则，所以， 故答案为：． 考点三 利用导数探究零点问题：参变分离法 1．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 4．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可知： ①当时，，故为的1个零点． ②当时，由题意，可得， 即与有4个交点， 当时，， 设，，则，令得， 则函数在单调递增，在上单调递减，又， 如图 则必有，解得， 故选：D 5．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由得：， 显然，是的一个零点， 再当时，有， 作出图象可得：当时，， 所以当时，在有两个零点； 再当时，由得：， 整理得，令，求导得， 令，得 当时，，所以在区间上递增， 当时，，所以在区间上递减， 作出图象： 所以由图可得：当时，在有两个零点； 又由于， 所以要使得有五个零点的参数， 故选： D. 6．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为 . 【答案】或， 【详解】由可得， 记，则， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当，时， 故作出的大致图象如下： 故有且仅有一个实数，则或， 故答案为：或， 7．（24-25高三下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】切点设为，其中 有三个不同的解 即有三个不同的解 设 ，该函数有三个不同零点, ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即 所以： 故答案为： 8．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数只有1个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，令，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，当时，当时，当时， 则的函数图象如下所示： 依题意与有且只有一个交点，则或， 即的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 【答案】(1)答案见解析． (2)证明见解析 【详解】（1）由题可得函数的定义域为 令，可得，令，则， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减． 且. 所以当或时，直线与函数图象无交点，此时函数无零点； 当或时，直线与函数图象有1个交点，此时函数有1个零点； 当时，直线与函数图象有2个交点，此时函数有2个零点． （2），则． 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以． 要证，即证， 即证恒成立，令， 则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则恒成立，所以当时，恒成立． 10．（2025·山东临沂·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）令，则， 令， 则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ，当时，， 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为. 11．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 12．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数. (1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由； (2)若存在两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)无极小值点；理由见解析 (2) 【详解】（1）依题意可得， ，故， 设，则， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增，无极小值点； （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，；当时，， 的取值范围是 考点四 利用导数探究零点问题：构造函数，讨论单调性与极值的正负 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则. 由题意可知有且仅有两个零点， 则在上有唯一的极值点且不等于零. ①当时，，单调递增，则至多有一个零点，不符合题意. ②当时，令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，则， 即，解得, 而当时，，当时，， 故符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为函数有两个不同的极值点， 所以得有两个变号零点. 令，定义域为，则. 当时，恒成立，在上单调递增，不会有两个零点，舍去； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最 小值， 当趋向于负无穷大时，趋向于正无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 有2个变号零点， 所以，即. 令，则 令，得令，得 则g(a)在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值.又， 故的解集为 故答案为： 5．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若函数在区间上有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【详解】（1）当时，，，， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）， 当时，由得，， 随着的变化，、的变化情况如下表： 单调递减 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （3）， 当时，因为，所以， 在区间上单调递减，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ，所以； 当时，，     因为在区间上有零点， 由（1）可知，， 因为函数、在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 6．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 7．（24-25高三下·广西桂林·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)求函数的零点个数． 【答案】(1) (2)极小值，极大值 (3)一个 【详解】（1） ， ， 因此切线方程为． （2）解得或， 解得， 因此在上递增，在上递减，在上递增． 因此在处取得极小值． 在时，取得极大值． （3）因为在上递增，在上递减，在上递增． 极大值． 又极小值，所以时，恒成立， 即时，没有零点， 又，即， 所以时，有一个零点， 综上，只有一个零点． 8．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）当时，， ，． 又，故在处的切线方程为：． （2）． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，在上单调递增，不符合题意，故． 由（2）知，当时，． 有两个零点，． 又，． 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即． 又， 在上有一个零点； ，． 当时，， 在上有一个零点． 综上所述，有两个零点时，的取值范围是． 9．（24-25高三上·广东·期末）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在区间上有唯一的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 所以在处的切线方程为，即． （2）由得， 设，则在上单调递增，， 当时，在区间上单调递增， 因为，所以在区间上没有零点. 当，即时，在区间上单调递减， 所以在区间上没有零点. 当时，， 存在，使得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以要使有零点，需满足， 即，综上得的取值范围是． 10．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）设函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)试讨论函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值，无极大值． (2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）当时，，则的定义域是， ， 令，得或 (舍去)． 当x变化时，，变化情况如下表所示： x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 函数在处取得极小值，无极大值． （2）由可得， 令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值为， 若函数有零点，则，解得. 当时，函数在上单调递减． 又，，所以函数在上有一个零点； 当时，函数的最小值为正数，所以函数在上没有零点． 综上，当时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$