8.1 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.1 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 【学习目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.(数学抽象) 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象) 3.了解简单组合体的概念及结构特征.(直观想象) 【自主预习】 1.圆柱的轴截面有 个,它们 (填“全等”或“相似”),圆柱的母线有 条,它们与圆柱的高 .  2.圆锥的轴截面有多少个?母线有多少条?圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗? 3.圆台的轴截面有多少个?母线有多少条?圆台上底面任一点和下底面圆周上任意一点的连线都是母线吗? 4.球能否由圆面旋转而成? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直角三角形绕一直角边所在的直线旋转一周得到的旋转体是圆锥. ( ) (2)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. ( ) (3)夹在一圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱. ( ) (4)半圆面绕其直径所在的直线旋转一周得到的旋转体是球. ( ) 2.下列说法错误的是( ). A.用一个平面去截一个圆台,得到的截面的形状可能是梯形 B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周,所形成的几何体都是圆锥 D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线 3.(多选题)下列说法正确的是( ). A.球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段 B.连接球面上任意两点的线段是球的直径 C.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面 D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球 4.观察下列四个几何体,其中可看作由两个棱柱组合而成的是 .(填序号)  【合作探究】 　圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征 小明说,他利用右图旋转一周就能得到圆锥、圆柱、圆台. 问题1:小明说的正确吗? 问题2:圆柱是由几个平面围成的吗?若不是,它又是怎么构成的呢? 问题3:圆锥是以直角三角形的任意一条边所在直线为轴旋转而成的吗? 问题4:用一个平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗? 1.圆柱的结构特征 定义 以 所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱  图示及相关概念 轴: 叫作圆柱的轴.  底面: 的边旋转而成的圆面.  侧面: 的边旋转而成的曲面.  圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, .  柱体: 2.圆锥的结构特征 定义 以 所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥  图示及相关概念 轴: 叫作圆锥的轴.  底面: 的边旋转而成的圆面.  侧面: 旋转而成的曲面.  母线:无论旋转到什么位置, .  锥体: 3.圆台的结构特征 定义 用 的平面去截圆锥, 之间的部分叫作圆台  图示及相关概念 轴:圆锥的 .  底面:圆锥的底面和 .  侧面:圆锥的侧面在 之间的部分.  母线:圆锥的母线在 之间的部分.  台体: 4.球的结构特征 定义 半圆以 所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫作球面,球面所围成的旋转体叫作球体,简称球  图示及相关概念 球心:半圆的 叫作球的球心.  半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径. 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径 判断下列结论是否正确. (1)圆柱的母线都平行于轴; (2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台; (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形; (4)到定点的距离等于定长(>0)的点的集合是球. 【方法总结】简单旋转体的结构特征问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类问题的关键. (2)解题时要注意明确两点:①明确是由哪个平面图形旋转而成的;②明确旋转轴是哪条直线. 下列结论正确的是( ). ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; ④球面上任意三点可能在一条直线上; ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段. A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤ 　组合体的结构特征 如图,这是蒙古族牧民居住的一种房子,又称蒙古包. 问题1:你能说出上图是由哪些几何体构成的吗? 问题2:我们知道球与圆柱、圆锥、圆台都不一样,它没有一个面是平面,它是由什么几何图形绕着什么轴旋转而成的呢? 1.简单组合体的定义: .  2.简单组合体的两种基本形式:(1)由简单几何体拼接而成;(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成. (1)请描述下图所示的几何体是如何形成的. (2)如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周时,其他各边旋转形成的面围成一个几何体,试描述该几何体的结构特征. 【方法总结】(1)解决简单组合体的结构特征相关问题,首先要熟练掌握各类几何体的特征,其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是旋转轴的确定,看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得的,同一个平面图形绕不同的轴旋转,所得的旋转体一般是不同的. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ). A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 　几何体中的计算问题 问题1:圆柱、圆锥、圆台中平行于底面的截面是什么图形? 问题2:圆柱、圆锥、圆台中过轴的截面分别是什么图形? 问题3:经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形? 1.简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 2.当用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体时,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构建相关几何变量的方程(组),求解方程(组)即可. 