专题06 四边形中的模型【重难点培优：知识梳理+九大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题06 四边形中的模型知识梳理 1、中点四边形模型：已知：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四边形的中点。 结论：① 四边形EFGH是平行四边形； ② C四边形EFGH = AC+BD； ③ S四边形EFGH = S四边形ABCD. 特殊四边形的中点四边形： 矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形。 2、十字架模型： 1）过顶点型（正方形）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，且AE⊥BF。 结论：① △ABF≌△DAE； ② BF=AE. ① 垂直一定相等 ② 相等不一定垂直 2）不过顶点型（正方形） 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB，CD，BC，AD上，且EF⊥GH。 结论：① EF=GH. 3）过顶点型（矩形）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，且CE⊥BD。 结论：① △DCE∽△ADB; ② = . 4）不过顶点型（矩形） 已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H在边AD，BC，AB，DC上，且EF⊥GH。 结论： = . 3、对角互补模型： 1）含90°的对角互补模型 已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC。 结论：① AD=CD; ② AB+BC=；③ S四边形ABCD=. 对角互补、邻边相等、角平分线这三个条件中已知任意两个条件，即可推出第三个。 2）含120°的对角互补模型 已知：如图，∠ABC=120°，∠ADC=60°，BD平分∠ABC。 结论：① AD=CD; ② AB+BC=；③ S四边形ABCD=. 3）模型扩展 结论1：如图1，已知∠ABC=60°，∠ADC=120°，BD平分∠ABC，则BC+AB=BD. 结论2：如图2，已知∠ABC=α，∠ADC=180°－α，BD平分∠ABC，则BC+AB=BD·cos. 4、含60°角的菱形模型：已知：如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O，∠ABC=60°。 结论：① ∠ABD=∠CBD=30°; ② △ABC和△ACD均为等边三角形； ③ AB：AC：BD=1：1：； ④ S菱形ABCD=̇·BD=. 模型扩展已知：如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，EF与AC交于点G。 结论：① △AEF是等边三角形; ② △ABE≌△ACF，△ACE≌△ADF. 5、梯子模型：已知：如图，线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ、CQ、OC。 结论：当O、Q、C三点共线时，OC取最大值，最大值为OQ+CQ的长. 6、半角模型：A B C D E F 已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。 结论：① ∠GAF=90°；② △AGE≌△AFE；③ EF=BE+DF. 7、含60°角的矩形模型：已知：如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD交于点O，∠AOB=60°。 结论：① ∠ABO=2∠CBO=90°； ② △AOB和△COD均为等边三角形； ③ AB：BC=1：； ④ S矩形ABCD=AB·BC=. A B C D O 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，交直线AD于点E、F，设AB=a，AD=b。 结论：EF=|2a－b|. 8、双角平分线模型： 重难点题型分类 【题型1：中点四边形模型】 【题型2：十字架模型】 【题型3：对角互补模型】 【题型4：含60°角的菱形模型】 【题型5：梯子模型】 【题型6：半角模型】 【题型7：含60°角的矩形模型】 【题型8：双角平分线模型】 【题型9：压轴真题】 中点四边形模型题型1 1．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．如图，点，，，分别是的边，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 4．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 十字架模型题型2 1．如图，正方形内有两条相交线段，，，，，分别在边，，，上．小明认为：若，则；小亮认为：若，则．你认为　　 A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 2．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图正方形的对角线相交于点，平分交于点，于点，交于点，连接、，下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 其中正确的结论有 　　（填序号）． 4．如图，，分别是正方形的边、上的点．且，、相交于点，下列结论：①，②，③，④中，错误的有 　　 ．（只填序号） 5．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 6．（1）如图①，已知正方形的对角线、相交于点，是上一点，过点作，垂足为，求证：； （2）如图②，若点在的延长线上，，交的延长线于．的延长线交的延长线于，其他条件不变，则结论“”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 7．如图1，为正方形的边上一动点与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度． 对角互补模型题型3 1．如图，点在第一象限的角平分线上，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上． （1）求点的坐标． （2）当绕点旋转时， ①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出的最小值． 2．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 3．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 　　； （2）如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、、三者关系为：　　 ； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明： ①平分； ②； （4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，，则、、三者关系为：　　 ． 含60°角的菱形模型题型4 1．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是(    )    A． B． C． D． 4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG． (1)根据题意补全图形，并证明AG＝EG； (2)用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明． 梯子模型题型5 1．如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则 ； （2）点D，E之间距离的最大值是 ． 2．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 3．