精品解析：2025年河南省郑州市金水区实验中学九年级四模数学试题

九年级下学期学情调研4 （时间：100分钟，满分：120分） 一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. 0 C. D. 2. 如图，一个角的三角板的直角顶点在直线 上，其斜边与直线 平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 9. 把边长为5的正方形 绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点 ，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 10. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直 边的方向射出，已知，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 二.填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式________． 12. 不等式组的解是___________． 13. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为______． 14. 如图1，在 中，点D为 的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 15. 如图，在矩形 中，，，E是线段 上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形 的对角线上时，则的长为___________． 三.解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 17. 省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 1.01 根据上述信息回答下列问题： （1）表格中的____________；____________． （2）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 18. 已知有按顺序排列的若干个数：，，，…，，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，例如：若，，……，根据上述信息完成下列问题． （1）若时，则__________，__________，__________，__________； （2）若（），求证：． 19. 如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：； （3）如图所示，阴影部分面积和：____________． 20. 某经销商计划购进， 两种农产品．已知购进种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件， 种农产品4件，共需720元． （1）， 两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进， 两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元， 种每件200元的价格全部售出，那么购进， 两种农产品各多少件时获利最多？ 21. 如图，在 中，，O为线段上一点，以O为圆心、 为半径的圆与 相切于点B． （1）求的度数； （2）请用圆规和无刻度的直尺作的角平分线，交于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）连接 ，判断是否是等边三角形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 22. 已知二次函数． （1）用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： （2）当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段 与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片 和叠放在一起，其中，，，顶点D与边 的中点重合，经过点C，交 于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵ ，D是 的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是 的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使 交 于点H，交 于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期学情调研4 （时间：100分钟，满分：120分） 一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：的相反数是2024， 故选：A． 2. 如图，一个角的三角板的直角顶点在直线 上，其斜边与直线 平行，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键． 先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得，再由 以及平角的意义可求的度数． 【详解】解： 由题意得， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案． 【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 4. 《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学记数法表示这个数（ ） A. 米 B. 米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：依题意， 故选：D 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式、完全平方公式．根据算术平方根的意义、绝对值、单项式乘多项式和完全平方公式逐一计算． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 省实验校史馆中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为12，13，14，14，15，则3年后这五位讲解员的年龄数据中一定会改变的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，方差，极差，标准差的定义，根据众数，方差，极差，标准差的定义判断即可．众数是一组数据中出现次数最多的数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据的波动程度不变，方差就不变．极差是一组数据中的最大数据与最小数据的差，标准差是方差的算术平方根．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的两组数据，标准差未必相同． 【详解】解：省实验校史馆中五位讲解员的年龄分别为12，13，14，14，15， 3年后五位讲解员的年龄分别为：15，16，17，17，18． ∴会改变的是众数， 故选：B． 9. 把边长为5的正方形 绕点 顺时针旋转得到正方形，边 与交于点 ，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键，由题意利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，从而可求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵旋转角，， ∴ 在对角线上， ∵， 在中，， ∴， 在等腰中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴四边形的周长是：． 故选：A． 10. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直 边的方向射出，已知，，，则 长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及其实际应用，掌握直角三角形的边角间关系、计算折射率的公式及“同角的余角相等”等知识点是解决本题的关键．先利用互余关系得，再利用直角三角形的边角间关系表示出的正弦值，最后利用折射率公式列式计算即可． 【详解】解：∵折射光线沿垂直 边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 二.填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设函数的解析式为， 把点（1，﹣1）代入得k=﹣1， 故函数的表达式． 故答案为： 12. 不等式组的解是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解不等式组： 解：由①得，； 由②得， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键． 13. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图求解即可． 【详解】解：如图， 一共有6种等可能选法，甲与乙恰好被选中的有2种， ∴甲被选中的概率为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即． 14. 如图1，在中，点D为 的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点 出发，线段的长度为，运动时间为 的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点 为 边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 15. 如图，在矩形 中，，，E是线段 上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形 的对角线上时，则的长为___________． 【答案】或6 【解析】 【分析】先证明，得出，，然后分F在 和 上讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：过F作于H， ∵在矩形 中，，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设，则， 当F在 上时，如图， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当F在 上时，如图， 同理， ∴，即， 解得， ∴F与C重合， ∴， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 三.解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂、余弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先去分母，化为整式方程，解出，注意验根，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是 17. 省实验中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校刊编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取50名的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 4 3.3 1.01 根据上述信息回答下列问题： （1）表格中的____________；____________． （2）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 【答案】（1）；3 （2）从平均数来看，八年级学生的平均数高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，说明八年级波动较小，则八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，方差，掌握相关概念的意义，并能从统计图表中获取相关信息是解题分关键． （1）分别根据中位数，平均数的意义算出即可； （2）根据所得数据选择两个统计量进行比较，做出评价即可． 【小问1详解】 由表格可知，八年级投稿篇数数据由小到大排列的第25、26个数据分别为3，4， 七年级投稿平均数： 故答案为：；3 【小问2详解】 略 18. 已知有按顺序排列的若干个数：，，，…，，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，例如：若，，……，根据上述信息完成下列问题． （1）若时，则__________，__________，__________，__________； （2）若（），求证：． 【答案】（1），， ， （2） 若（）则， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，分式的混合运算； （1）根据规律写出前几数，得出三个数字一循环，即可求解； （2）根据分式的性质化简，分别求得，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ∵ ∴，，， 三个数字一循环， ∴； 【小问2详解】 略 19. 如图，已知反比例函数（）与正方形交于点M，，连接，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E． （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：； （3）如图所示，阴影部分面积和：____________． 【答案】（1）； （2） 证明：∵，四边形是正方形， ∴， ∴点 的横坐标为， 把，代入中得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （ ）求出的长度即可求证； （ ）连接，利用三角函数可得，再分别求出的值即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数比例系数 的几何意义，三角函数，扇形的面积，坐标与图形，勾股定理，掌握反比例函数的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）与正方形交于点 ，， ∴将代入（）中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 20. 某经销商计划购进 ， 两种农产品．已知购进 种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元． （1） ， 两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进 ， 两种农产品共40件，且 种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照 种每件160元， 种每件200元的价格全部售出，那么购进 ， 两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）A每件进价120元，B每件进价150元； （2）A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进 种农产品2件， 种农产品3件，共需690元；购进 种农产品1件， 种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； 【小问2详解】 设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 21. 如图，在 中，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与 相切于点B． （1）求的度数； （2）请用圆规和无刻度的直尺作的角平分线，交于点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）连接 ，判断是否是等边三角形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 如图， （3） 是等边三角形， ∵， ∴， 又∵ 平分，且，， ∴ ， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、尺规作角平分线以及等边三角形的判定； （1）连接，根据切线的性质和已知得到，根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据作角平分线的方法作图即可； （3）由圆周角定理可得，再结合角平分线可得，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵线段 与相切于点B， ∴，且， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 已知二次函数． （1）用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： （2）当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； （3）已知点，，线段 与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得 的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴在对称轴直线的左侧，随 的增大而减小， ∵， ∴时，取最小为， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵点，，线段 与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：． ∴． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片 和叠放在一起，其中，，，顶点D与边 的中点重合，经过点C，交 于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵ ，D是 的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是 的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交 于点H，交 于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】（1）等边对等角， （2） ①证明：∵， ， ∴， 又， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解； （2）①利用证明即可； ②证明可得出，证明可得出，则点 为的中点，利用勾股定理求出 ，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可； （3）分， 两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：等边对等角，； 【小问2详解】 ①略 ②如图， ∵， ∴， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点 为的中点． 在中，． ∵ 是 中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $