05 函数与导数：恒成立求参问题 讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：恒成立求参问题 函数与导数：恒成立求参问题 知识点解析 1.与不等式恒成立问题有关的结论 (1),均有恒成立，则. (2),均有恒成立，则. (3),均有恒成立，令,则. (4),均有恒成立， 令,则 (5),,均有恒成立,则. (6),,均有恒成立,则. 2.恒成立求参的两个基本思路 (1)通过分离参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式，，参变分离得，令，讨论的最值即可. (2)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题 形如不等式的证明，构造函数，先讨论含参函数的单调性，再讨论最值的正负即可. 3.使用参变分离的要求 (1)参数与变量可以比较容易地分离开． (2)分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易． (3)分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 4.含参单调性常见的讨论点 (1)的根的是否有意义. (2)的根的数量. (3)的根的大小. 考点一 参变分离求参数范围 1．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 4．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知实数，函数（e为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间及最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数a的值； (3)证明：． 5．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 6．（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若是函数的极值点，求证：． 7．（24-25高三下·广东潮州·阶段练习）已知函数，且曲线在点处的切线与轴垂直． (1)求函数的单调区间； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围． 8．（2025·福建泉州·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 考点二 构造函数求参数范围 1．（24-25高三下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，若对，则实数的取值范围为 ． 2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 4．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线过点的切线方程; (2)当时，，求a的取值范围. 5．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 6．（24-25高三上·山西太原·期末）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 7．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 8．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求曲线的对称中心； (3)当时，，求a的取值范围. 考点三 利用导数证明不等式 1．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 2．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 3．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 4．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：恒成立求参问题 函数与导数：恒成立求参问题 知识点解析 1.与不等式恒成立问题有关的结论 (1),均有恒成立，则. (2),均有恒成立，则. (3),均有恒成立，令,则. (4),均有恒成立， 令,则 (5),,均有恒成立,则. (6),,均有恒成立,则. 2.恒成立求参的两个基本思路 (1)通过分离参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 形如不等式，，参变分离得，令，讨论的最值即可. (2)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题 形如不等式的证明，构造函数，先讨论含参函数的单调性，再讨论最值的正负即可. 3.使用参变分离的要求 (1)参数与变量可以比较容易地分离开． (2)分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易． (3)分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形． 4.含参单调性常见的讨论点 (1)的根的是否有意义. (2)的根的数量. (3)的根的大小. 考点一 参变分离求参数范围 1．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【详解】（1）当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数在处取得极值． (1)求a的值； (2)若存在使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 由已知， 又当时，令得， 且当时在区间上单调递增， 时，在区间上单调递减． 在处取得极大值. 综上，. （2）问题等价于存在使得． 设，则 当时，在上单调递减， ， 故m的范围是． 4．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知实数，函数（e为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间及最小值； (2)若对任意的恒成立，求实数a的值； (3)证明：． 【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是， (2)实数a的值为1 (3)证明见解析 【详解】（1）函数定义域为R，， 当时，若，得函数在上是增函数； 若，得函数在上是减函数． 则当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是． 即在处取得极小值且为最小值，最小值为． （2）若对任意的恒成立，等价为， 由（1）知，， 设，则， 由，得， 由，得，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减， 在处取得最大值，即，因此的解为．所以实数a的值为1． （3）证明：由（2）可知时恒成立，即，则． ， ． 5．（2025·云南大理·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）若，则，，， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）若对定义域内，都有恒成立， 即恒成立，只需即可， 设，，则， 令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 故的取值范围为. （3）由（2）得当时，恒成立，即， 将中的替换为，显然， 则， 故， 即. 故. 6．（2025·陕西西安·二模）已知函数． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若是函数的极值点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，则可得不等式， 由，则，令， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得. （2）由，则，令， 求导可得在上恒成立， 则函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 由是函数的极值点，则，即， 由，则， 所以. 7．（24-25高三下·广东潮州·阶段练习）已知函数，且曲线在点处的切线与轴垂直． (1)求函数的单调区间； (2)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【详解】（1）由题意得，的定义域为， ∵，∴，故， ∵在点处的切线与轴垂直，∴，即， ∴， ∵时，，时，， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）得，. ∵对恒成立，∴在上恒成立， 设，则， 设，则， ∴在上单调递增，∴， ∴，即在上单调递减， ∴， ∴． 8．（2025·福建泉州·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． （3）解法一：因为，所以题意等价于当时，． 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于． 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故． 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论． ①当时，即 且由（2）分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即． 又因为，即，化简，得 所以，整理得． 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意． 综上①②本题所求的取值范围为． 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则必要地，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，． 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明， 此时，且 所以，故得证． 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 考点二 构造函数求参数范围 1．（24-25高三下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，若对，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题可得， 当时，，在上递减；当时，，所以在上递增； 则， 所以，又，即，则． 故答案为：. 2．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知函数 (1)若，求证：； (2)当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），， 则， 令，则，由，故舍去，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，则， 故在上单调递减，故， 即当时，， 故 ； （2）， 令， 则， 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递减，则，符合要求； 当时，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，不符合要求； 当时，令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，故不符题意； 综上所述：. 4．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线过点的切线方程; (2)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1) 或； (2) 【详解】（1）当时，函数，求导得，而， 当为切点时，，切线方程为； 当不为切点时，设切点为，， 则，整理得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，，即， 因此，，切点为，切线方程为， 所以曲线过点的切线方程为，或. （2）函数，求导得，且，当时，， 则当时，恒成立，函数在R上单调递增，，因此； 当时，令，求导得，由，得， 若，则，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意； 若，恒成立， 函数在上单调递增，恒成立，因此， 所以实数a的取值范围是 5．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1). (2). 【详解】（1）若在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，令，， 所以在(上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，即a的取值范围为. （2）令， 所以在区间上恒成立， 即函数在区间上恒成立. 又， 令， 则. ①当时，， 所以函数在区间上单调递减，所以， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以时，在区间上恒成立； ②当时， 令，则， 因为，所以， 故函数在区间上单调递减，又， 所以函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以当时，在区间上恒成立； ③当时，构造函数，其中，因为， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，即， 所以， 所以， 又，所以存在使得， 即当时，，此时函数在上单调递增， 又，所以函数在上单调递增， 又，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 6．（24-25高三上·山西太原·期末）函数，. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）由题意得，， 当时，则，在上单增， 的递增区间为； 当时，令，则；令，则. 的递增区间为，递减区间为. （2）当时，令，， 则，， 由题意，得. 因为， 令，则；令，则， 在上递减，在上递增， ， 故 在上递增， 又， ， 实数的取值范围为. 7．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，， 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，解得：. （2）因为. 当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值； 当时，令得；令得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为. 因为极大值不大于0，即， 且，可得， 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 即实数的取值范围为. 8．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求曲线的对称中心； (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【详解】（1）当时， 令得或， 解得， 令得， 所以的单调递增区间为 单调递减区间为 （2）当时，， 设曲线的对称中心为 则 ， 所以解得， 所以曲线的对称中心为 （3）当时在上恒成立，满足题意； 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，此时满足题意； 当时， 令， 所以在上单调递增， 又因为，所以存在使得； 当时单调递减，所以，不符合题意. 综上所述：a的取值范围为 考点三 利用导数证明不等式 1．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)，无极大值 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【详解】（1），令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，无极大值． （2）证明：原不等式等价于：，， 即，， 令，，下证：， 则，设，则，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递减，，即原不等式成立． （3）等价于的零点个数问题： ①当时，，显然在上单调递增， 又，，所以在上总有唯一的零点； ②当时，， 则， Ⅰ若，则在上恒成立，在上单调递增， ，在上无零点； Ⅱ若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，令，得 若，则在上无零点； 若，则在上有唯一零点； 若，则，又， 又由知，得，得， 由零点存在性定理可知，在，上各有一个零点． 综上所述：当时，有一个零点：当时，有两个零点；当时，有三个零点． 2．（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则. 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，即时，，得证. （2）， 令， ①当时，在上无极值点，不符合题意； ②当时，，即在上单调递减，且. 取，其中. 显然，， 则. 由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得. 当时，，即；当时，，即. 此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意. 综上，. 3．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 4．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； （2）由（1）知，， 则， 由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以； （3）令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 所以当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 2 学科网（北京）股份有限公司 $$