如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长. 【方法总结】与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面. (2)在轴截面中借助直角三角形的三边关系或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长之间的等量关系,求解即可. 一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求: (1)圆台的高; (2)将圆台还原为圆锥后,圆锥的母线长. 【随堂检测】 1.下列几何体中不是旋转体的是( ). A　　　B　　　　C　　　　D 2.铜钱又称方孔钱,是古代钱币中最常见的一种.如图1,这是清朝的一枚“嘉庆通宝”钱币,它的示意图如图2,若将其绕旋转轴(虚线)旋转半周,则形成的几何体( ). 图1　　　　　　　　　图2 A.是一个球 B.是由一个球挖去一个圆柱而成的 C.是一个圆柱 D.是由一个球挖去一个正方体而成的 3.下列说法正确的是( ). A.图中有圆柱、圆锥、圆台和球 B.图中有圆柱、球和圆锥 C.图中有球、圆柱和圆台 D.图中有棱柱、棱锥、圆锥和球 4.在社会主义新农村建设中,某村统一进行旧村改造,其每户的住宅房的效果图如图所示,其主要的结构特征是 .  参考答案 课时2　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 自主预习·悟新知 预学忆思 1.无穷多　全等　无穷多　相等 2.圆锥的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线. 3.圆台的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;不一定是母线. 4.能.圆面以直径所在的直线为旋转轴,旋转半周形成的旋转体为球. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.C　【解析】当平面与圆台的轴平行时,得到的截面的形状是梯形,故A选项正确;由圆台的定义可知,B选项正确;直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体,不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,故C选项错误;在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于圆柱的轴时才是母线,故D选项正确. 3.AC　【解析】A正确;B错误,只有连接两点的线段经过球心时才为直径;C正确;球面和球是两个不同的概念,以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面,球面围成的几何体叫作球,故D错误. 4.①④　【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:不正确,他得到的是一个组合体,这个组合体是由圆锥、圆柱、圆台组成的. 问题2:不是.圆柱的面不都是平面,如侧面就是曲面.它是以矩形的一条边所在直线为旋转轴,其余三条边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 问题3:不是,它是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 问题4:不一定,只有当平面与圆锥的底面平行时,才能截得一个圆锥和一个圆台. 新知生成 1.矩形的一边　旋转轴　垂直于轴　平行于轴　平行于轴的边 圆柱和棱柱统称为柱体 2.直角三角形的一条直角边　旋转轴　垂直于轴　直角三角形的斜边　不垂直于轴的边　棱锥和圆锥统称为锥体 3.平行于圆锥底面　底面与截面　轴　截面　底面与截面　底面与截面　棱台和圆台统称为台体 4.它的直径　圆心 新知运用 例1　【解析】(1)正确,由圆柱母线的定义知,圆柱的母线都平行于轴. (2)错误,直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示. (3)正确. (4)错误,应为球面. 巩固训练　C　【解析】当球面上两点与球心在一条直线上时,无法作出过这三个点的圆,故①错误;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C. 探究2　情境设置 问题1:能,它是由圆柱、圆台、圆锥构成的. 问题2:球是由半圆面绕直径所在的直线旋转一周形成的几何体. 新知生成 1.由简单几何体组合而成的几何体 新知运用 例2　【解析】(1)①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体;②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体;③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体. (2)如图所示,旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后得到的组合体. 巩固训练　D　【解析】图1是一个等腰梯形,CD为较长的底边,以CD边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体为一个组合体,如图2,它是由一个圆柱、两个圆锥组成的. 探究3　情境设置 问题1:圆面. 问题2:分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形. 问题3:因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体,所以任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形. 新知运用 例3　【解析】设 圆台的母线长为l cm.由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面,如图所示, 则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm, 所以=, 即==,解得l=9,即圆台的母线长为9 cm. 巩固训练　【解析】 (1)设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,过点A作AM⊥BC,垂足为M,如图所示. 由已知可得O1A=2 cm,OB=5 cm,AB=12 cm, 所以圆台的高AM==3(cm). (2)如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S. 设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm, 则由△SAO1∽△SBO,可得=,即=,解得l=20, 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】很明显D不可能是旋转体. 2.B　【解析】圆及其内部绕旋转轴旋转半周后所得几何体为球,而矩形及其内部绕旋转轴旋转半周后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转半周形成的几何体是由一个球挖去一个圆柱而成的. 3.B　【解析】根据题中图形可知,①是球,②是圆柱,③是圆锥, ④不是圆台. 4.由一个三棱柱和一个长方体拼接而成的组合体　【解析】将 该住宅房抽象成如图所示的组合体,则该住宅房的上部分是一个三棱柱,下部分是一个长方体. 学科网（北京）股份有限公司 $$