第2章 2.简谐运动的描述(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（人教版2019）

2.简谐运动的描述 学习目标 情境导入 1.掌握用振幅、周期和频率来描述简谐运动的方法。 2.理解振幅、周期和频率的物理意义。 3.明确相位、初相和相位差的概念。 4.知道简谐运动的表达式,明确各量表示的物理意义。 　　我们已经了解到做简谐运动的物体的位移-时间图像是一条正弦曲线,如图所示。由数学规律知正弦曲线对应的函数关系式应为x=Asin(ωt+φ)。 在简谐运动中A、ω、φ各有怎样的物理意义呢? 课前新知初探 知|识|梳|理 一、描述简谐运动的物理量 1.振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离,表示振动的幅度大小的物理量,是标量。 2.全振动(如图所示)。 类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程。 3.周期和频率。 (1)周期。 ①定义:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。 ②单位:国际单位是秒(s)。 (2)频率。 ①定义:物体完成全振动的次数与所用时间之比,数值等于单位时间内完成全振动的次数。 ②单位:赫兹(Hz)。 (3)T和f的关系:T=。 4.相位:描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。 二、简谐运动的表达式 简谐运动的一般表达式为x=Asin(ωt+φ0)。 1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移;t表示时间。 2.A表示简谐运动的振幅。 3.ω叫作简谐运动的圆频率,表示简谐运动的快慢,ω==2πf(与周期T和频率f的关系)。 4.(ωt+φ0)代表简谐运动的相位,φ0表示t=0时的相位,叫作初相位(或初相)。 5.相位差:若两个简谐运动的表达式为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),则相位差为Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2。 预|习|自|检 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在机械振动的过程中,振幅是不断变化的。 (×) (2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量。 (×) (3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处,运动到另一侧最大位移处所用的时间。 (×) (4)按x=5sin(8πt+π) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s。 (√) 2.有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时(t=0)具有正的最大位移,则它的振动方程是x=　　　　　m。  答案　0.008sin4πt+ 课堂合作探究 　 探究一　描述简谐运动的物理量 1.对周期和频率的理解。 (1)周期(T)和频率(f)都是标量,反映了振动的快慢,T=,即周期越大,频率越小,振动越慢。 (2)一个振动系统的周期、频率由振动系统决定,与振幅无关。 2.对振幅的理解。 (1)振幅和振动系统能量的关系。 对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统的能量越大。 (2)振幅与位移的区别。 ①振幅等于最大位移的数值。 ②对于一个给定的振动,振动物体的位移是时刻变化的,但振幅是不变的。 ③位移是矢量,振幅是标量。 (3)振幅与路程的关系。 ①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。 ②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。 ③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。 【例1】　如图所示,将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A首次到B的时间为0.1 s,求: (1)振子振动的振幅、周期和频率; (2)振子由A到O的时间; (3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。 解析　(1)由题图可知,振子振动的振幅为10 cm, t=0.1 s=,所以周期T=0.2 s, 由f=,得频率f=5 Hz。 (2)根据简谐运动的对称性可知,振子由A到O的时间与振子由O到B的时间相等,均为0.05 s。 (3)设弹簧振子的振幅为A,则A=10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A,故在t=5 s=25T内通过的路程s=40×25 cm=1 000 cm。 5 s内振子振动了25个周期,故5 s末振子仍处在A点,所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。 答案　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s (3)1 000 cm　10 cm 【针对训练1】　如图所示为一个质点的振动图像,下列说法正确的是 (　　) A.质点振动的振幅为10 cm B.质点振动的周期为4 s C.2 s时质点的位移为5 cm D.4 s时质点的速度方向为+x方向 解析　由振动图像可知,质点振动的振幅为5 cm,质点振动的周期为8 s,A、B两项错误;由振动图像可知,2 s时质点的位置为x=5 cm,则质点的位移为x=5 cm,C项正确;由振动图像可知,4 s时质点的速度方向为-x方向,D项错误。 答案　C 探究二　简谐运动表达式的理解 1. 2.从表达式x=Asin(ωt+φ)体会简谐运动的周期性。当Δφ=(ωt2+φ)-(ωt1+φ)=2nπ时,Δt==nT,振子位移相同,每经过周期T完成一次全振动。 3.从表达式x=Asin(ωt+φ)体会特殊点的值。当(ωt+φ)等于2nπ+时,sin(ωt+φ)=1,即x=A;当(ωt+φ)等于2nπ+时,sin(ωt+φ)=-1,即x=-A;当(ωt+φ)等于nπ时,sin(ωt+φ)=0,即x=0。 【例2】　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x=0.1sin(2.5πt),位移x的单位为m,时间t的单位为s。则 (　　) A.弹簧振子的振幅为0.2 m B.弹簧振子的周期为1.25 s C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零 D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x=0.2sin2.5πt+,则A滞后B 解析　由振动方程x=0.1sin (2.5πt),可读出振幅为0.1 m,圆频率ω=2.5π rad/s,故周期T== s=0.8 s,A、B两项错误;在t=0.2 s时,x=0.1 m,即振子的位移最大,速度最小,为零,C项正确;两振动的相位差Δφ=φ2-φ1=2.5πt+-2.5πt=,即B超前A,或者说A滞后B,D项正确。 