如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是 ． 4．如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 半角模型题型6 1．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 2．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．    （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论） 3．如图．在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接． （1）求证； （2）求的值； （3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明． 4．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 5．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 含60°角的矩形模型题型7 1．如图，矩形的对角线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的两条对角线相交于点，若，，则矩形面积= ． 3．如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 4．如图，矩形的对角线、交于点，，，于点，求的长． 双角平分线模型题型8 1．在中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 3．已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 4．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 压轴真题题型9 1．（山东省聊城市高唐县2023下·八年级期中试题）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（山东省德州市宁津县2023下·八年级期中教学质量检测试题）如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（        ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（山东省滨州市博兴县2023下·八年级期中数学试题）如图，在矩形中，，，点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 4．（山东省济宁市汶上县2023下·八年级期中考试试题）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 (  　 )    A．2 B． C． D．－1 5．（山东省临沂市沂南县2023下·八年级期中试题）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，的周长为6，则正方形的边长为 . 6．（山东省泰安市东平县2023下·八年级期中数学试题）如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别是的中点，连接，则四边形的形状是 ．    7．（山东省菏泽市牡丹区2023下·八年级期中数学试题）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 8．（山东省青岛李沧区2023下·八年级期中试题）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，E，F，G，H分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为 ．    9．（山东省泰安市肥城市2023下·八年级期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝ ． 10．（山东省济宁市嘉祥县2023下·八年级期中试题）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为 ． 11．（山东省菏泽市郓城县2023下·八年级期中数学试题）如图，在四边形中，于，则的长为 12．（2022-2023学年山东省济南市八年级下学期期中考试试题）已知：，求证：． 13．（山东省枣庄市滕州市2023下·八年级期中试题）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 14．（山东省济宁市曲阜市2023下·八年级期中数学试题）已知：如图，四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形． （1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论； （2）请你探究不同四边形的中点四边形的形状： ①当四边形ABCD变为平行四边形时，它的中点四边形是______； ②当四边形ABCD变为矩形时，它的中点四边形是______； ③当四边形ABCD变为菱形时，它的中点四边形是______； ④当四边形ABCD变为正方形时，它的中点四边形是______； （3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么性质决定的？ 15．（山东省菏泽市两校联考2023下·八年级期中试题）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接，相交于点．    (1)猜想与之间的关系，并证明； (2)若，，求的长； (3)若点为中点，求证：、互相平分． 16．（山东省日照港中学2023下·八年级期中考试试题）如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：． 17．（山东省东营市河门区2023下·八年级期中考试试题）如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 18．（山东省聊城市冠县2023下·八年级期中试题）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到，若，求的长．       1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形中的模型 重难点题型分类 【题型1：中点四边形模型】 【题型2：十字架模型】 【题型3：对角互补模型】 【题型4：含60°角的菱形模型】 【题型5：梯子模型】 【题型6：半角模型】 【题型7：含60°角的矩形模型】 【题型8：双角平分线模型】 【题型9：压轴真题】 中点四边形模型题型1 1．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【详解】 解：如图，连接、，相交于点，   点分别是边的中点， ，， ，同理， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 对角线互相垂直， ， ， ，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，， 四边形的周长为． 故选：C． 2．如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【详解】解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且． 理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴菱形是正方形． 故选：D． 3．如图，点，，，分别是的边，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【解答】证明：连接，如图所示．点是的中点，点是的中点， ，． 