专题05 最值模型【重难点培优：知识梳理+六大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题05 最值模型知识梳理 1、两定一动： 作法：如图，作点A关于直线l的对称点Aˊ，连接AˊB，AˊB与直线l的交点即为所求的点P.（ PA+PB的最小值为线段AB的长） 作法：如图，连接AB并延长，与直线l交于点P，作|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB. 作法：如图，作点B关于直线l的对称点Bˊ，连接ABˊ并延长，与直线l交于点P，此时|PA－PB|的值最大，最大值为线段AB的长. A 2、两动一定：Pˊ O A B P M P N B O Pˊˊ 作法：如图，作点P关于OA，OB的对称点Pˊ、Pˊˊ，连接PˊPˊˊ与OA，OB交于点M、N，△MNP的周长. 3、两定两动： 作法：如图，作点P关于射线l2的对称点Pˊ，作点Q关于射线l1的对称点Qˊ，连接PˊQˊ，PˊQˊ与两条射线的交点即为所求点M，N.四边形PQMN的周长最小，最小值为PQ+PˊQˊ的值. 4、三动点： 作法：点D、E、F为动点，如图，将点D视为定点，利用“两动一定”模型求出△DEF周长的最小值，最小值为线段DˊDˊˊ的长. 5、两定点一定长： 作法：如图，将点A向下平移得到点Aˊ，使AAˊ=MN，连接AˊB，交直线n与点N，过点N作MN⊥m于点M，N即为所求.AM+MN+BN的最小值为AˊB+MN的值. 作法：如图，将点A向右平移a个单位长度得到点Aˊ，作点Aˊ关于l的对称点Aˊˊ，连接AˊˊB，交直线l与点N，连接AˊN，将点N向左平移a个单位长度得到点M，N即为所求.AM+MN+BN的最小值为AˊˊB+MN的值. 重难点题型分类 【题型1：两定一动】 【题型2：两动一定】 【题型3：两动两定】 【题型4：三动点】 【题型5：两定点一定长】 【题型6：压轴真题】 两定一动题型1 1．如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　   ) A． B． C． D． 3．如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）； （2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标； （3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 5．如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， (1)点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式； (3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 两动一定题型2 1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为（      ） A．30° B．40° C．50° D．45° 2．如图，菱形的边长为，，点E是边上的动点，点P是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为（　　） A．5 B．2 C． D． 3．如图正方形的面积为24，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一动点P，要使最小，则这个最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（    ） A． B． C． D． 5．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 两动两定题型3 1．如图，，，，线段在射线上滑动，，则四边形周长的最小值是 ． 2．如图，在长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，此时． （1）求的值； （2）在边上是否存在一个动点，且不与点、重合，使的周长最小．如果存在求出的周长最小值：如果不存在，请说明理由； （3）若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，．当四边形的周长最小时，其周长的最小值是______． 3．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．    （1）直接写出点E、F的坐标； （2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S； （3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可） 4．已知矩形中，，，为直线上一点． (1)如图1，当在线段上，且时，求的长．    (2)如图2，点在线段边延长线上一点，若，连接，为的中点，连接、，求证：．    (3)如图3，在（2）的条件下，、为边上两个动点，且，连接、、、，求四边形周长的最小值．    三动点题型4 1．如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 3．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 两定点一定长题型5 1．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（  ） A．（垂直于） B．（不平行） C．（垂直于） D．（平行） 2．已知，如图，线段长为，于，于，，，为线段上两动点，在右侧且，则由到的路径：的最小值为 ． 3．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 ． 4．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 压轴真题题型6 1．（2023-2024春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，对角线平分，，，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则这个最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 2．（2023-2024春·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点、分别在边、上，且，则下列说法：①；②是等腰直角三角形；③周长的最小值是；④四边形的面积是一个定值．其中正确的序号是（    ） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 3．（2023-2024春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，边的长为8，点分别是边上的动点，则周长的最小值为 ．    4．（2023-2024春·全国·八年级期末）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是 ． 5．（2023-2024春·河北邯郸·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． (1)求正方形ABCD的面积； (2)求点C和点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023-2024春·山东潍坊·八年级统考期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM． （1）AM+PM的最小值等于 　 　； （2）求证：△BNM是等边三角形； （3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标． 