专题04 平行四边形及特殊平行四边形【重难点培优：知识梳理+11大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题04 平行四边形及特殊平行四边形知识梳理 1、思维导图：四边形 平行四边形 矩形 棱形 正方形 ① 两组对边相等 ② 两组对边平行 ③ 一组对边平行且相等 ④ 两组对角相等 ⑤ 对角线互相平分 ① 有一个角是直角 ② 对角线相等 ① 有一组邻边相等 ② 对角线互相垂直 ① 有一个角是直角 ② 对角线相等 对角线互相垂 直平分且相等 ① 有一组邻边相等 ② 对角线互相垂直 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：互相平分且相等 边：四条边都相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 边：四条边都相等 角：四个角都是直角 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 A B C D E 2、中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三条边，且等于第三条边的一半。 如图，若DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，且DE=. A B C 3、直角三角形斜边中线的性质：D 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图，BD是Rt△ABC上的中线，则BD=AC. 重难点题型分类 【题型1：平行四边形中求角度题】 【题型2：平行四边形中求线段长题】 【题型3：平行四边形中求面积周长题】 【题型4：平行四边形中证明题】 【题型5：平行四边形中折叠题】 【题型6：平行四边形中动点题】 【题型7：平行四边形中平移题】 【题型8：平行四边形中旋转题】 【题型9：平行四边形中存在性题】 【题型10：平行四边形综合题】 【题型11：压轴真题】 平行四边形中求角度题题型1 1．如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，连接，，平分交于，过作交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，D为的中点，点E在上，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，点E为对角线的中点，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 平行四边形中求线段长题题型2 1．如图，在平行四边形中，连接，且，过点A作于点M，过点D作于点N，且，在的延长线上取一点P，满足，则的长是（ ） A． B． C．6 D．12 2．如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 5．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 7．如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 平行四边形中求面积周长题题型3 1．如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．120 B．240 C．80 D．160 3．如图，正方形的边长均为定值，点H在线段上，从点F向点C运动，在这个过程中，的面积（   ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不确定 4．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．30 B．27 C．24 D．21 5．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 6．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，对角线交于点是边上一点，且．若，则菱形的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．如图，将两张宽度都为的矩形纸片交叉叠放在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 平行四边形中证明题题型4 1．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 2．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 3．如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 4．如图，在中，E，F分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：． (2)若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 5．课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形．    (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，．    ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 6．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 7．已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明． 8．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 9．如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 10．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 11．综合与实践：折叠中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：再沿对角线对折，将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】判断四边形的形状为______，面积为______； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕． 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】判断四边形的形状，并加以证明． 12．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 平行四边形中折叠题题型5 1．在中，，，，是边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点与点．重合，折痕为，则的周长为（    ）      A．9.5 B．10 C．11 D．15.5 2．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（    ） A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8 3．如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 5．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 6．如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 7．如图，在菱形中，，E，F分别是的中点，将沿着折叠得到，若恰好落在上，则菱形的面积为 ． 8．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 9．正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 10．如图，正方形的边长是8，E是的中点，连接，将沿折叠，点B的对应点是F，连接，则的面积是 ． 11．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ． 12．如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是 ． 平行四边形中动点题题型6 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　） A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5 5．已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 6．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ． （1）求证：PE＝DQ； （2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由． 7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 8．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 平行四边形中平移题题型7 1．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（     ） A．