同理，可得出：，， ，， 四边形是平行四边形． 4．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为、、、的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【解答】解：（1）中点四边形是平行四边形； 理由如下：连接，如图1所示： ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形． 十字架模型题型2 1．如图，正方形内有两条相交线段，，，，，分别在边，，，上．小明认为：若，则；小亮认为：若，则．你认为　　 A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 【详解】如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点M作MP⊥CD于点P，设EF与MN相交于点O，MP与EF相交于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EG=MP， 对于小明的说法： 在Rt△EFG和Rt△MNP中， ， ∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL）， ∴∠MNP=∠EFG， ∵MP⊥CD，∠C=90°， ∴MP∥BC， ∴∠EQM=∠EFG=∠MNP， 又∵∠MNP+∠NMP=90°， ∴∠EQM+∠NMP=90°， 在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°， ∴MN⊥EF， 但EF不仅仅是这一种情况，如图， 如将第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的EF′就是反例，此时有MN=EF′，但是MN与EF′肯定不垂直，因此小明的观点是错误的； 对小亮的说法： ∵MP⊥CD，∠C=90°， ∴MP∥BC， ∴∠EQM=∠EFG， ∵MN⊥EF， ∴∠NMP+∠EQM=90°， 又∵MP⊥CD， ∴∠NMP+∠MNP=90°， ∴∠EQM=∠MNP， ∴∠EFG=∠MNP， 在△EFG和△MNP中， ， ∴△EFG≌△MNP（AAS）， ∴MN=EF，故小亮的说法正确， 故选B． 2．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：四边形为正方形， ，， 而， ， 在和中 ， ， ，所以（1）正确； ， 而， ， ， ，所以（2）正确； 连接， ， ， 而， ，所以（3）错误； ， ， ， ，所以（4）正确． 故选：． 3．如图正方形的对角线相交于点，平分交于点，于点，交于点，连接、，下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 其中正确的结论有 　　（填序号）． 【解答】解：四边形为正方形，、为对角线， ，，， 平分， ， ， 又，， 即：， ，故结论①正确； ，， ， ， 在和中， ， ， ，故结论②正确； ， ， 又，， 点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ， ，故结论③正确； 在中，，， 点为的垂心， ， ， ，， ，为等腰直角三角形， ， 在中由勾股定理得：， ， ，故结论④正确； ， 点不是线段的中点， 不是的中位线， ，故结论⑤不正确． 综上所述：结论正确的是：①②③④．故答案为：①②③④． 4．如图，，分别是正方形的边、上的点．且，、相交于点，下列结论：①，②，③，④中，错误的有 　　 ．（只填序号） 【解答】解：在正方形中，，， ， ， 即， 在和中，， ， ，故①正确； ， ， ， 在中，， ，故②正确； 假设， （已证）， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ， ， ， 即，故④正确； 综上所述，错误的有③． 故答案为：③． 5．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 【解答】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（1）如图①，已知正方形的对角线、相交于点，是上一点，过点作，垂足为，求证：； （2）如图②，若点在的延长线上，，交的延长线于．的延长线交的延长线于，其他条件不变，则结论“”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）结论成立． 证明如下： 四边形为正方形， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， 和， ； 7．如图1，为正方形的边上一动点与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、，若，求的长度． 【解答】解：（1）在正方形中有：，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，延长、交于一点， 当点为中点时，为中点，即， ，， ， ， ， 由（1）得：， ； （3）由（1）得：， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ，， 解得：，． 对角互补模型题型3 1．如图，点在第一象限的角平分线上，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上． （1）求点的坐标． （2）当绕点旋转时， ①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出的最小值． 【解答】解：（1）点在第一象限的角平分线上， ， ， ； （2）①不变． 过点作轴于，于． ，， 四边形是正方形， ， ． 在和中， ， ， ， ， ②连接， ， ， ， ， ，当最小时，也最小． 根据垂线段最短原理，最小值为2， 的最小值为8． 2．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　　（请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分 想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分； 想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”． 故答案为：④ （2） ①想法一：延长使，连接 ，， ， ， ． ． 即平分； 想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到， ． ； ； ． ， ． 点，，在一条直线上． ， 即平分 ② 理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ， ， ． ． 3．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）四边形为对角互补四边形，且，则的度数为 　　； （2）如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道、、三者关系为：　　 ； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明： ①平分； ②； （4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足，，则、、三者关系为：　　 ． 【解答】解：（1）四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （3）①延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （4）延长至，使，连接， 四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 含60°角的菱形模型题型4 1．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设AC与BD的交点为O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 3．