7．（2023-2024春·全国·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长． 8．（2023-2024春·广东深圳·八年级校联考期中）长方形纸片OABC中，AB=10cm，BC=6cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处． （1）求点E、F的坐标； （2）在AB上找一点P，使PE+PF最小，求点P坐标； （3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设△OCQ的面积为S，求S与x的函数关系式． 9．（2023-2024春·广东广州·八年级中山大学附属中学校考期末）如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，连接． (1)如图①，，，．求证：； (2)如图②，，周长何时最小，作出图形，并直接写出______° (3)如图③，若四边形为正方形，点E、F分别上，且，若，，请求出线段的长度． 10．（2023-2024春·陕西西安·八年级统考期末）探究： （1）如图，、为的边、上的两定点，在上求作一点，使的周长最短．（不写作法） （2）如图，矩形中，，，、分别为边、的中点，点、分别为、上的动点，求四边形周长的最小值． （）如图，正方形的边长为，点为边中点，在边、、上分别确定点、、．使得四边形周长最小，并求出最小值． 11．（2023-2024春·天津滨海新·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A为，四边形是正方形．    (1)填空：______； (2)求点D的坐标； (3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形周长的最小值． 12．（2023-2024春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒（其中）． (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线A－B－C、C－D－A运动，与E、F相同速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，若四边形的面积是矩形面积的，则t的值是______； ③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：______． 13．（2023-2024春·福建南平·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，G，H分别是边上的点，且，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 14．（2023-2024春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E． （1）求点E的坐标； （2）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由． 15．（2023-2024春·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．    (1)连接，____________________°； (2)求周长的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 16．（2023-2024春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点，C为线段的中点．      (1)求直线的解析式； (2)如图1，若E为线段上一动点，过点E作轴于点F，轴于点G，连接，P为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值； (3)在（2）的条件下，直线与直线相交于点Q，将线段沿射线方向平移12个单位长度，平移后的点C记为点，H为直线上的一动点，在平面内是否存在一点N，使得以、H、Q、N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2023-2024春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 最值模型 重难点题型分类 【题型1：两定一动】 【题型2：两动一定】 【题型3：两动两定】 【题型4：三动点】 【题型5：两定点一定长】 【题型6：压轴真题】 两定一动题型1 1．如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：四边形是菱形， 点与点关于对称， 如图，连接交于点，连接， ， 则， 的周长，此时的周长最小， 是的中点，菱形的边长为4， ， 过点作交的延长线于， 四边形为菱形，边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值， 故选：A． 2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　   ) A． B． C． D． 【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G ∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点 ∴BE=2 ∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60° ∵点F是点E关于AC的对称点 ∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上 则CF=CE=2 ∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2 ∴∠BEG=60° ∴在Rt△BEG中，EG=1，BG= ∴FG=1+2=3 ∴在Rt△BFG中，BF==2 根据分析可知，BF=PB+PE ∴△PBE的周长=2 故选：C 3．如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= ． 【详解】∵DN=AM=AN=1，∠A=90°， ∴由勾股定理求出MN=， 即MN值一定， ∴要使△MNP的周长最小，只要MP+NP最小即可， 过N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，连接MF交BD于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠NDB=∠FDB=∠ADC=45°， ∴∠DNG=∠DFG=90°-45°=45°， ∴∠DNG=∠NDG，∠DFG=∠FDG， ∴NG=DG=FG， 即N、F关于BD对称， ∴PN=PF， ∴MP+NP=MP+PF=MF， 即此时的PN+PM的值最小， ∵BD⊥NF，NG=FG， ∴DN=DF=1=AM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AM∥DF， ∴四边形AMFD是平行四边形， ∴MF=AD=2， 即MP+NP=2， 故答案为2． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）； （2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标； （3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 【详解】解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位， ∴点B的坐标为（－6，8）， ∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒， ∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8）， 故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8； （2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8）， ∴线段PQ的中点D的坐标为（，8）， 即D（，8）， ∵点D在直线l上， ∴∠OBD不可能是直角 ∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8）， 则， 解得：； 当∠BOD＝90°时，点D位于点D2处， 则， ∵点O（0，0），B（－6，8），D（，8）， ∴， 解得：， ∴， 此时点D的坐标为（，8）， 综上所述：当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）； （3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF， ∵点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上， ∴FE＝FE1， ∴当点F、D、E1在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＝DE1， 当点F、D、E1不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＜DE1， ∴当点F、D、E1在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长， ∵点E与点E1关于x轴对称，点E（，－4）， ∴点E1（，4）， 又∵点D的坐标为（，8）， ∴ ， ∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为． 5．如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， (1)点的坐标； (2)求折痕所在直线的表达式； (3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 【详解】（1）解：∵四边形OABC是长方形，OA＝10， ∴BC＝OA＝10， ∵△CBM沿CM翻折， ∴＝BC＝10， 在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6， ∴O＝， ∴（8，0）， 故答案为：（8，0）； （2）解：设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x， ∵OA＝10，B′O＝8， ∴A＝2， ∵△CBM沿CM翻折， ∴M＝BM＝6﹣x， 在Rt△AM中，， ∴，解得x＝， ∴M（10，）， 设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得： ，解得k＝﹣，b＝6， ∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6； （3）解：折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如下图， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点， ∴PB=PB'， ∴PO+ ， 当O、P、B共线时，PO+PB'最小， ∵， ∴PO+PB'的最小值为． 两动一定题型2 1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为（      ） A．30° B．40° C．50° D．45° 【详解】作DA延长线AH，即可得出∠A′＋∠A″＝180°-110°＝70°， 进而得出∠MAN=110°-70°=40°． 故选:B 2．如图，菱形的边长为，，点E是边上的动点，点P是对角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为（　　） A．5 B．2 C． D． 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是菱形， 点A和点C关于对称， ， 当时，点A到的距离最短， 当时，此时于的交点为P时，，的值最小， 菱形的边长为，， ，， ， ， ， 即的最小值是， 故选：D． 3．如图正方形的面积为24，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一动点P，要使最小，则这个最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设与交于点，连接． 点与关于对称， ， 最小． 正方形的面积为24， ， 又是等边三角形， ． 故选：C． 4．如图，矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N，使的值最小，求这个最小值（    ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，连接HN， ∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO， ∴MN+BM＝HM+MN， ∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝， ∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO， ∴BO＝， ∴BH＝， 在中， ， ∵HN⊥AB， S△ABH＝×AB×HN＝BH×AO， ∴MN+BM的最小值为． 故选：D． 5．如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①求直线的函数解析式； ②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使的周长最小，并求出周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【详解】（1）解：①∵矩形，，， ∴，，，， ，，， ∵为等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式，过点、点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式； ②作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接'交轴于点，交于，此时的周长最小， ∴，， 在中，， ∴周长的最小值为． （2）如图，作于， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵， ∴，， 又∴，   ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 两动两定题型3 1．如图，，，，线段在射线上滑动，，则四边形周长的最小值是 ． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点E，过点E作，连接，过点O作垂直于直线于P，过点D作垂直直线于G，交射线于H，设交射线于Q，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长 ， ∴当三点共线时，最小，即四边形的周长最小，最小为， ∴四边形的周长的最小值为， 故答案为：． 2．如图，在长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，此时． （1）求的值； （2）在边上是否存在一个动点，且不与点、重合，使的周长最小．如果存在求出的周长最小值：如果不存在，请说明理由； （3）若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，．当四边形的周长最小时，其周长的最小值是______． 【详解】(1)过P作PS⊥CE于S， 则PSCD为矩形， ∴PD=CS=3，PS=CD=4， 长方形纸片折叠， ∠PEC=∠PEM，MH=CD=4，PH=PD=3，∠H=∠D=90º， 由长方形纸片， ∵AD∥BC， ∴∠APE=∠PEC， ∴∠PEM=∠APE， ∴MP=ME， 在RtΔPMH中，由勾股定理得MP=， ∴CE=ME=PM=5， ∴ES=CE-CS=5-3=2， ∴在RtΔPSE中，由勾股定理， PE=， （2）过M作AB的对称点M′，连接M′E，交AB于F，存在一个动点，且不与点、重合，使 的周长最小．过E最ET⊥AD于T，PT=SE=2，AM=AD-PM-PD=12-5-3=4，AM′=AM=4,TM=MP-TP=MP -TP =3， M′T=AM+AM+MT=11，ET=4， 由勾股定理EM′=， 的周长最小=MF+FE+EM=M′E+ME=， （3）将M沿GQ平移到V，是MV=GQ=1，则四边形GQVM为平行四边形，过V作AB的对称点W，连接VW延长WV交ET于K，则TK=1，WK=11，当点E、Q、W在一线时，当四边形的周长最小,此时GM=QV=WQ， 在RtΔWKE中，由勾股定理WE=, 当四边形的周长最小=GQ+QE+ME+MG=1+QE+5+GM=6+QE+GM=6+QV+QE=6+WE=+6 ． 3．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．    （1）直接写出点E、F的坐标； （2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积为S，试用关于x的代数式表示S； （3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值．（直接写出结果即可） 【详解】（1）由题意可求，AE=1，BF=BA=2 ∴CF=1， 故：E(3，1)，F(1，2)； （2）如图2 ∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处， ∴BF=AB=2， ∴OD=CF=3﹣2=1， 若设OP的长为x， 则，PD=x﹣1， 在Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴∠ADB=45°， 在Rt△PDH中，， ∴； （3）如图3，作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小， 点F(1，2)关于y轴的对称点F′(﹣1，2)，点E(3，1)关于x轴的对称点E′(3，﹣1)， 待定系数法可求得：直线E′F′的解析式为：， 当x=0时，，当y=0时，， ∴，， 此时，四边形MNFE的周长； ∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为：． 4．已知矩形中，，，为直线上一点． (1)如图1，当在线段上，且时，求的长．    (2)如图2，点在线段边延长线上一点，若，连接，为的中点，连接、，求证：．    (3)如图3，在（2）的条件下，、为边上两个动点，且，连接、、、，求四边形周长的最小值．    【详解】（1）解：如图1，∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，连接，    ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接，过点Q作交于G，由可得四边形是平行四边形，则，作点G关于的对称点，连接，当点，Q，M在同一条线上时，最小，即最小，而和是定值，则此时四边形周长最小，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图2，在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴四边形周长最小值 ． 三动点题型4 1．如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接，交于点，过，垂足为，交于点， 当点与点重合，过作的垂线并延长交于点，有最小值，最小值． 菱形的周长为24， ，， 是等边三角形， ， ，垂足为， ， 在中，由勾股定理得， ． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点、、分别在、，上，则周长的最小值为（    ）    A．15 B． C． D．20 【详解】解：分别作点E关于，的对称点P，Q．连接，，，，，，    则，，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 过点A作交于点M， ∵， ∴， 在中，， ∴． 过点A作于点H， 在中， ， ∴的周长为：． 故选：C． 3．如图，已知，点为边中点，点在线段上运动，点在线段上运动，连接，则周长的最小值为 ． 【详解】作梯形ABCD关于AB的轴对称图形， 作F关于AB的对称点G，P关于AB的对称点Q， ∴PF=GQ， 将BC'绕点C'逆时针旋转120°，Q点关于C'G的对应点为F'， ∴GF'=GQ， 设F'M交AB于点E'， ∵F关于AB的对称点为G， ∴GE'=FE'， ∴当点F'、G、P三点在一条直线上时，△FEP的周长最小即为F'G+GE'+E'P，此时点P与点M重合， ∴F'M为所求长度； 过点F'作F'H⊥BC'， ∵M是BC中点， ∴Q是BC'中点， ∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4， ∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°， ∴F'H=，HC'=1， ∴MH=7， 在Rt△MF'H中，F'M； ∴△FEP的周长最小值为．故答案为：． 两定点一定长题型5 1．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（  ） A．（垂直于） B．（不平行） C．（垂直于） D．（平行） 【详解】根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线），只要最短即可， 即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽，连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求． 易得四边形是平行四边形，则，即． 故选：． 2．已知，如图，线段长为，于，于，，，为线段上两动点，在右侧且，则由到的路径：的最小值为 ． 【详解】解：过点作且，作关于的对称点，连接交于点，连接交于点，过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，此时，的值最小， 过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 3．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 ． 【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形， ∵B（0，4），A（﹣1，0）， ∴OB＝4，OA＝1， ∴OE＝3，AB＝， 作点A关于直线x＝1的对称点A'， ∴A'（3，0），AD＝A'D， ∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长， 在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝， ∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+． 故答案为：． 4．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 压轴真题题型6 1．（2023-2024春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，对角线平分，，，在对角线上有一动点P，边上有一动点Q，使的值最小，则这个最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【详解】解∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴点A，C关于BD对称， 过A作AQ⊥BC于Q交BD于P， 则PQ＋PC最小值＝AQ， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABQ是等腰直角三角形， ∵AB＝BC＝8， ∴AQ＝AB＝， ∴这个最小值为， 故选：B． 2．（2023-2024春·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点、分别在边、上，且，则下列说法：①；②是等腰直角三角形；③周长的最小值是；④四边形的面积是一个定值．其中正确的序号是（    ） A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【详解】解：如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故结论②正确； ∵，   ∴周长为：， 当取得最小值时，的周长取得最小值， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小，此时， ∴的周长取得最小值：，故结论③正确； ∵， ∴， ∴ ， ∵，，点为的中点， ∴， 即， ∴四边形的面积是一个定值，故结论④正确； ∴正确的序号是①②③④． 故选：D． 3．（2023-2024春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，边的长为8，点分别是边上的动点，则周长的最小值为 ．    【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 作关于的对称点M、N，连接，设交于点G，如图，    则，，， ∴的周长， ∴周长的最小值是的长， 在直角三角形中，∵， ∴，， ∴，， ∴，设垂足为H， ∴，， ∴， ∴, ∴，即周长的最小值是12． 故答案为：12． 4．（2023-2024春·全国·八年级期末）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则PQE的周长的最小值是 ． 【详解】解：分别作点E关于直线AB、AD的对称点M、N，连接PM、NQ、MN， 由对称性质得：PM=PE，QN=QE， 则PQE的周长=PE+PQ+QE=PM+PQ+QN， 根据两点之间线段最短可知，当M、P、Q、N四点共线时，PQE的周长最小，最小值为MN的长， 连接EM交AB延长线于H，则ME⊥AB于H， 过点N作NG⊥ME交ME延长线于G，连接BD、NE，则NE⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=12， ∴AB=BC=CD=12，AD∥BC，AB∥CD，∠C=∠BAD=60°， ∴△BCD是等边三角形，∠EBH=∠DAB=60°， ∵点E为BC在中点， ∴CE=BE=BC=6，DE⊥BC， ∵AD∥BC， ∴DE⊥AD，又 NE⊥AD， ∴点D在线段NE上， 在Rt△CDE中，∠C=60°， ∴，∠CDE=90°－∠C=30°， ∴NE=2DE= ， ∵AB∥CD，NG⊥ME，ME⊥AB， ∴NG∥AB∥CD， ∴∠GNE=∠CDE=30°， ∴在Rt△NGE中，GE=NE=， ∴， 在Rt△BHE中，∠BEH=90°－∠EBH=90°－60°=30°，BE=6， ∴BH=BE=3， ∴， ∴EM=2EH=， ∴GM=GE+EM=， ∴在Rt△MGN中，， 即PQE的周长的最小值是， 故答案为：． 5．（2023-2024春·河北邯郸·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． (1)求正方形ABCD的面积； (2)求点C和点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）对于直线，令，得到；令，得到， ∴A(-2，0)，B(0，1)， ∴在中，，， ∴根据勾股定理得：， ∴正方形面积为5； （2）如图，作轴，轴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴C(-1，3)，D(-3，2)； （3）如图，找出点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则此时周长最小． ∵B(0，1)， ∴(0，-1) 设直线的解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 对于，令，得到， ∴M(-1，0)． 6．（2023-2024春·山东潍坊·八年级统考期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM． （1）AM+PM的最小值等于 　 　； （2）求证：△BNM是等边三角形； （3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标． 【详解】解：（1）如图①中，连接． 四边形是正方形， ，，， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． （2）证明：由旋转的性质可知， ， 是等边三角形． （3）解：如图②中，过点作轴于，连接． 由旋转的性质可知，， 是等边三角形， ， ， ， ，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处， ，， ， ，， ，， ，， 设直线解析式为，则有， 解得， ， 同法可得直线的解析式为， 由，解得， ，． 7．（2023-2024春·全国·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长． 【详解】（1）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN， 即∠MBA＝∠NBE． 在△AMB和△ENB中 ， ∴△AMB≌△ENB（SAS）． （2）解：①由两点之间线段最短可知，当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小． ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小． 