6 B．2 C．12 D．1 4．某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到． (1)求证：； (2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由． 6．如图，在中，，，，点为的中点，连接，将沿射线的方向平移，使平移的距离等于线段的长，得到，连接． (1)求平移过程中扫过的图形的面积； (2)求证：垂直平分． 7．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判定的依据是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和，其中，，将它们按图②放置，落在边上，、与边分别交于点、．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长、交于点，得到图③．若四边形的周长为，，则四边形的面积为______． 8．解答： 探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．       素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．    素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．    问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长． 平行四边形中旋转题题型8 1．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 2．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 5．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 6．【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 (1)如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； (2)如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 7．综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 8．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 平行四边形中存在性题题型9 1．如图，正方形的对角线，相交于点，点是边上的一动点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分位置时，与是否存在一定的数量关系?若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，，动点在边上，，动点在射线上，． (1)若点是边上一点，在点，运动过程中，是否存在的值，使得以，，，顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图，过点作交的延长线于点．过点作交的于点连接，把沿翻折得到，当与的一边平行时，的长______（直接写出答案） 平行四边形综合题题型10 1．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，分别在四边形的各边上取中点，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ①；②；③；④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 4．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 5．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状             不相等不垂直 平行四边形 菱形                                   如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是和的中位线， ，（ ）， ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． 请你补全上述过程中的证明依据 ． 【探究二】 从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． 下面我们结合图2来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ． 下面我们结合图3来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 压轴真题题型11 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．2 C．2 D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在正方形中，，为对角线上与点A，不重合的一个动点，过点作于点于点，连接，下列结论：①；②；③：④的最小值为3，其中正确的结论是(    ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是 ． 5．（2023·河南南阳·一模）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 6．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，、分别从、同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问： (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)四边形可能是矩形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由； (3)四边形可能是菱形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由． 7．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E．    (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即 ，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 9．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，联结，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，联结、，求证：． 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 12．（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形及特殊平行四边形 重难点题型分类 【题型1：平行四边形中求角度题】 【题型2：平行四边形中求线段长题】 【题型3：平行四边形中求面积周长题】 【题型4：平行四边形中证明题】 【题型5：平行四边形中折叠题】 【题型6：平行四边形中动点题】 【题型7：平行四边形中平移题】 【题型8：平行四边形中旋转题】 【题型9：平行四边形中存在性题】 【题型10：平行四边形综合题】 【题型11：压轴真题】 平行四边形中求角度题题型1 1．如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在边和上，则（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 2．如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 3．如图，在正方形中，，连接，，平分交于，过作交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分交于， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 4．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，D为的中点，点E在上，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，D为的中点， ， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，点E为对角线的中点，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∵，点E为对角线的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 平行四边形中求线段长题题型2 1．如图，在平行四边形中，连接，且，过点A作于点M，过点D作于点N，且，在的延长线上取一点P，满足，则的长是（ ） A． B． C．6 D．12 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 又， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ∴由勾股定理得：． 故选：A． 2．