精品解析：重庆育才中学教育集团2025年九年级第一次自主作业数学试题(模拟三)

重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟三） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点 为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有 个小圆点，第③个图形中一共有 个小圆点， ，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角三角形 中，，分别以 为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 9. 如图，在正方形 中，，点F是 边上一点，点E是延长线上一点， ，．连接、、，与对角线 相交于点G，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个实数 ， ，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从 、 、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从 、 、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ） ①若 ， ，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数 ， ，若 为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则 至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 13. 如图，四边形 是矩形，连接 ，点 、 分别为、 边的中点，连接，，交 的延长线于点 ，点 为 的中点，连接，若，则___________． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于 的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数 的和为_______． 15. 如图， 为 的直径，弦 于点 ，点 在圆上，且， ， 交 于点，则 ______，______． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 云飞神州彩凤舞，霞舞中华巨龙飞．在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分 分）进行整理、分析（得分用表示，共分为四组， ：， ：， ： ， ：），下面给出部分信息： 初一名学生的成绩：，，，， ，，，，， 初二名学生在 组中的成绩： ，， 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一 初二 根据以上信息，回答以下问题： （1）______，______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知初一年级共有 名学生，初二年级共有 名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在 分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 19. 在中， ，于点 ，点 为直线上一点，连接 ， ．用直尺和圆规，在的上方作，使得，射线交直线于点 ，此时点 是点 关于直线的对称点，连接 ． 小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空： 证明： ，， _____①______． 又，， ， ______②_____． ， ______③______． 四边形是平行四边形 又， 四边形是菱形． 小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形____④___． 20. “阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学 周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某工厂计划生产文创产品“烟雨伞”把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲车间生产烟雨伞的数量的 倍少 把． （1）求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？ 21. 在直角三角形 中，，， ，点 为上一动点，过点 作交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，设点的长度为， 和的长度之和为， 与 的长度之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 22. “十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上） （1）求巴渝风情步行街的长度（结果保留根号）； （2）结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（， ，，，）． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线交于A、C两点，其中点C为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线 上方抛物线上一动点，点M为直线上一动点，轴于点N，连接 、 、 ，当 的面积取得最大时，求的最小值； （3）如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交x轴于点O，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 24. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接 并延长交于点 ，连接并延长交 于点 ，若 ，求 的度数； （2）如图2，点， 在外部，满足 ，连接 ，其中 为中点，连接 ；若 ，求证： ； （3）如图3，点在外部， ，将沿着 翻折，得到 ，连接 ， 为线段 上一点，且，连接 ；若 ，当线段 的长取最小值时，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团2025届初三（下）第一次自主作业 数学试题（模拟三） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值的性质是正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 分别计算各选项绝对值比较即可． 【详解】分别计算各选项绝对值，，，，， 比较大小：，所以绝对值最小的是0， 故答案选：C． 2. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于即可判断该点在函数图象上，据此求解即可，掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：． 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．分析已知和所求，根据，可得，由与是以点O为位似中心的位似图形，即可得它们的位似比为；根据位似图形的性质可得与的比应等于位似比的平方，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 故选：D 5. 下列四个命题中，假命题是（ ） A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意； D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：C 6. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果． 【详解】解： ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有个小圆点，第②个图形中一共有 个小圆点，第③个图形中一共有 个小圆点， ，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形可得第 个图形有个圆点，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图形中一共有个小圆点， 第②个图形中一共有个小圆点， 第③个图形中一共有个小圆点， 第④个图形中一共有个小圆点， ， ∴第 个图形一共有个小圆点， ∴当时，第⑩个图形中小圆点的个数是， 故选：． 8. 如图，直角三角形中，，分别以 为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理．先求出 ， ，，再根据进行计算即可． 【详解】解：直角三角形中，，， ∴ ， ，， ∴， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，在正方形 中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点， ，．