如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是(    )    A． B． C． D． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    菱形中，， ，，垂直平分， 是等边三角形，， ，， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即此时最小值为的长， 菱形的边长为， 的最小值是 故选：D． 4．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG． (1)根据题意补全图形，并证明AG＝EG； (2)用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）补全图形如下： ∵四边形ABCE是菱形，AC、BD是对角线， ∴AC、BD互相垂直平分， ∵点G在BD上， ∴AG=CG， ∵FG是CE的垂直平分线， ∴EG=CG， ∴AG=EG． （2）延长ED，交CD于点H，如图， ∵AD=CD，AG=CG，DG=DG， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AG=EG， ∴， ∴， ∴， ∵∠ABC=60°， ∴∠DAB=120°， ∴∠EGC=120°， ∵DG垂直平分CE， ∴CF=EF=，∠EGF=∠CGF=， ∴∠GCF=90°-60°=60°， ∴ ∴， ∴， 即：． 梯子模型题型5 1．如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则 ； （2）点D，E之间距离的最大值是 ． 【详解】解：（1）∵，即，点F是的中点，， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵F是的中点， ∴， ．    ∵， ∴当点，，三点共线时，有最大值，最大． 故答案为：． 2．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是 ． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， 由勾股定理得，， ∵， ∴当、、三点共线时，点到原点的距离最大， 所以，点到原点的最大距离是． 故答案是：． 4．如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 【详解】试题分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断； （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出． 试题解析：（1）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变． （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h<OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大 此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2，所以△AOB的最大面积为a2. 点睛：此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键． 半角模型题型6 1．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得      连接      ∵四边形是正方形      ∴，      又∵      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ （2） 证明：延长到，使得      连接      ∵，      ∴      又∵，      ∴      ∴，      ∵      ∴     ∴     又∵     ∴     ∴     又∵     ∴ 2．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．    （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论） 【详解】解：（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ADN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM+∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°， ∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN ∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°， ∴∠BAM＝∠MAH， 在Rt△ABM和Rt△AHM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS）， ∴AB＝AH， 故答案为：AB＝AH； （2）AB＝AH成立，理由如下： 延长CB至E，使BE＝DN，如图：    ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， ∵BE＝DN， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠EAB+∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 又AM＝AM， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：    ∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6． 由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2， ∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2， 解得x＝3， ∴NH＝3． 3．如图．在正方形中，点E在边上，点F在延长线上，，连接交于点H，连接． （1）求证； （2）求的值； （3）探究、、三条线段之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）过E作交于点M，如图1， ∵四边形是正方形， ∴，   ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，   ∵， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴； （2）连接，，如图2， ∵四边形是正方形， ∴，，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，    又∵H为中点， ∴； （3）． 理由如下： 连接，，过H作交延长线于G，如图3． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，，    由（2）得，为等腰直角三角形，H为中点， ∴， ∴， ∴，     又∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴． 4．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立， (1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______． (2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F， ①如图①，求证AE＝EF； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积； (3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值． 【详解】（1）解：∵实数a，b使式子成立， ∴， ∴， ∴a=6， ∴b=3， ∴点A的坐标为（0，6），E（3，0）； ∴OA=6， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=CD=OA=6， ∴D（6，6）， 故答案为：（6，6），（3，0）； （2）解：①如图①，取OA的中点K，连接KE， ∵∠AEF=90°， ∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°， ∴∠FEC=∠OAE， ∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC， ∴AK=EC，OK=OE， ∴∠OKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AKE=∠ECF， 在△AKE和△ECF中， ， ∴△AKE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； ②如图②，延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH， ∵四边形AOCD是正方形， ∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°， ∴△AOE≌△ADH（SAS）， ∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD， 由①知AE=EF， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=45°， ∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°， ∴∠GAH=∠GAE， ∴△AEG≌△AHG（SAS）， ∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD， ∴∠AEO=∠AEG， ∵， ∴∠AGH=∠GNE=∠AGE， ∴EN=EG， 同理可得GM=GE， ∴GM=EN， 又∵GM⊥EN， 设DG=x，则CG=6-x， ∴OE=CE=3， ∴EG=x+3， 在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2， 解得x=2， ∴EG=EN=GM=5， ∴S四边形MNGE=＝； （3）解：在外角平分线上取点F，使CF=AO，连接，， ∴∠OAP=∠QCF=45°， ∵AP=CQ， ∴△APB≌△CQF（SAS）， ∴PB=QF， ∴BP+BQ=BQ+QF， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作FR⊥x轴于点R， ∵∠DCF=∠RCF=45°， ∴△CFR为等腰直角三角形， ∵AO=CF=6， ∴CR=FR=， ∴OR=， 在Rt△ORF中，， 的最小值为， 故答案为：． 5．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过点E作交CB的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 含60°角的矩形模型题型7 1．如图，矩形的对角线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C 2．如图，矩形的两条对角线相交于点，若，，则矩形面积= ． 【详解】解：矩形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 矩形的面积． 故答案为：． 3．如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，矩形的对角线、交于点，，，于点，求的长． 【详解】解：四边形是矩形， ∴矩形对角线相等且互相平分， ， 为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ， 为的中点 ， 答：的长度为 1． 双角平分线模型题型8 1．在中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【详解】解：由作图痕迹可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， 故选C． 2．在中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（    ） A．4 B．6 C．6或8 D．4或6 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 如图①，当点F在点E的左侧时：， ∴； 如图②，当点F在点E的右侧时，， ∴ 综上：或； 故选：D． 3．已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）由（1）可得：，， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 压轴真题题型9 1．（山东省聊城市高唐县2023下·八年级期中试题）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 2．（山东省德州市宁津县2023下·八年级期中教学质量检测试题）如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴影部分的面积为（        ） A．16 B．12 C．8 D．6 【详解】设菱形ABCD的对角线相交于G， ∵AB=4，∠A=60°， ∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C =60°， ∴为边长为4的等边三角形， ∴∠DCG=∠BCG=30，， ∴，，， ∴，， ∵E、F 为边 BC、CD 的中点， ∴EF∥BD，EF=BD=2， ∴, ∴， ∴． 故选：D． 3．（山东省滨州市博兴县2023下·八年级期中数学试题）如图，在矩形中，，，点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【详解】解：如图，连接PA． ∵，，， ∴AG＝EG，即：点G是AE的中点， 又∵为的中点， ∴GF是， ∴GF＝PA， ∴GF＋EF＝（PA＋PE）， 作点A关于BC的对称点T，连接ET交BC于P′，此时P′E＋P′A的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EAT＝90°， ∵AB＝BT＝3， ∴AT＝6， ∵AD＝10，DE＝2， ∴AE＝AD−DE＝10−2＝8， ∴P′E＋P′A＝P′E＋P′T＝ET＝＝， ∴EG＋EF的最小值为×10＝5， 故选D． 4．（山东省济宁市汶上县2023下·八年级期中考试试题）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 (  　 )    A．2 B． C． D．－1 【详解】如图，连接EF，延长BA，使得AM=CE， ∵OA=OC，∠OCE=∠AOM， ∴△OCE≌△OAM（SAS）．    ∴OE=OM，∠COE=∠MOA， ∵∠EOF=45°， ∴∠COE+∠AOF=45°， ∴∠MOA+∠AOF=45°， ∴∠EOF=∠MOF， 在△OFE和△OFM中， ， ∴△OFE≌△FOM（SAS）， ∴EF=FM=AF+AM=AF+CE， 设AF=， ∵CE=， ∴EF=，EB=3，， ∴()2=32+()2， ∴， ∴点F的纵坐标为， 故选：A 5．（山东省临沂市沂南县2023下·八年级期中试题）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，的周长为6，则正方形的边长为 . 