答案　CD 【针对训练2】　(多选)有两个小球做简谐运动的方程为x1=3asin 和x2=9asin(8πbt+π),下列说法正确的是 (　　) A.它们的振幅之比为1∶3 B.它们的频率之比为1∶1 C.简谐运动1的相位比简谐运动2滞后 D.当小球1在平衡位置时,小球2一定也处于平衡位置 解析　它们的振幅之比为3a∶9a=1∶3,A项正确;根据f=可知它们的频率之比为1∶1,B项正确;由它们的方程可知,简谐运动1的相位为8πbt+,简谐运动2的相位为8πbt+π,则相位差为Δφ=8πbt+π-=,即简谐运动1的相位比简谐运动2滞后,故C项正确;当小球1在平衡位置时,则有x1=3asin=0,解得t=-,代入小球2的振动方程x2=9asin(8πbt+π),解得x2=9asin=9a,即小球2此时处于最大位移处,D项错误。 答案　ABC 探究三　简谐运动的周期性和对称性 1.时间的对称性(如图所示)。 (1)物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。 (2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO。 2.速度的对称性。 (1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。 3.位移的对称性。 (1)物体经过同一点(如C点)时,位移相同。 (2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等、方向相反。 【例3】　一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点,t=0时刻振子的位移x=-0.1 m;t= s时刻x=0.1 m;t=4 s时刻x=0.1 m。该振子的振幅和周期不可能为 (　　) A.0.1 m, s B.0.1 m, 8 s C.0.2 m, s D.0.2 m,8 s 解析　若振子的振幅为0.1 m,根据简谐运动的周期性和对称性,如题图甲所示,有 s=T,则周期的最大值为T= s,A项正确,B项错误;若振子的振幅为0.2 m,由简谐运动的周期性和对称性可知,振子由x=-0.1 m运动到x=+0.1 m时,如题图乙所示,有 s=T,所以最大周期为T= s,且t=4 s时刻x=+0.1 m,C项正确;若振子的振幅为0.2 m,振子由x=-0.1 m运动到x=+0.1 m,需时间再经nT到x=+0.1 m,如题图丙所示,则根据简谐运动的周期性有 s=T,所以最大周期为T=8 s,且t=4 s时刻,x=+0.1 m,D项正确。 答案　B 【针对训练3】　弹簧振子做简谐运动,若从平衡位置O开始计时,如图,经过0.2 s(0.2 s小于振子的四分之一振动周期)时,振子第一次经过P点,又经过了0.2 s,振子第二次经过P点,则振子的振动周期为 (　　) A.0.4 s B.0.8 s C.1.0 s D.1.2 s 解析　由题意可知,振子从O开始向右运动,设振子向右运动的最远点为Q,根据对称性可知振子从P向右运动到Q的时间为0.1 s,则振子从O向右运动到Q的时间为0.3 s,所以振子的周期为1.2 s,D项正确。 答案　D 随堂达标自测 　 1.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是 (　　) A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处 B.周期和频率的乘积是一个常数 C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小 D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关 解析　振幅A是标量,A项错误;周期与频率互为倒数,即Tf=1,B项正确;简谐运动的周期与振幅没有关系,周期的长短、频率的大小由系统本身决定,C项错误,D项正确。 答案　BD 2.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动,则 (　　) A.从B→O→C为一次全振动 B.从O→B→O→C为一次全振动 C.从C→O→B→O→C为一次全振动 D.从D→C→O→B→O为一次全振动 解析　由全振动的概念可知C→O→B→O→C为一次全振动,C项正确,A、B、D三项错误。 答案　C 3.(多选)一个弹簧振子的振幅是A,若在Δt的时间内物体运动的路程是s,则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的) (　　) A.Δt=2T,s=8A B.Δt=,s=2A C.Δt=,s=2A D.Δt=,s>A 解析　简谐运动物体在一个周期内的路程为4A,在半个周期内的路程为2A,在周期内的路程可能等于A,可能大于A也可能小于A,但不可能是2A,C项错误,A、B、D三项正确。 答案　ABD 4.(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin,则质点 (　　) A.第1 s末与第3 s末的位移相同 B.第1 s末与第3 s末的速度相同 C.3 s末至5 s末的位移方向都相同 D.3 s末至5 s末的速度方向都相同 解析　由表达式x=Asint知,ω=,简谐运动的周期T==8 s。表达式对应的振动图像如图所示。质点在第1 s末的位移x1=Asin=A,质点在第3 s末的位移x3=Asin=A,A项正确;由前面计算可知t=1 s和t=3 s质点连续通过同一位置,故两时刻质点速度大小相等,但方向相反,B项错误;由x-t图像可知,3~4 s内质点的位移为正值,4~5 s内质点的位移为负值,C项错误;同样由x-t图像可知,在3~5 s内,质点一直向负方向运动,D项正确。 答案　AD 核心素养微专题 简谐运动两种描述方法的比较 1.简谐运动图像即x-t图像是描述质点振动情况的一种手段,直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。 2.Asin(ωt+φ0)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。 3.两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题:一是根据振动方程作出振动图像;二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,写出位移的函数表达式。 【快乐体验】　一弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示,求: (1)振子简谐运动的振幅A、周期T,并写出该简谐运动的位移x随时间t变化的表达式; (2)振子做简谐运动前20 s的位移x和总路程s。 解析　(1)由题中的振动图像可得A=8 cm,T=0.4 s, 则有ω==5π rad/s, 故该振子做简谐运动的表达式为x=8cos (5πt) cm。 (2)前20 s刚好经过了50个周期, 所以前20 s振子的位移x=0, 前20 s振子的总路程为s=200A=1600 cm=16 m。 答案　(1)8 cm　0.4 s　x=8cos (5πt) cm　(2)0　16 m 学科网（北京）股份有限公司 $$