第2章 4.单摆5.实验用单摆测量重力加速度(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版2019）

4.单摆 5.实验:用单摆测量重力加速度 学习目标 情境导入 1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件,知道单摆振动时回复力的来源。 2.了解影响单摆周期的因素,掌握单摆的周期公式。 3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法。 　　生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动,如摆钟、秋千等。 　　这些物体的摆动是否是简谐运动呢?它们运动的快慢与悬线长度有没有关系呢? 课前新知初探 知|识|梳|理 一、单摆　单摆的回复力 1.单摆:由小球和细线组成,细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比可以忽略,与小球受到的重力及绳的拉力相比,空气等对它的阻力可以忽略,这样的装置叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 2.单摆的回复力。 (1)回复力的来源:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点:在偏角很小时,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比,方向总指向平衡位置,若单摆摆长为l、摆球质量为m,则回复力F=-x,因此单摆做简谐运动。 二、单摆的周期 1.定性探究影响单摆周期的因素。 (1)探究方法:控制变量法。 (2)实验结论:单摆振动的周期与摆球质量无关,振幅较小时周期与振幅无关,但与摆长有关,摆长越长,周期越长。 2.定量探究单摆的周期与摆长的关系。 (1)周期的测量:用停表测出单摆N(30或50)次全振动的时间t,利用T=计算它的周期。 (2)摆长的测量:用刻度尺测出细线长度l0,用游标卡尺测出小球直径D,利用l=l0+求出摆长。 (3)数据处理:改变摆长,测量不同摆长及对应周期,作出T-l、T-l2或T-图像,得出结论。 3.周期公式。 (1)提出:周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式:T=2π ,即周期T与摆长l的二次方根成正比,与(单摆所在处的)重力加速度g的二次方根成反比。 预|习|自|检 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)一根细线一端固定,另一端拴一小球就构成一个单摆。 (×) (2)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。 (×) (3)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的。 (√) (4)单摆的振幅越大周期越大。 (×) (5)单摆的周期与摆球的质量无关。 (√) 2.一个理想的单摆,已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍,振幅变为原来的3倍,摆长变为原来的8倍,摆球质量变为原来的2倍,它的周期变为　　　　。  解析　由T=2π可知,T'=2π=2T。 答案　2T 课堂合作探究 　 探究一　单摆及单摆的回复力 1.单摆。 (1)单摆是实际摆的理想化模型。 (2)实际摆看作单摆的条件。 ①摆线的形变量与摆线长度相比可忽略; ②摆线的质量与摆球质量相比可忽略; ③摆球的直径与摆线长度相比可忽略; ④空气阻力与摆球的重力及绳的拉力相比可忽略。 2.单摆的回复力。 如图所示,重力G沿圆弧切线方向的分力G2是摆球沿运动方向的合力,正是这个力提供了使摆球做简谐运动的回复力:F=G2=mgsin θ。 3.单摆的运动特点。 (1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都需要向心力(最高点其向心力为零)。向心力由细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供。 (2)摆球同时在平衡位置附近做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都受回复力。 4.单摆做简谐运动的推证。 在θ很小时(理论值为≤5°),sin θ≈θ≈。G2=Gsin θ=x,G2方向与摆球位移方向相反,所以有回复力F回=-x=-kxk=。因此,在摆角θ很小时,单摆做简谐运动。 【例1】　图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中 (　　) A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B.摆球在A点和C点处,速度为零,合力与回复力也为零 C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大 D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大 解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A项错误;摆球在摆动过程中,在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C项正确,B、D两项错误。 答案　C 回复力、向心力、合外力的区别与联系 (1)区别。 ①回复力:使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力;对单摆来说,重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ提供回复力。 ②向心力:使物体做曲线运动且指向圆心的力;对单摆来说,摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。 ③合外力:物体所受的合力,它使物体的运动状态发生变化。 (2)联系:回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量。回复力、向心力一定是变力,合外力可以为恒力,也可为变力。对单摆来说,回复力与向心力的合力等于合外力。 【针对训练1】　对于单摆的运动,以下说法正确的是 (　　) A.