【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置， 由题意可得出：△DAF≌△BAF′， ∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′， ∴∠EAF′=45°， 在△FAE和△EAF′中 ， ∴△FAE≌△EAF′（SAS）， ∴EF=EF′， ∵△ECF的周长为6， ∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=6， ∴2BC=6， ∴BC=3． 故答案为：3． 6．（山东省泰安市东平县2023下·八年级期中数学试题）如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别是的中点，连接，则四边形的形状是 ．    【详解】解：∵, ∴点再线段的垂直平分线上， ∴, ∵点分别是的中点, ， ∴, ∴四边形为矩形, 故答案为：矩形. 7．（山东省菏泽市牡丹区2023下·八年级期中数学试题）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 8．（山东省青岛李沧区2023下·八年级期中试题）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，E，F，G，H分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为 ．    【详解】解：∵点O，E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：6． 9．（山东省泰安市肥城市2023下·八年级期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝ ． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE＝90°， ∴∠AEB+∠EBH＝90°， ∴∠BAE＝∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴CF＝BE＝2， ∴DF＝5﹣2＝3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°， 由勾股定理得：AF＝＝＝． 故答案为． 10．（山东省济宁市嘉祥县2023下·八年级期中试题）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为 ． 【详解】解：如图， ∵点A为正方形EFPQ的中心， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∠AEF＝∠AFP＝45°， ∵∠MAN＝90°，即∠MAF+∠FAN＝90°， 而∠EAM+∠MAF＝90°， ∴∠EAM＝∠FAN， 在△AEM和△AFN中， ， ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴S△AEM＝S△AFN， ∴S四边形AMFN＝S△AEF＝S正方形EFPQ＝×22＝1， ∴图中三块重叠部分的面积的和＝1+1+1＝3． 故答案为3． 11．（山东省菏泽市郓城县2023下·八年级期中数学试题）如图，在四边形中，于，则的长为 【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ∵， ， ∴≌ ， ， ， 即， ， 故答案为． 12．（2022-2023学年山东省济南市八年级下学期期中考试试题）已知：，求证：． 【详解】证明：过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，如图． 易知． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴ 又，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 13．（山东省枣庄市滕州市2023下·八年级期中试题）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 14．（山东省济宁市曲阜市2023下·八年级期中数学试题）已知：如图，四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形． （1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论； （2）请你探究不同四边形的中点四边形的形状： ①当四边形ABCD变为平行四边形时，它的中点四边形是______； ②当四边形ABCD变为矩形时，它的中点四边形是______； ③当四边形ABCD变为菱形时，它的中点四边形是______； ④当四边形ABCD变为正方形时，它的中点四边形是______； （3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么性质决定的？ 【详解】(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 如图1，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH=BD，EH∥BD． 同理得FG=BD，FG∥BD． ∴EH=FG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 故答案为平行四边形； (2)①同理得：当四边形ABCD变为平行四边形时，它的中点四边形是：平行四边形； ②如图2，连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∵EF=AC，EH=BD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形； ③∵四边形EFGH是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠FEH=90°， ∴四边形ABCD是矩形； ④∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， ∴四边形EFGH是正方形． (3)由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． 15．（山东省菏泽市两校联考2023下·八年级期中试题）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接，相交于点．    (1)猜想与之间的关系，并证明； (2)若，，求的长； (3)若点为中点，求证：、互相平分． 【详解】（1）证明：四边形，是正方形， ，，， ， 在和中， ， ； ∴ （2）解：， ， 四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：连接，．    四边形，四边形是正方形， ，，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 、互相平分． 16．（山东省日照港中学2023下·八年级期中考试试题）如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：． 【详解】证明：如图，连接、，交于点， 、分别是、的中点， ， 在菱形中，， ，， ， ， ．    17．（山东省东营市河门区2023下·八年级期中考试试题）如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 【详解】证明：连结， 、关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴，， 在Rt和Rt中 ， ∴，又， ∴， ∴． 18．（山东省聊城市冠县2023下·八年级期中试题）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到，若，求的长．      【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ； 设，则，， ，， ， 解得，， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$