理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN， ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC． （3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°． 设正方形的边长为x，则EF＝，BF＝＝x． 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2＝EC2， ∴()2+(x+x)2＝(2+2)2． 解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去负值）． ∴正方形的边长为2． 8．（2023-2024春·广东深圳·八年级校联考期中）长方形纸片OABC中，AB=10cm，BC=6cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处． （1）求点E、F的坐标； （2）在AB上找一点P，使PE+PF最小，求点P坐标； （3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设△OCQ的面积为S，求S与x的函数关系式． 【详解】（1）设OE=x，则AE=6-x，由折叠知BA=BF=10，EF=AE=6-x， ∵四边形OABC是长方形，∴∠BCO=90°， ∴CF==8，∴OF=OC-CF=10-8=2， ∴点F的坐标为（-2，0）， 在Rt△EOF中，EF2=OF2+OE2，即（6-x）2=22+x2，解得，x=， ∴点E的坐标为（0，）， ∴点E的坐标为（0，），点F的坐标为（-2，0）； （2）如图，作E关于AB的对称点E′，连结FE′，交AB于P， 则PE+PF最小最小， ∵点E的坐标为（0，），∴AE=6-=， ∵点E与点E′关于AB对称，∴AE′=AE=， ∴OE′=+6=，∴点E′的坐标为（0，）， 设直线FE′的解析式为y=kx+b， 则，解得，k=，b=， 则直线FE′的解析式为y=x+， 当y=6时，x+=6，解得，x=-， ∴点P的坐标为（-，6）， （3）设点Q的坐标为（x，x+）， 当Q在x轴上方时，即x＞-2时，S=×10×（x+）=x+， 当Q在x轴下方时，即x＜-2时，S=×10×（-x-）=-x-， 综上所述，S=． 9．（2023-2024春·广东广州·八年级中山大学附属中学校考期末）如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，连接． (1)如图①，，，．求证：； (2)如图②，，周长何时最小，作出图形，并直接写出______° (3)如图③，若四边形为正方形，点E、F分别上，且，若，，请求出线段的长度． 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点G，使，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （2）如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点E，交于点F，由对称的性质可得， ∴此时的周长为， ∴当点在同一条直线上时，即为周长的最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：120； （3）如解图，旋转至的位置， ∴， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 10．（2023-2024春·陕西西安·八年级统考期末）探究： （1）如图，、为的边、上的两定点，在上求作一点，使的周长最短．（不写作法） （2）如图，矩形中，，，、分别为边、的中点，点、分别为、上的动点，求四边形周长的最小值． （）如图，正方形的边长为，点为边中点，在边、、上分别确定点、、．使得四边形周长最小，并求出最小值． 【详解】解：（1）如图所示，作点关于的对称点，连接，交于点， 连接，，，则， 此时的周长最短为； 点即为所求． （2）如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，交于， 连接，，，则，， ， 此时，四边形周长的最小值为的长， ，，、分别为边、的中点， ，， △中，， 又中，， 四边形周长的最小值； （3）如图所示，作点关于的对称点，关于的对称点，作关于的对称点，连接，，， 则，，， 当，，在同一直线上时，， 当，，，在同一直线上时，， 此时四边形周长最小为的长，点，，即为所求； 正方形的边长为2，点为边中点， △中，，， ， 即四边形周长最小值为． 11．（2023-2024春·天津滨海新·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A为，四边形是正方形．    (1)填空：______； (2)求点D的坐标； (3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：点A在直线上， ， 解得， 故答案为：3； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 当时，， 点B的坐标为， ． 如图，作轴于点E，    四边形是正方形， ，， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点D的坐标为； （3）解：正方形中，，，， ，， ， 如图，作点C关于y轴的对称点，作点D关于x轴的对称点，    则，， M为x轴上的动点，N为y轴上的动点， 由轴对称的性质可知，， ， 四边形周长， 由勾股定理得，， ， 四边形周长的最小值为：． 12．（2023-2024春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒（其中）． (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线A－B－C、C－D－A运动，与E、F相同速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，若四边形的面积是矩形面积的，则t的值是______； ③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接，请直接写出四边形周长的最小值：______． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵矩形，M，N分别是中点， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接， 由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线A-B-C，C-D-A运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ③如图4，作点G关于的对称点，过点作于K，连接，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由②知：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 当，Q，H三点共线时，四边形周长有最小值，且最小值是． 故答案为：． 13．（2023-2024春·福建南平·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，G，H分别是边上的点，且，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形； (3)求四边形的周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，即， 分别是对角线上的四等分点， ， ，即， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①如图，连接， 四边形是矩形，，， ， ， ， 分别是对角线上的四等分点， ， ， 要使平行四边形是矩形，则， ， 由平行线间的距离可知，，， 四边形是矩形， ， 又， ， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； ②如图，连接， 要使平行四边形是菱形，则， 在和中，， ， ， ， ，即， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：． （3）解：如图，过点作于点，延长到点，使，过点作于点，连接， ，，， ， ， ， ， 四边形的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则四边形的周长的最小值为． 14．（2023-2024春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E． （1）求点E的坐标； （2）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E． ∴∠DOB=∠AOB ∵BC∥OA ∴∠OBC=∠AOB ∴∠OBC=∠DOB ∴EO=EB ∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4） 设OE=x，则DE=8-x 在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2 ∴16+（8-x）2=x2 ∴x=5 ∴BE=5 ∴CE=3 ∴E（3，4） （2）如图 过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值 由（1）得，DE=3，BE=5，BD=4 ∴根据面积有DE×BD=BE×DG ∴DG=由题意有，GN=OC=4 ∴DN=DG+GN= 即：AM+MN的最小值是. 15．（2023-2024春·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．    (1)连接，____________________°； (2)求周长的最小值及此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：连接，    ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，， ∴，与为等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形； ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴，， ∴的周长最小值为，， ∴， ∴为的中点， ∴． （3）设，而，，； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 综上：或或． 16．（2023-2024春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点，C为线段的中点．      (1)求直线的解析式； (2)如图1，若E为线段上一动点，过点E作轴于点F，轴于点G，连接，P为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值； (3)在（2）的条件下，直线与直线相交于点Q，将线段沿射线方向平移12个单位长度，平移后的点C记为点，H为直线上的一动点，在平面内是否存在一点N，使得以、H、Q、N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把点A、B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：如图，连接， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，最小时， ∴最小； 作E点关于的对称点H，过H作轴于M，连接， 则， ∵， ∴当点P在上时，最短， ∴的周长最短； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C为中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得：， ∴； ∵E、H关于对称，， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴ ∵点C是中点，且、， ∴， ∴， ∴的周长最小值为：；      （3）解：存在点N，使得以、H、Q、N为顶点的四边形是菱形． ∵， ∴， 设直线解析式为，则， ∴， 即直线解析式为， 解方程组，得， ∴； ∵， ∴将点C沿射线方向平移12个单位长度后点的坐标为， ∴； 如图，当时， ∵直线与x轴正方向的夹角为， ∴把点Q向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， ∴点的坐标为， ∴把点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， ∴点的坐标为； 同理，当时，点的坐标为； ∴点的坐标为； 当时，点的坐标为； ∴点的坐标为； 当时，点的坐标为； ∴点的坐标为； 综上，满足条件的点N的坐标为或或或． 17．（2023-2024春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）∵四边形AOCB是矩形， ∴OC＝AB＝4， ∵∠OAC＝30° ∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°， ∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处， ∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， 如图1，过点D作DF⊥AO于F， ∵DF⊥AO，∠DAO＝30°， ∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2， ∴OF＝AO﹣AF＝2， ∴点D坐标（2，﹣2）； （2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH， ∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90° ∴AE＝， ∴OE＝， ∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称， ∴点G（﹣，0），点H（，4） ∴GH＝， ∴△EMN的周长最小值为8； （3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形， ∵∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴∠OCE＝30°， ①若CP＝CQ，如图3， ∵CP＝CQ，∠OCE＝30°， ∴∠CPQ＝75°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°， ②若PQ＝CQ时，如图4， ∵CQ＝PQ， ∴∠QPC＝∠PCQ＝30°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°； ③若CP＝PQ，如图5， ∴∠PCQ＝∠PQC＝30°， ∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°， ∴不存在这样的点P， 综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$