单摆运动时,摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时加速度为零 解析　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用,把重力沿切向和径向分解,其切向分力提供回复力,绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力,向心力大小为Fn=m,可见最大偏角处向心力为零,平衡位置处向心力最大有向心加速度,而回复力在最大偏角处最大,平衡位置处为零,故只有C项正确。 答案　C 探究二　单摆的周期 1.伽利略发现了单摆运动的等时性,惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2.单摆的周期公式:T=2π。 3.对周期公式的理解。 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时,由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%)。 (2)公式中l是摆长,即悬点到摆球球心的距离l=l线+r球。 (3)公式中g是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。 (4)周期T只与l和g有关,与摆球质量m及振幅无关。 【例2】　有一单摆,其摆长l=1.02 m,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时间t=60.8 s,试求:(保留小数点后三位) (1)单摆的周期T; (2)如果将这个单摆改为秒摆,摆长应怎样改变?改变多少? 解析　(1)T== s=2.027 s。 (2)秒摆的周期是2 s,设其摆长为l0, 由于在同一地点重力加速度是不变的, 根据单摆的振动规律有=, 故有l0== m=0.993 m, 所以其摆长要缩短Δl=l-l0=1.02 m-0.993 m=0.027 m。 答案　(1)2.027 s　(2)缩短　0.027 m 微提醒 (1)注意秒摆是周期为2 s的单摆,不是1 s;其摆长约为1 m。 (2)单摆振动周期改变的途径:①改变单摆的摆长;②改变单摆所在处的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)。 【针对训练2】　如图所示是一个单摆(α<5°),其周期为T,则下列说法正确的是 (　　) A.把摆球质量增加一倍,则周期变小 B.把偏角α变小时,周期也变小 C.摆球由O→B→O,运动的时间为T D.摆球由O→B→O,运动的时间为 解析　由T=2π 可知,单摆的周期T与质量无关,A项错误;偏角α变小,振幅变小,但单摆的周期T与振幅无关,B项错误;O→B→O→C→O为一次全振动,运动时间等于T,C项错误;由O→B→O仅完成了半个全振动,运动时间等于,D项正确。 答案　D 探究三　实验:用单摆测量重力加速度 1.实验原理。 由T=2π ,得g=,则测出单摆的摆长l和周期T,即可求出当地的重力加速度。 2.实验器材。 铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。 3.实验步骤。 (1)让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆。 (2)将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。 (3)用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d,则摆长为l=l'+。 (4)把单摆拉开一个角度,角度不大于5°,释放摆球。摆球经过最低位置时,用秒表开始计时,测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间,求出一次全振动的时间,即为单摆的振动周期。 (5)改变摆长,反复测量几次,将数据填入表格。 4.数据处理。 (1)公式法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式g=中求出g值,最后求出g的平均值。 设计如下所示实验表格 实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2) 1 g= 2 3 (2)图像法:由T=2π 得T2=l,以T2为纵坐标,以l为横坐标作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g。 5.注意事项。 (1)选择细而不易伸长的线,长度一般不应短于1 m;摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。 (2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。 (3)摆球摆动时,要使之保持在同一竖直平面内,不要形成圆锥摆。 (4)计算单摆的全振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计时,要测n次全振动的时间t。 【例3】　在做“探究单摆周期与摆长的关系”的实验时: (1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度,可供选用的器材为　　　　(填选项字母)。  A.20 cm的细线、木球、秒表、米尺、铁架台 B.110 cm长的细线、钢球、秒表、米尺、铁架台 C.110 cm长的细线、木球、秒表、量程为0~50 cm的刻度尺、铁架台 D.10 cm长的细线、钢球、大挂钟、米尺、铁架台 (2)为了减小测量周期的误差,摆球应在经过最　　　(填“高”或“低”)点的位置时开始计时,并计数为零,摆球每次通过该位置时计数加1,当计数为60时,所用的时间为t,则单摆周期为　　　　。  解析　(1)实验中应采用长1 m左右,不易形变的细线,小球选用体积小、质量大的小钢球,故B项正确,A、C、D三项错误。 (2)摆球经过最低点的位置时速度最大,所以为了减小测量周期的误差,摆球应选经过最低点的位置时开始计时;由题分析可知,单摆全振动的次数N=30次,周期为T=。 答案　(1)B　(2)低　 【针对训练3】　某同学利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。实验步骤如下: 甲 A.按装置图安装好实验装置; B.用游标卡尺测量小球的直径d; C.用米尺测量悬线的长度L; D.让小球在竖直平面内小角度摆动,当小球经过最低点时开始计时,并计数为0,此后小球每经过最低点一次,依次计数1、2、3、…,当数到20时,停止计时,测得时间为t; E.多次改变悬线长度,对应每个悬线长度,都重复实验步骤C、D; F.计算出每个悬线长度对应的t2; G.以t2为纵坐标、L为横坐标,作出t2-L图线。 结合上述实验,回答下列问题: (1)用游标为10分度(测量值可精确到0.1 mm)的游标卡尺测量小球直径,某次测量示数如图乙所示,读出小球直径d为　　　　cm。  乙 丙 (2)该同学根据实验数据,利用计算机作出t2-L图线如图丙所示。根据图线拟合得到方程t2=404.0L+3.0,由此可以得出当地的重力加速度g=　　m/s2。(取π2=9.86,保留三位有效数字)  (3)从理论上分析图丙中图线没有过坐标原点的原因,下列分析正确的是　　　　(填选项字母)。  A.不应在小球经过最低点时开始计时,应该在小球运动到最高点时开始计时 B.开始计时后,不应记录小球经过最低点的次数,而应记录小球做全振动的次数 C.不应作t2-L图线,而应作t-L图线 D.不应作t2-L图线,而应作t2-图线 解析　(1)游标卡尺主尺的示数是1.5 cm=15 mm,游标尺示数是2×0.1 mm=0.2 mm,小球的直径d=15 mm+0.2 mm=15.2 mm=1.52 cm。 (2)根据单摆周期公式T=2π ,得=2π ,又l=L+,则t2=400π2=L+。故t2-L图像的斜率表示的大小,由题意知斜率k=404.0,则=404.0,代入π2=9.86,得g≈9.76 m/s2。 (3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和,把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长,故t2-L图像不过原点,在纵轴上截距不为零,D项正确。 答案　(1)1.52　(2)9.76　(3)D 随堂达标自测 　 1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是 (　　) A.摆线质量不计 B.摆线不可伸缩 C.摆球的直径比摆线长度短得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动 解析　单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不可伸缩。但把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动。故A、B、C三项正确,D项错误。 答案　ABC 2.单摆振动的回复力是 (　　) A.摆球所受的重力 B.摆球重力在垂直悬线方向上的分力 C.悬线对摆球的拉力 D.摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力 解析　单摆振动的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力,即摆球重力在垂直悬线方向上的分力,B项正确。 答案　B 3.关于单摆,下列说法正确的是 (　　) A.摆球运动的回复力是它受到的合力 B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点,加速度是不变的 C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 D.摆球经过平衡位置时,加速度为零 解析　摆球的回复力为重力沿其运动轨迹切线方向的分力,A项错误;摆球经过平衡位置即最低点时,回复力为0,但合力提供向心力,不为0,故此时加速度不为0,D项错误;回复力的方向指向平衡位置,但合力的方向并不始终指向平衡位置,故摆球在运动过程中的加速度方向也并不始终指向平衡位置,C项错误;由简谐运动特点可知B项正确。 答案　B 4.(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时,用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g=　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm,让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点,摆线竖直下垂,如图甲所示,则单摆摆长是　　　　m。若测定了40次全振动的时间为75.2 s,计算可得单摆周期是　　　　s。  甲 (2)为了提高测量精度,需多次改变l值,并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标,以T2为纵坐标的坐标系上(如图乙所示),即图中用“·”表示的点,则: 乙 ①单摆做简谐运动应满足的条件是 。  ②根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线,根据图线可求出g=　　　　m/s2(保留两位有效数字)。  解析　(1)由T=2π,可知g=。由题图甲可知:摆长l=(88.50-1.00) cm=87.50 cm=0.875 0 m。单摆周期T==1.88 s。 (2)①单摆做简谐运动应满足的条件是摆线偏离平衡位置的夹角小于5°。②T2和l的关系图线如图所示,直线斜率k=≈4.0,由g==,可得g≈9.9 m/s2。 答案　(1)　0.875 0　1.88　(2)①摆线偏离平衡位置的夹角小于5°　②见解析图　9.9 核心素养微专题 等效摆长和等效重力加速度 　　1.等效摆长问题。 等效摆长为摆球运动轨迹所在圆弧的圆心到摆球球心间的距离。如图甲、乙所示,忽略摆球直径且摆球在垂直纸面的竖直平面内做小角度的摆动,则其等效摆长分别为L甲=Lsin θ,L乙=Lsin θ+L1,周期分别为 T甲=2π ,T乙=2π 。 　 甲 乙 2.等效重力加速度问题。 等效重力加速度为单摆处于静止状态时,摆线的拉力F(相当于视重)与摆球质量的比值,即g等=。有关等效重力加速度的题比较复杂,但只要求出g等就可以求出对应的周期。 线一端固定在光滑斜面上,另一端连接摆球,摆球在光滑斜面上小角度摆动的单摆。 如图所示,在斜面上摆球静止时摆线的拉力F=mgsin α,所以g等=gsin α,在斜面上该单摆的周期为T=2π 。 【快乐体验】　如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使△AOB成直角三角形,∠BAO=30°,已知OC线长也是l,下端C点系着一个小球(半径可忽略),下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动,重力加速度为g) (　　) A.让小球在纸面内振动,周期T=2π B.让小球在垂直纸面内振动,周期T=2π C.让小球在纸面内振动,周期T=2π D.让小球在垂直纸面内振动,周期T=2π 解析　让小球在纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为l,周期T=2π;让小球在垂直纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为,周期T'=2π,A项正确,B、C、D三项错误。 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$