连接、、，与对角线 相交于点G，则线段 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作交 于H，利用证明可得， ，证得是等腰直角三角形可得，由，可得，运用勾股定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，进而证得，再运用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点F作交 于H， ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴，, '∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， '∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 故选:A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 10. 已知两个实数 ， ，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作．再从 、 、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从 、 、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去．以下结论正确的个数为（ ） ①若 ， ，为方程的两根，则； ②若，则； ③对于整数 ， ，若 为奇数，在操作过程中，得到的一定为奇数； ④若，，要使得成立，则 至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出即可判断①；设，则，从而可得，解方程即可判断②；不防设 为奇数， 为偶数，则为奇数，每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，即可判断③；根据题意计算出即可判断④． 【详解】解：∵ ， ，为方程的两根， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得： 或， ∴或，故②错误； ∵对于整数 ， ，若 为奇数， ∴不防设 为奇数， 为偶数， ∴为奇数， 每次进行计算，若选择两个奇数，则计算过程为偶数偶数，结果为奇数；若选择一个奇数，一个偶数，则计算过程为奇数偶数，结果为奇数，故在操作过程中，得到的一定为奇数，故③正确； ∵，， ∴， 选 和，则， 选和，则， 选和，则， 此时， 故要使得成立，则 至少为4，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂计算即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”3张卡片分别记为、 、 ，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为， 故答案为：． 13. 如图，四边形 是矩形，连接 ，点 、 分别为、 边的中点，连接，，交 的延长线于点 ，点 为 的中点，连接，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据中位线的性质可得，根据矩形对角线相等可得，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得的长，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点 、 分别为、 边的中点， ∴是 的中位线， ∴ ∵四边形 是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ 在 中， ∵点 为 的中点， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 若关于的不等式组有解且最多有两个偶数解，且关于 的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数 的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法．先解不等式组并结合题意确定 的范围，再解出分式方程确定 的范围，进而确定 的所有取值，最后求满足条件的所有整数 的和即可． 【详解】解： 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式有解，且最多有两个偶数解， ∴ 解得：． 解分式方程 解得：． ∵分式方程的解为正整数，且 ∴ ∴ ∴满足条件的所有整数 的和为， 故答案为：． 15. 如图，为 的直径，弦 于点 ，点 在圆上，且， ， 交于点，则 ______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接 ，延长交 于点，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，证明，得到，证明，得到，计算即可． 【详解】解：如图，连接 ，，并延长交 与点， 为 的直径， ， ， 设， , ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：① ，②． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 【答案】 ①. 209 ②. 5624 【解析】 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，得，根据二次函数的性质可得或 时，“合十数”最小；设m与n的十位数字为y，则，，，根据已知推出是整数，要使“合十数”A最大，则 优先取最大数，优先代入 的最大值，若满足是整数，再得出的值，代入m与n，再由即可得A的最大值． 【详解】解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴， ∵， ∴当或 时，“合十数”最小为； 设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴，， ∴， ∵能被3整除， ∴是整数， 要使“合十数”A最大，则 优先取最大数， 当时，不能为整数， 当 时，不能为整数， 当时，， 或 时，可以为整数， ∴当， 时，满足条件的“合十数”A最大， 此时，，，； 故答案为：209；5624． 三、解答题：（本大题共8小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是根据计算法则和公式法来解答． （1）先提取公因式，然后利用单项式乘以多项式计算方法进行计算即可； （2）先用通分的方法算出小括号里的结果，再把除法转化为乘法，进行约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 云飞神州彩凤舞，霞舞中华巨龙飞．在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分 分）进行整理、分析（得分用表示，共分为四组，：， ：， ： ， ：），下面给出部分信息： 初一名学生的成绩：，，，， ，，，，， 初二名学生在 组中的成绩： ，， 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 初一 初二 根据以上信息，回答以下问题： （1）______，______， ______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知初一年级共有 名学生，初二年级共有 名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在 分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 【答案】（1） ，，． （2） 解：初二年级的国学知识竞赛成绩较好，因为初二年级的国学知识竞赛成绩中位数大于初一年级的国学知识竞赛成绩中位数． （3）估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人． 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和题中的数据即可计算出 、 、 的值； （2）结合两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表进行分析，言之有理即可； （3）结合题意得到初一的优秀率是，初二的优秀率是，则初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有． 【小问1详解】 解：依题得： 组竞赛成绩占比为， 初二抽取的学生成绩扇形统计图中 组竞赛成绩占比为， ； 根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的中位数为， ； 根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的众数为， ． 故答案为： ；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题得：初一年级的优秀率为，初二年级的优秀率为， （人）． 估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人． 【点睛】本题考查的知识点是求扇形统计图的某项数目、求中位数、求众数、借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是能正确利用样本所占百分比估计总体的数量． 19. 在中， ，于点 ，点 为直线上一点，连接 ， ．用直尺和圆规，在的上方作，使得，射线交直线于点 ，此时点 是点 关于直线的对称点，连接 ． 小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空： 证明： ，， _____①______． 又，， ， ______②_____． ， ______③______． 四边形是平行四边形 又， 四边形是菱形． 小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形____④___． 