如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【详解】解∶延长交的延长线于点，如图所示∶ ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴在中，由勾股定理得∶， ∵平分． ∴ ∵． ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选∶． 3．如图，在矩形中，点是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故选B． 4．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【详解】解：连接并延长，使，连接，，如图所示： ∵N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵M为的中点，， ∴． 故选：C． 7．如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 8．小明用四根长度相同的木条首尾相接制作了能够活动的学具，他先活动学具成为图1所示形状，并测得，接着活动学具成为图2形状所示，并测得，若图2中对角线，则图1中对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形是菱形（图1）， 当时，四边形是正方形（图2）， ∴图2中，， ∴在中，， ∴， 在图1中，连接，交于，如图所示： ∵，四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 平行四边形中求面积周长题题型3 1．如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．120 B．240 C．80 D．160 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵点O是中点，即是斜边上的中线， ∴， ∴菱形的面积， 故选：A． 3．如图，正方形的边长均为定值，点H在线段上，从点F向点C运动，在这个过程中，的面积（   ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．不确定 【详解】解：∵四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴与之间的距离处处相等， 设与之间的距离为h， ∴的面积，是定值， 故选：C． 4．如图，已知等边三角形被一矩形所截，被截成三等分，且．若，则四边形的周长为（    ） A．30 B．27 C．24 D．21 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵被一矩形所截，被截成三等分， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为：． 故选：D． 5．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 【详解】解：连接， ∵是等腰斜边中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， 由，得， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， 故选：． 6．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A． 7．如图，在菱形中，对角线交于点是边上一点，且．若，则菱形的周长为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【详解】解：∵是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴菱形的周长为， 故选：C． 8．如图，将两张宽度都为的矩形纸片交叉叠放在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由题意可得，四边形为平行四边形， 如图，作于，于，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：A． 平行四边形中证明题题型4 1．如图，在中，是的中点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解： 由（1）可知四边形是矩形． ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵ ∴ 2．如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 3．如图在四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线．于点E，交于点F，，连接，． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接， ∵点O为对角线的中点， ∴点O在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即的长为． 4．如图，在中，E，F分别为边，的中点，连接、、． (1)求证：． (2)若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【详解】（1）证明：在中， ，，，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴， ∴； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 在中， ，， ∵E，F分别为边，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形为菱形． 5．课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形．    (2)知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，．    ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．    6．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 7．已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明． 【详解】解：添加：①，理由如下： 如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加：②；理由： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加：③， 由②得，， 不能证明， ∴不能证明四边形是平行四边形． 8．如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，， ∴，， ∵菱形 ∴， 如图，在取，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 9．如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 【详解】（1）证明：，，，分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：若，四边形是矩形，理由如下： 作交于点， 交于点， ，，，分别是、、、的中点， 、分别是、的中位线， ，，同理可证，， ，同理可证， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ，， ， 在四边形中，， 四边形是矩形； 10．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）解：在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．综合与实践：折叠中的数学． 【主题】四边形与折纸 【素材】如图①，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：再沿对角线对折，将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形． 【实践探索1】判断四边形的形状为______，面积为______； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕． 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】判断四边形的形状，并加以证明． 【详解】（1）解：四边形的形状为菱形， 理由如下： 由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， 由折叠可得：， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：菱形，； （2）解：平行四边形是菱形， 证明：如图③， 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． 12．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵由题意得， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 若四边形是矩形，则， 由题意得，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或， ∴或时，四边形是矩形； （3）解：可以是菱形但不能是正方形， 当P为的中点时， 此时， ∵ ， ， ， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 由（2）得： 或时，四边形是矩形， ∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴四边形不可能为正方形 平行四边形中折叠题题型5 1．在中，，，，是边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点与点．重合，折痕为，则的周长为（    ）      A．9.5 B．10 C．11 D．15.5 【详解】由折叠的性质得： AD是BC边上的高，即 ， 同理可得： 又 点E是AB的中点，点F是AC的中点 是的中位线 则的周长为 故选：D． 2．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把沿着AD翻折，得到，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，，，的面积为9，则点F到BC的距离为（    ） A．1.4 B．2.4 C．3.6 D．4.8 【详解】如图，连接BE，交AD于点O．过点E作于点H，点F作于点G， 由翻折可知AB=AE，，BD=DE， 又∵AO=AO， ∴， ∴BO=EO，， ∴． ∵点F是DE的中点，EF=2.5， ∴DF=EF=2.5，BD=DE=5， ∴和等底同高， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴在中，， ∵． ∴． 又∵， ∴， 解得：． ∵点F是DE的中点，，， ∴FG为中位线， ∴．故选B． 3．如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 4．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质可知， ，则的周长为： ． 故选C． 5．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 【详解】解：如图，当时，    矩形中，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则： 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴， 综上，或， 故选．D． 6．如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在菱形中，，E，F分别是的中点，将沿着折叠得到，若恰好落在上，则菱形的面积为 ． 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交的延长线于， 四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 8．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 9．正方形中，边长，点M为边上一动点（不与端点重合），沿将折叠，点B的对应点为点E，连接，，当是等腰三角形时， ． 【详解】解：∵正方形中，边长， ∴，， ①当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时，过E作于F，于G， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； ③当时，E和B或D重合，则M和B或A重合，不符题意，舍去， 综上，或 故答案为：或． 10．如图，正方形的边长是8，E是的中点，连接，将沿折叠，点B的对应点是F，连接，则的面积是 ． 【详解】解：如图，延长，交于点G， 四边形是边长为8的正方形， ，， 为的中点， ， 根据折叠的性质可得，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， ， ，即， ， 的面积， 故答案为：． 11．如图，正方形的边长为，在边上存在一点（不与点，重合），将沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在正方形的对称轴上时，的长为 ． 【详解】解：依题得：符合边上存在点（不与，重合）且满足题意的共三种情况： ①当点落在对称轴上时，如下图， 此时有， ，， 正方形中，，， ，， ， 设，则， 中，， 即， 解得， 即； ②当点落在对称轴上时，如下图， 此时有， ，， 正方形中，， 垂直平分、， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即； ③当点落在对称轴上时，作分别交、于点、， 此时有， ，， 正方形中，， 垂直平分、，， 又， 四边形是矩形， ，，， 垂直平分，即， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 综上所述，或或． 12．如图，已知正方形的边长为，为的中点，是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点，则的取值范围是 ． 【详解】解：如图1，点与点重合，此时点在边上， 正方形的边长为2， ， 由折叠得， 的最大值为2； 如图2，连接， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 的最值范围是， 故答案为：． 平行四边形中动点题题型6 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况： ①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm， ∴BQ＝AP＝4cm； ∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动， ∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s， ∴v的值为：4÷2＝2cm/s； ②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm， ∵5÷2＝2.5s， ∴2.5v＝6， ∴v． 故选：D． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【解答】解：如图，延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM． ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AB＝AD， ∴∠APD+∠ADP＝120°， ∵BM＝AP， ∴AD＝MP， ∵△PDQ为等边三角形， ∴DP＝PQ，∠DPQ＝60°， ∴∠MPQ+∠APD＝120°， ∴∠ADP＝∠MPQ． 在△ADP和△MPQ中， ， ∴△ADP≌△MPQ（SAS）， ∴AP＝MQ，∠M＝∠A＝60°． 又∵BM＝AP， ∴△BMQ是等边三角形， ∴BQ＝AP． ∵AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∴BC＝CQ+BQ＝3t cm． ∵BC＝6cm． ∴3t＝6， ∴t＝2．故选：D． 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（　　） A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝∠DCE＝90°， 如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM'＝CE＝3， 由题意得：BM′＝2t﹣4＝3， 所以t＝3.5； 当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″＝CE＝3， 由题意得：AM″＝16﹣2t＝3， 解得t＝6.5． 所以，当t的值为3.5或6.5时．△ABM和△DCE全等． 故选：D． 5．已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝CD， ∵CD＝CP， ∴CP＝CD＝DP， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC， 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得：t＝0； ②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得：t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得：t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得：t＝9.6； 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 6．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ． （1）求证：PE＝DQ； （2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵PE⊥BC， ∴∠BEP＝90°， 在Rt△BEP中，BP＝2t， ∵∠CBD＝30°， ∴PE＝t， 又∵DQ＝t， ∴PE＝DQ； （2）解：①当∠EPQ＝90°时，四边形EPQC为矩形， ∴PE＝QC， ∵PE＝t，QC＝4﹣t， ∴t＝4﹣t，即t＝2； ②当∠PQE＝90°时，∠DPQ＝∠PQE＝90°， 在Rt△DPQ中，∠PQD＝90°﹣60°＝30°， ∴DQ＝2DP， ∵DQ＝t，DP＝8﹣2t ∴t＝2（8﹣2t）， ∴t， ③当∠PEQ＝90°时，此种情况不存在， 综上所述，当t＝2或时，△PQE为直角三角形． 7．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN． （1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【解答】解：（1）△AMN是等边三角形， 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（ASA）， ∴AM＝AN， ∵∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形； （2）四边形CMAN的面积不发生变化，理由如下： ∵△BAM≌△CAN， ∴S△BAM＝S△CAN， ∴四边形AMCN的面积＝S△ACD2， ∴四边形AMCN的面积不发生变化． 8．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）． （1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值； （2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值． 【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm， ∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形， ∴CQ＝（8﹣t）cm， 当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴2t＝8﹣t， 解得t， 即t的值为s； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵AP⊥BQ， ∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， ∴△ABP≌△BCQ（ASA）， ∴BP＝CQ， ∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t， ∴2t﹣8＝8﹣t， 解得t， 即t的值为s． 平行四边形中平移题题型7 1．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形沿方向平移得到正方形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， 故选：A． 2．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【详解】解∶∵A，的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴， 又∵轴， ∴点的坐标为， ∵将菱形平移，使点A与原点重合， ∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为，即． 故选∶A． 3．如图，等腰直角，，，将沿射线平移个单位，得到，连接，则的面积是（     ） A．6 B．2 C．12 D．1 【详解】解：如图，过作于点， ， 由平移得，， ∴． ∵ ∴ ∴的面积． 故选：． 4．某学习小组将两块含角的全等三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究（如图1），其中，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接（如图2），下列关于四边形的说法正确的个数有（    ） ①一直是平行四边形；②平移后是矩形；③平移后是菱形；④在平移的过程中，依次会出现矩形、菱形、正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①，且，，， ，， 根据平移的性质得：，， 在平移的过程中，四边形一直是平行四边形， 故结论①正确； ②在中，，，， ， 由勾股定理得：， 当平移后，则，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 为直角三角形，即， 四边形一直是平行四边形， 此时四边形是矩形， 故结论②正确； ③， 当平移后，点与点重合，此时点，，在同一条直线上，如图所示： ，，且， 四边形是菱形， 故结论③正确； ④由①②③可知：平移后是矩形，平移后是菱形，在其它情况下是平行四边形， 又四边形在既是矩形又是菱形时才是正方形， 在平移的过程中，不可能出现正方形， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 5．如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到． (1)求证：； (2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴ （2）解：当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由平移的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 6．如图，在中，，，，点为的中点，连接，将沿射线的方向平移，使平移的距离等于线段的长，得到，连接． (1)求平移过程中扫过的图形的面积； (2)求证：垂直平分． 【详解】（1）解：如图，连接，， 由平移可知：，， 四边形，是平行四边形， ，，， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， ． ， 四边形是菱形， ，， ， ， 由平移性质可知：扫过的图形的面积是的面积平行四边形的面积， 平移过程中扫过的图形的面积； （2）证明：由（1）知：四边形是菱形， 垂直平分， 垂直平分． 7．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形，其判定的依据是______； 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和，其中，，将它们按图②放置，落在边上，、与边分别交于点、．求证：四边形是菱形； 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长、交于点，得到图③．若四边形的周长为，，则四边形的面积为______． 【详解】操作发现：解：四边形总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 探究提升：证明：∵四边形纸条和是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是菱形； 结论应用：解：∵将平行四边形纸条沿或平移， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 由探究提升知是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 过P作于Q， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 8．解答： 探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．       素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．    素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．    问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长． 【详解】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，    ∵E、F分别为，的中点， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由拼接，得，， ∴四边形是平行四边形． 选方法二，如图2，连结， ∵E、F分别为，的中点， ∴， 同理， ∴， 同理可证， 由拼接，得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变， ∴， ∴， 由题意，得， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得． 平行四边形中旋转题题型8 1．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7； 故选：A． 2．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，，， ，点是的中点，， 是的中位线， ， 正方形、正方形的边长分别为4和1， ，， ， 的最大值为， 的最大值为， 故选：D． 3．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点B旋转到位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，③错误； ∵， ∴， 故②正确， ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，长度最小，即长度最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长最小值为，故④错误，故选：B． 4．在和中，，，． (1)如图①，当点D在内部时，求证：． (2)将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①同（1），证明， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 解得，则； ②连接，取中点F，连接、， ∵M，N分别为，的中点， ∴为的中位线，， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由①知，，， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 5．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动．则下列结论正确的是________（填序号即可） ①；②；③四边形的面积总等于； ④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1， ∴； ， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 故①②正确； 根据正方形的性质，得， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 根据勾股定理得到， 故， 故④正确． 故答案为：①②③④ （2）解：连接， 连接，并延长交于点， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点， ∴；，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，， ∴． 6．【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 (1)如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； (2)如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形中，，，， ∴， ∵DE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1； （2） （2）∵点E，F分别是和的中点， ∴，， ∵的面积点D到的距离点D到的距离， ∴当点D到的距离最大时，的面积有最大值， ∴将线段绕点B旋转时，点D到的距离最大，即为， 如图， ∴的面积的最大值为：， 故答案为：12． 7．综合与实践 【问题情境】： 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】： 当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的长． 【详解】解：[操作发现] ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴直线与的夹角度数为， 故答案为：，； [深入探究] ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； [迁移探究] 如图，当在上时，连接，交于点， ∵，，四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在上时，延长，交延长线于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， 由（）可得三点共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得：， 综上可知：线段的长． 8．【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 平行四边形中存在性题题型9 1．如图，正方形的对角线，相交于点，点是边上的一动点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分位置时，与是否存在一定的数量关系?若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，． 2．如图1，在长方形中，，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)在图2中，当点P从点B开始运动，点Q从点C出发，以秒的速度沿向点D运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，问是否存在这样的v值，使得与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则， 故答案为； （2）结论：当时，， 理由：∵当时，， ， ∵在和中， ； （3）①当时，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时与以点P、Q、C三点为顶点的三角形全等． 3．如图，在中，，，，动点在边上，，动点在射线上，． (1)若点是边上一点，在点，运动过程中，是否存在的值，使得以，，，顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图，过点作交的延长线于点．过点作交的于点连接，把沿翻折得到，当与的一边平行时，的长______（直接写出答案） 【详解】（1）解：如图中，当点在线段上时，即时，四边形是平行四边形， 过点作于． 由题意，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图中，当点在的延长线上时，即时，四边形是平行四边形， 同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． （2）解：如图中，当时，过点作于． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由题意，四边形是菱形， ， ， ． 如图中，当时，设交于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图中，当时，四边形是菱形， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或或． 平行四边形综合题题型7 1．如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：过点E作，交于点H， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， 故②正确； 连结，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的结论有4个． 故选：D． 2．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 3．如图，分别在四边形的各边上取中点，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ①；②；③；④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【详解】解：如图，     顺次连接，连接，连接交于点， ∵分别在四边形的各边上取中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由对称性可得：， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， 故④正确； 四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故②不正确； 依题意，四边形四边形，四边形四边形， 由题意得，四边形是由移动得到的， ∵， ∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的， ∴， 即在同一条直线上，， ∴， 又∵四边形是由四边形移动后得到的， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴四边形四边形， ∴， ∴， 故③正确； 故答案为：B． 4．在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且． 求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ．∴． …… 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：四边形是矩形， ， ． 点是的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 5．综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状             不相等不垂直 平行四边形 菱形                                   如图，在四边形中，、、、分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是和的中位线， ，（ ）， ． 同理可得：． 中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． 请你补全上述过程中的证明依据 ． 【探究二】 从作图、测量结果得出猜想：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． 下面我们结合图2来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ． 下面我们结合图3来证明猜想，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【详解】证明：、、、分别是、、、的中点， 、分别是和的中位线， ，（ 三角形中位线定理）， ， 同理可得：， 中点四边形是平行四边形． 故答案为：三角形中位线定理； 证明：由可知，， ， ， 中点四边形是菱形； 从作图、测量结果得出猜想：原四边形对角线垂直时，中点四边形是是矩形， 故答案为：矩形； 证明：由可知、分别是和的中位线， ， 同理可证：， ， 、、、， ， 四边形是矩形． 压轴真题题型11 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．2 C．2 D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，在上取点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴，即M、P、N三点共线， 如图2，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在正方形中，，为对角线上与点A，不重合的一个动点，过点作于点于点，连接，下列结论：①；②；③：④的最小值为3，其中正确的结论是(    ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（   ） ①；②四边形是菱形；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 4．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是 ． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故答案为：①③④ 5．（2023·河南南阳·一模）综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点． (1)【感知】如图，若点是边的中点，小南经过探索发现了线段与之间的数量关系 ． (2)【探究】如图，小阳说“点为上任意一点时，（）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由； (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【详解】（1）解：连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：同意，理由如下： 连接， 同理（）可得， ∴； （3）解：过点作于点， 同理（）可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由（）知，， ∴， ∴或． 6．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，动点从点开始沿边向以秒的速度运动，、分别从、同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问： (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)四边形可能是矩形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由； (3)四边形可能是菱形吗？如果可能，求出的值；如果不可能，说明理由． 【详解】（1）解：∵，，动点以秒的速度运动，动点以秒的速度运动， ∴，， ∵其中一点到端点时，另一点也随之停止运动， ∴最大运动时间为， ∵已知设运动时间为秒，则，， ∴，， ∵当四边形是平行四边形时，， ∴，解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形． （2）解：四边形可能是矩形； 当四边形是矩形时，， ∴，解得， ∴当秒时，四边形是矩形． （3）解：四边形不可能是菱形； 过点作，垂足为， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 由（1）得：秒时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形不可能是菱形． 7．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是矩形，点A，C别在x轴，y轴上，点B的坐标是，的平分线与x轴交于点E．    (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)连接，交于点F，连接，点N是平面内任意一点，在x轴上是否存在点M，使得以O，F，M，N为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题知，在矩形中，点B的坐标是， ∴，， ∴； （2）解：过点E作， ∵在矩形中，的平分线与x轴交于点E， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：；    （3）解：在矩形中，点B的坐标是， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线和直线交于点F， ∴， 解得：， ∴， ①当、都为菱形的边时，， ∴或； ②当为菱形的边，为菱形对角线时，如下图，        ∴， ∴， 综上，满足条件的点M的坐标为或或． 8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即 ，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【详解】（1）（1）证明：， ，，， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ，， ，， ，， ，， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积是86． 9．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，联结，将绕点P顺时针方向旋转，得到，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，联结，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，联结、，求证：． 【详解】（1）如图1， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①如图1， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ； ②如图2，延长至N，使，联结、， 在与中， ， ， ，； ， 是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ； 四边形是平行四边形， ， ， ； 在与中， ， ， ，， ； 延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，， ， 在中，， 10．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的一边 在轴上，点 的坐标为，点的坐标为 ． (1)求证：四边形 为正方形； (2)如图2，若点 为 中点，连接 ，直线 交 于点 ，交 轴于点 ． ①求 的面积； ②点在轴的正半轴上，平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为正方形； （2）①由(1)知，，四边形为正方形， ∴， ∵点F为中点 ∴， 设由，的直线解析式为， 把代入，可得出， ∴解析式为 设，得直线解析式为， 则， 解得：， ∴解析式为， 联立 解得：， ∴， 在中， 另，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②平面内存在点N，使以点A，H，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下∶ 设，，而，， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴， 解得：或（此时，M不在x轴正半轴上，舍去）， ∴， 当，为对角线时，，的中点重合，且， ∴ 解得：或（舍去）， ∴，综上：N的坐标为，或或 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点作于点，如图， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 12．（24-25八年级上·山西大同·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明， ，得；再由条件可得，证明， 进而可得线段，，之间的数量关系是 ．（直接写出结论） （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 学以致用： 如图3，四边形是边长为1的正方形，，直接写出△的周长． 【详解】解：（1）延长到点，使，连结， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的线段，，之间的数量关系还成立；理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，， ， 同（1）理：， ，， ， ， ，又， ， ， ， ； （3）如图3，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， △的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$