第五课时反比例的意义及辨析（分层作业）六年级下册数学（西师大版）

第五课时 反比例的意义及辨析 一、选择题 1．下面算式中的和不成比例关系的是（    ）。 A． B． C． 2．长方形的面积一定，它的长和宽（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 3．有、、三个相关联的量，并且∶4＝∶，当z一定时，和（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 4．全班人数一定，出勤人数和出勤率（ ）比例。 A．成正 B．成反 C．不成 5．下面的描述中错误的是（    ）。 A．实际距离一定，图上距离和比例尺成正比例 B．小麦的总产量一定，每公顷产量和公顷数成反比例 C．正方体的表面积和它的棱长成正比例 二、填空题 6．下面各题中的两个相关联的量是不是成比例？如果成比例，成什么比例？ (1)圆柱的侧面积一定，它的底面周长与高。( ) (2)六（1）班的小组数和平均每组人数。( ) (3)明明从家到学校已走的路程和剩下的路程。( ) (4)车轮的周长一定，行驶的路程和车轮转数。( ) 7．一辆汽车行驶的路程一定，速度和时间成( )比例；速度一定，路程和时间成( )比例。 8．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是( )，a和b成( )比例关系。 9．如果，那么a和b成( )比例；如果6a＝9b，那么a和b成( )比例。 10．已知y是x的倍，则y∶x＝( )∶( )，y和x成( )比例。 11．下图中，如果A与B成正比例，则＝( )；如果A与B成反比例，则＝( )。 12．有x、y、z三个相关联的量，并有xy＝z。 (1)当z一定时，x与y成( )比例关系； (2)当x一定时，z与y成( )比例关系； (3)当y一定时，z与x成( )比例关系。 13．已知和成反比例，请填写下表。 25 8 40 4 16 0.5 1.25 三、判断题 14．李老师从家到学校已经走了的路程和剩下的路程成反比例关系。( ) 15．运送一批货物，每天运的吨数和需要的天数成反比例。( ) 16．若圆柱的底面积一定，则圆柱的体积和高成正比例。( ) 17．三角形的面积一定，底边和这个底边上的高成反比例。( ) 18．广州到北京的航线长一定，飞机飞行的速度和时间成反比例。( ) 四、解答题 19．判断下面每题中的两种量是否成比例，如果成比例，说一说成什么比例。 （1）车轮的半径一定，行驶的路程和转数。 （2）一个班的男生人数和女生人数。 （3）钢笔的单价一定，买钢笔的数量和应付的钱数。 （4）教室的面积一定，教室里的人数和平均每人所占的面积。 20．观察下表并回答问题。 方砖面积/平方米 1 2 3 4 6 方砖数量/块 48 24 16 12 8 铺地面积/平方米 （1）填写上表。 （2）表中（          ）和（          ）是两种相关联的量。 （3）两种量中相对应的两个数的乘积都（    ），这个积表示（                ）。 （4）因为（    ）一定，所以（          ）和（          ）成反比例。 21．某林场计划组织志愿者完成一批栽种任务，每人栽种的棵数与栽种的人数的关系如下表所示。 每人栽种的棵数（棵） 5 10 15 20 30 人数（人） 60 30 20 15 10 （1）如果每人栽种的棵数用m表示，需要的人数用t表示。用式子表示出m、t和栽种总棵数之间的关系是（    ），m和t成（    ）比例关系，判断的理由是（    ）。 （2）如果这批栽种任务需要25人完成，每人需要栽种多少棵？ 22．给一间教室铺地转，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表。 每块地砖面积cm2 300 400 600 800 所需地砖的数量块 1600 1200 800 600 （1）所需地砖数量与每块地砖的面积是成正比例还是反比例关系？为什么？ （2）如果使用面积为1500cm2的地砖，那么铺完这间教室需要多少块地砖？ 23．看图回答问题。 （1）速度和时间是否成反比例关系？ （2）当速度为80千米/时时，所用时间是多少？ 24．甲、乙两个圆柱形容器，底面积比是4：3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，现在往两个容器中注入同样多的水，直到水的深度一样为止，这时甲、乙两个容器中的水深多少厘米？ 4 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五课时 反比例的意义及辨析 一、选择题 1．下面算式中的和不成比例关系的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A．，则（一定），比值一定，那么和成正比例关系，不符合题意； B．，则（一定），乘积一定，那么和成反比例关系，不符合题意； C．（一定），差值一定，那么和不成比例关系，符合题意。 故答案为：C 2．长方形的面积一定，它的长和宽（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】根据长方形的面积＝长×宽，面积一定，即长和宽的乘积一定，符合反比例的定义，即长方形的长和宽成反比例。 故答案为：C 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 3．有、、三个相关联的量，并且∶4＝∶，当z一定时，和（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】由∶4＝∶，可得∶＝4∶； 当z一定时，则∶＝（一定），比值一定，则和成正比例关系。 故答案为：A 4．全班人数一定，出勤人数和出勤率（ ）比例。 A．成正 B．成反 C．不成 【答案】A 【分析】根据出勤率的计算公式判断出出勤人数和出勤率的商一定还是乘积一定，如果商一定就成正比例；如果乘积一定就成反比例；否则不成比例。 【详解】出勤人数÷出勤率＝全班人数，出勤人数和出勤率的商一定，二者成正比例。 故答案为：A 5．下面的描述中错误的是（    ）。 A．实际距离一定，图上距离和比例尺成正比例 B．小麦的总产量一定，每公顷产量和公顷数成反比例 C．正方体的表面积和它的棱长成正比例 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【详解】A．根据比例尺＝图上距离∶实际距离可知：＝实际距离（一定），图上距离和比例尺的比值一定，两者成正比例关系，即实际距离一定，图上距离和比例尺成正比例，原说法正确； B．每公顷产量×公顷数＝小麦的总产量（一定），每公顷产量和公顷数的乘积一定，两者成反比例关系；即小麦的总产量一定，每公顷产量和公顷数成反比例，原说法正确； C．根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6可知：＝6（一定），即正方体的表面积和棱长的平方成正比例关系，不是和棱长成正比例关系，原说法错误。 故答案为：C 二、填空题 6．下面各题中的两个相关联的量是不是成比例？如果成比例，成什么比例？ (1)圆柱的侧面积一定，它的底面周长与高。( ) (2)六（1）班的小组数和平均每组人数。( ) (3)明明从家到学校已走的路程和剩下的路程。( ) (4)车轮的周长一定，行驶的路程和车轮转数。( ) 【答案】(1)成反比例 (2)成反比例 (3)不成比例 (4)成正比例 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】（1）因为圆柱的底面周长×高＝侧面积（一定），乘积一定，所以它的底面周长与高成反比例。 （2）因为六（1）班平均每组人数×小组数＝六（1）班总人数（一定），乘积一定，所以六（1）班的小组数和平均每组人数成反比例。 （3）因为已走的路程＋剩下的路程＝明明从家到学校的路程（一定），和一定，所以明明从家到学校已走的路程和剩下的路程不成比例。 （4）因为行驶的路程÷车轮转数＝车轮的周长（一定），商一定，所以行驶的路程和车轮转数成正比例。 7．一辆汽车行驶的路程一定，速度和时间成( )比例；速度一定，路程和时间成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】速度×时间＝路程（一定），乘积一定，所以速度和时间成反比例； 路程÷时间＝速度（一定），商一定，所以路程和时间成正比例。 【点睛】掌握速度、时间、路程之间的关系，正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。 8．某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是( )，a和b成( )比例关系。 【答案】 a×70%＝b 正 【分析】用现价÷原价×100%，求出打几折；把原价看作单位“1”，用原价×折扣＝现价，据此用式子表示a和b之间的数量关系。判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】140÷200×100% ＝0.7×100% ＝70% 70%就是七折。 a×70%＝b ＝70%（一定），则a和b成正比例。 某商场所有物品都打同样的折扣销售。原价200元的衣服，现价140元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b之间的数量关系是a×70%＝b，a和b成正比例关系。 9．如果，那么a和b成( )比例；如果6a＝9b，那么a和b成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】将按照比例的基本性质转化为ab＝54，即ab两个量的乘积是一定的，当两个相关联的量的乘积一定时，两个量成反比例；6a＝9b，根据比例的基本性质转化为，即两个量的商是一定的，当两个相关联的量的商一定时，两个量成正比例。 【详解】，则ab＝54（一定），则a和b成反比例； 6a＝9b，则（一定），则a和b成正比例。 10．已知y是x的倍，则y∶x＝( )∶( )，y和x成( )比例。 【答案】 5 4 正 【分析】两个数相除又叫两个数的比，表示两个比相等的式子叫比例。y是x的倍，则y÷x＝，所以y∶x＝5∶4。 两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【详解】通过分析可得：y÷x＝，所以y∶x＝5∶4； y÷x＝，则y和x的商一定，所以y和x成正比例。 11．下图中，如果A与B成正比例，则＝( )；如果A与B成反比例，则＝( )。 【答案】 4 16 【分析】如果A与B成正比例，则A与B的比值一定，据此写出比例式：10∶8＝5∶x，根据比例的基本性质，先写成10x＝8×5的形式，根据等式的性质2，两边同时÷10，即可求出x的值。 如果A与B成反比例，则A与B的乘积一定，据此可以写出反比例算式：5x＝10×8，根据等式的性质2，两边同时÷5，即可求出x的值。 【详解】如果A与B成正比例，则： 10∶8＝5∶x 解：10x＝8×5 10x＝40 10x÷10＝40÷10 x＝4 如果A与B成反比例，则： 5x＝10×8 解：5x＝80 5x÷5＝80÷5 x＝16 如果A与B成正比例，则＝4；如果A与B成反比例，则＝16。 12．有x、y、z三个相关联的量，并有xy＝z。 (1)当z一定时，x与y成( )比例关系； (2)当x一定时，z与y成( )比例关系； (3)当y一定时，z与x成( )比例关系。 【答案】(1)反 (2)正 (3)正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】（1）xy＝z，当z一定时，即积一定，x与y成反比例关系； （2）z÷y＝x，当x一定时，即商一定，z与y成正比例关系； （3）z÷x＝y，当y一定时，即商一定，z与x成正比例关系。 【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。 13．已知和成反比例，请填写下表。 25 8 40 4 16 0.5 1.25 【答案】6.25；200；80 12.5；2.5 【分析】 已知和成反比例，即、的乘积是一定的，当＝25，＝4时，求出的乘积是100；再根据“积÷一个因数＝另一个因数”，据此求出表格中未知的或的值。 【详解】25×4＝100 100÷16＝6.25 100÷0.5＝200 100÷1.25＝80 100÷8＝12.5 100÷40＝2.5 如下表： 25 6.25 8 200 40 80 4 16 12.5 0.5 2.5 1.25 三、判断题 14．李老师从家到学校已经走了的路程和剩下的路程成反比例关系。( ) 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【详解】已经走了的路程＋剩下的路程＝总路程（一定），是和一定，所以李老师从家到学校已经走了的路程和剩下的路程不成比例关系。所以原题说法错误。 故答案为：× 15．运送一批货物，每天运的吨数和需要的天数成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】每天运的吨数×需要的天数＝运送一批货物（一定） 乘积一定，则每天运的吨数和需要的天数成反比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。 16．若圆柱的底面积一定，则圆柱的体积和高成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则它们成正比例；若它们的乘积一定，则它们成反比例。 【详解】因为圆柱的体积＝底面积×高，则＝底面积（一定），它们的比值一定。 所以说圆柱的体积和其高成正比例关系。 故答案为：√ 【点睛】解答此题的主要依据是：若两个量的商一定，则这两个量成正比例。 17．三角形的面积一定，底边和这个底边上的高成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断三角形的底边和这个底边上的高是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。 【详解】因为三角形的面积＝底×高÷2，即S＝ah÷2，所以ah＝2S（一定），符合反比例的意义，所以，三角形的面积一定，底边和这个底边上的高成反比例。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断。 18．广州到北京的航线长一定，飞机飞行的速度和时间成反比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为：飞机的速度×时间＝广州到北京的航线长（一定），即乘积一定，所以飞机飞行的速度和时间成反比例； 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 四、解答题 19．判断下面每题中的两种量是否成比例，如果成比例，说一说成什么比例。 （1）车轮的半径一定，行驶的路程和转数。 （2）一个班的男生人数和女生人数。 （3）钢笔的单价一定，买钢笔的数量和应付的钱数。 （4）教室的面积一定，教室里的人数和平均每人所占的面积。 【答案】（1）成正比例 （2）不成比例 （3）成正比例 （4）成反比例 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，关系式是y：x＝k（一定），k不等于0；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，关系式是xy＝k（一定），k不等于0，据此解答。 【详解】（1）因为行驶的路程÷转数＝车轮的周长，当车轮的半径一定，车轮的周长也是一定的，所以行驶的路程和转数成正比例； （2）因为男生人数＋女生人数＝全班人数（一定），这里是和一定，所以一个班的男生人数和女生人数不成比例； （3）因为买钢笔应付的钱数÷买钢笔的数量＝钢笔的单价（一定），当钢笔的单价一定，买钢笔的数量和应付的钱数成正比例； （4）因为教室里的人数×每人所占的面积＝教室的总面积（一定），当教室的面积一定，教室里的人数和平均每人所占的面积成反比例。 20．观察下表并回答问题。 方砖面积/平方米 1 2 3 4 6 方砖数量/块 48 24 16 12 8 铺地面积/平方米 （1）填写上表。 （2）表中（          ）和（          ）是两种相关联的量。 （3）两种量中相对应的两个数的乘积都（    ），这个积表示（                ）。 （4）因为（    ）一定，所以（          ）和（          ）成反比例。 【答案】（1）48；48；48；48；48 （2）方砖面积；方砖数量 （3）相等；铺地面积 （4）铺地面积；方砖面积；方砖数量 【分析】（1）根据“每平方米方砖的面积×方砖数量＝铺地面积”，代入数据计算，把表格补充完整。 （2）（3）（4）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】（1）1×48＝48（平方米） 2×24＝48（平方米） 3×16＝48（平方米） 4×12＝48（平方米） 6×8＝48（平方米） 如下表： 方砖面积/平方米 1 2 3 4 6 方砖数量/块 48 24 16 12 8 铺地面积/平方米 48 48 48 48 48 （2）表中方砖面积和方砖数量是两种相关联的量。 （3）两种量中相对应的两个数的乘积都相等，这个积表示铺地面积。 （4）因为铺地面积一定，所以方砖面积和方砖数量成反比例。 21．某林场计划组织志愿者完成一批栽种任务，每人栽种的棵数与栽种的人数的关系如下表所示。 每人栽种的棵数（棵） 5 10 15 20 30 人数（人） 60 30 20 15 10 （1）如果每人栽种的棵数用m表示，需要的人数用t表示。用式子表示出m、t和栽种总棵数之间的关系是（    ），m和t成（    ）比例关系，判断的理由是（    ）。 （2）如果这批栽种任务需要25人完成，每人需要栽种多少棵？ 【答案】（1）栽种总棵数＝mt；反；栽种总棵数一定，即m和t的积一定 （2）12棵 【分析】（1）每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数，据此用字母表示出m、t和栽种总棵数之间的关系。根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系。 （2）设每人需要栽种x棵，根据每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】（1）5×60＝300（棵）、10×30＝300（棵）、15×20＝300（棵）… 用式子表示出m、t和栽种总棵数之间的关系是栽种总棵数＝mt，m和t成反比例关系，判断的理由是栽种总棵数一定，即m和t的积一定。 （2）解：设每人需要栽种x棵。 25x＝5×60 25x＝300 25x÷25＝300÷25 x＝12 答：每人需要栽种12棵。 22．给一间教室铺地转，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表。 每块地砖面积cm2 300 400 600 800 所需地砖的数量块 1600 1200 800 600 （1）所需地砖数量与每块地砖的面积是成正比例还是反比例关系？为什么？ （2）如果使用面积为1500cm2的地砖，那么铺完这间教室需要多少块地砖？ 【答案】（1）成反比例关系，原因见详解； （2）320块 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）用教室的总面积除以1500即可。 【详解】（1）答：所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例关系，因为，，，所以每块砖的面积×所需地砖数量＝教室的总面积（一定），乘积一定，所以所需地砖数量与每块地砖的面积是成反比例关系。 （2）（块） 答：需要320块。 【点睛】本题考查了正比例和反比例，乘积一定的两个量成反比例，商一定的两个量成正比例。 23．看图回答问题。 （1）速度和时间是否成反比例关系？ （2）当速度为80千米/时时，所用时间是多少？ 【答案】（1）成反比例关系； （2）1.25小时 【分析】（1）图中时间的速度相乘的积是路程，只需要找几个点计算出路程判断路程是否不变即可。 （2）先根据第一问用速度乘时间求出路程，再用路程除以80km/h即可算出时间。 【详解】（1）10×10＝100（千米/时） 4×25＝100（千米） 答：速度和时间成反比例关系。 （2）10×10÷80 ＝100÷80 ＝12.5（小时） 答：所用时间是12.5小时。 【点睛】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 24．甲、乙两个圆柱形容器，底面积比是4：3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，现在往两个容器中注入同样多的水，直到水的深度一样为止，这时甲、乙两个容器中的水深多少厘米？ 【答案】19 【详解】试题分析：根据体积相等时，圆柱的底面积和高成反比，底面积比为4：3，那么注入同体积的水的深度比是3：4．根据题中条件可求出甲容器要注入几厘米深的水，即可求出现在的水深． 解：注入甲乙相同体积的水的深度的比是3：4． 甲容器要注入的水深：（7﹣3）÷（4﹣3）×3=12（厘米） 这时的水深：12+7=19厘米． 答：这时甲、乙两个容器中的水深19厘米． 点评：此题主要根据题意得出诸如同体积水深的比，再求出注入的水深，即可求出现在水深． 12 13 学科网（北京）股份有限公司 $$