【答案】① ，② ，③，④是菱形， 【解析】 【分析】先根据三线合一定理推得 ，证明后根据全等三角形的性质，再结合平行线的判定可证明四边形是平行四边形，又根据即可证明平行四边形是菱形，最后根据证得的结论将命题补充完成即可． 【详解】解：根据题意可得： ，， ， 则根据等腰三角形的三线合一定理可得， 为中线， 即 ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又，即， 四边形为菱形． 根据题意可得，命题可补充为：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形是菱形． 综上：① ；②；③；④是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一定理、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定及菱形的判定，解题关键是利用证明四边形是平行四边形． 20. “阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学 周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某工厂计划生产文创产品“烟雨伞”把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲车间生产烟雨伞的数量的 倍少 把． （1）求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？ 【答案】（1）甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞 （2）甲车间每天生产把烟雨伞． 【解析】 【分析】（）设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （ ）设甲车间每天生产 把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞，根据题意，列出分式方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产 把烟雨伞， 由题意可得，， 解得， 答：甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞； 【小问2详解】 解：设甲车间每天生产 把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞， 由题意可得，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：甲车间每天生产把烟雨伞． 21. 在直角三角形中，，， ，点 为上一动点，过点 作交于点 ，再过点 作 交 于点 ，设点的长度为， 和的长度之和为， 与 的长度之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） ，；，； （2） 描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得 ，；证 可得 ，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【小问1详解】 解：∵ ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即： ， ∴， ∴ ，； ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知：当 时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当 时， 22. “十·一”国庆假期．李老师一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，李老师一家从轻轨站出口E处沿北偏东方向行走200米到达景点D处．再从D处沿正东方向行走400米到达景点C处．然后从C处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边B处．从B处沿正西方向到G处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点A在B处南偏西方向上．（A、G都位于E的正南方向上） （1）求巴渝风情步行街 的长度（结果保留根号）； （2）结束游玩之后李老师需要赶到重庆西站乘坐高铁．李老师从B处出发，现可沿①路线回到E处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1个小时；也可沿②路线到达出租车乘车点A处打车到达西站，出租车到达西站需20分钟，但会堵车半个小时．已知李老师步行速度是20米/分钟，请问李老师选择哪条路线能更快到达重庆西站（， ，，，）． 【答案】（1） 的长度为米 （2）选择2号路线更快 【解析】 【分析】（1）过C作于H，延长相交于F，再 中可求得 的长，再 中可求得的长，即可求出答案； （2）分别计算出两条路线的长度，可求得时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过C作于H，延长相交于F， 则，，矩形， 由题意得： ，，， ∵ 中，，， ∴， ， ∵ 中， ， ∴， ∴米， 答： 的长度为米 ． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ∵中，， ∴， ， 2号路线所用时间分钟， 1号路线所用时间分钟， 因为， ∴选择2号路线更快． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线交于A、C两点，其中点C为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线 上方抛物线上一动点，点M为直线上一动点，轴于点N，连接 、 、 ，当 的面积取得最大时，求的最小值； （3）如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交x轴于点O，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，将A，C两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点C作轴于K，连接 ，设，根据，构建二次函数的最值确定点P的坐标，设直线交x轴于G，则，连接，再根据两点之间线段最短的性质即可求解； （3）先求出点B的坐标，得出的长，利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线为，设点 的坐标为，连接，分两种情况：①点Q在的上方；②点Q在的下方，分别利用相似三角形的性质列出方程解出 的值，即可解答． 【小问1详解】 解：当 时， ， ， 代入和到 ，得， 解得：， 抛物线的表达式为 ． 【小问2详解】 解：如图1，过点C作轴于K，连接 ， 由（1）得，，， ， ，， 设， ， ， 当时， 的面积取得最大值8，此时点的坐标为， 如图2，设直线交x轴于G，则，连接， 轴，轴， ， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 当点 与点重合时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：令，解得， ， ， 抛物线 ， 将抛物线沿着水平方向平移， 设平移后的抛物线为， 代入和得，， 解得：， 平移后的抛物线为， 设点 的坐标为，连接， 分两种情况： ①当点Q在的上方时，如图3，过点E作轴于L，过点B作于H，过点Q作于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，即， 解得：， （舍去）， 点 的坐标为； ②当点Q在AE的下方时，如图4，过点Q作于， 由①得，，， ，， ， ，即， 解得：， （舍去）， 点 的坐标为； 综上所述，点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 24. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接并延长交于点 ，连接并延长交 于点 ，若 ，求 的度数； （2）如图2，点， 在外部，满足 ，连接 ，其中 为中点，连接 ；若 ，求证： ； （3）如图3，点在外部， ，将沿着 翻折，得到 ，连接 ， 为线段上一点，且，连接 ；若 ，当线段 的长取最小值时，直接写出 的面积． 【答案】（1） （2） 证明：延长至 ，使 ，连接 ，如图2， ∵ 为中点， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明 ，由全等三角形的性质可得 ，然后由求解即可； （2）延长至 ，使 ，连接 ，首先证明 ，得 ，再证明 ，可得 ，进而证明 为等边三角形，然后证明 ，由勾股定理即可获得答案； （3）取 的垂直平分线交点，连接 ，首先证明为等腰直角三角形，进而可得为定值，且为定长，由两点之间线段最短知，即 ，当 在一条直线时 有最小值，设交 于 ，由折叠知 ，即可证明，进一步证明 垂直平分 ，求得 ，的值，解得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取 的垂直平分线交点，连接，如图3， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 又∵为定点， 为定点， ∴为定长， 由两点之间线段最短知， 即 ，当 在一条直线时 有最小值， 设交 于 ，由折叠知 ， 又∵， ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合性强，难得较大，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $