精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025届高三下学期一模考试数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 2. 已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的定义计算即可. 【详解】在复平面内对应的点为，则， ，即，所以有. 故选：D 3. 甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩，结合平均数、中位数、极差和方差的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩， 对于A中，可得甲成绩的平均数为， 乙成绩的平均数为， 可得，所以甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数，所以A正确； 对于B中，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为， 所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数，所以B正确； 对于C中，甲成绩的极差为 ，乙成绩的极差， 所以甲成绩的极差大于乙成绩的极差，所以C正确； 对于D中，甲成绩的方差为， 乙成绩的方差为， 所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，所以D错误. 故选：D. 4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线（　　） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间垂直与平行的关系，结合平行和垂直的判定和性质定理，可作出判断. 【详解】对于A，若则或，故A错误； 对于B，若因为只有一个线线垂直，所以既不能证明，也不能证明，则不一定成立，故B错误； 对于C，若此时分别是两平面的法线，所以，故C正确； 对于D，若则或三条直线相交于同一点，故D错误； 故选：C. 5. 数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项. 【详解】因为 所以当，即时，，所以. 当，即时，，所以. 且时，数列为递减数列， 所以该数列的前50项中最大项是. 故选：C 6. 已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标表示，结合基本不等式求出最大值及最小值即得. 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 8. 三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取的中点，且,进而得出三棱锥的外接球的球心，再计算体积得出，最后计算外接球的表面积即可. . 【详解】 取的中点，因为，连接，所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以，所以是直角三角形； 又因为， 所以所以外接球的表面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的概念，可判断A的真假；利用“插空法”判断B的真假；根据复数的运算，判断C的真假；根据超几何分布的表示方法判断D的真假. 【详解】对A：家庭由两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女），所以两个小孩中有男孩的概率为，而不是，故A错误； 对B：问题相当于在7盏亮的路灯间插入3盏不亮的灯，7盏灯之间有6个空，所以满足条件的不同的关灯方法有：种，故B正确； 对C：设，，由，得：，即. 当时，则，若，则；若，则，即. 当时，由①得：，代入②得：，所以，，即. 所以中至少有一个为0，故C正确； 对D：超几何分布，其中是总体个数，是总体中的黑球数，是抽取的个数，所以黑球个数，故D正确. 故选：BCD 10. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 四棱台的表面积是 B. 四棱台的体积是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出四棱台的表面积即可判断A；由正四棱台的体积公式计算出体积，即可判断B；将侧面展开在同一平面，结合余弦定理即可判断CD． 【详解】对于A，由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面高， 因为侧面为等腰梯形，侧面高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为，故A正确； 对于B，连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台的高为，，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积，故B正确； 对于C，将侧面展开且处于同一平面，连接与交于点，如图所示，则，所以，由上述结论可知，， 由余弦定理得，，解得，则， 所以， 因为为棱上的动点（含端点），所以点不能共线， 所以，故C错误； 对于D，当点共线时，最短， 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解. 【详解】由，得， 则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确； 令，得，则，因此，A错误； 由，得，则， 因此的图象关于直线对称，B正确； 由，得的图象关于直线对称， 因此直线及均为图象的对称轴， 从而，令，得， 即，则， 故 ，D正确. 故答案为：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知虚数满足，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，且，由已知列方程求出和，根据复数模计算公式计算即可． 【详解】设，且， 由得，，即，解得， 所以， 故答案为：2． 13. 甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加活动的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出4人参加三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加的方法总数，再求出甲不单独参加活动，且乙不参加活动的方法总数，然后由古典概型求出概率. 【详解】4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，由分步计数原理，将4人分成3组，再全排，共有种， 甲不单独参加活动，且乙不参加活动，乙从B，C两项活动选一项参加有种，除甲、乙外两人在乙参加外的两项活动中全排有种，然后甲从A，B，C这三项活动选一项参加有种， 则由分步计数原理，共有种方法， 则由古典概型，甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加活动的概率是. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最大值是__________；若在上恰有3个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，由二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，即可得到结果； 第二空，根据第一空结合题意求得整体的范围，结合正弦函数的零点得出不等关系，从而得到参数范围. 【详解】， 即， 即， 又因为 所以的最大值为； 因为，所以， 因为在上恰有3个零点， 所以，即. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦函数的图象性质，关键在于根据在给定区间内的零点个数转化为与的交点个数，列出的不等式，从而解出的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 【答案】（1），最大值为， （2）单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 当时，取最大值为，此时，，即，； 【小问2详解】 当时，有， 从而时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 综上所述，单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取为空间的一个基底，用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可; （2）先证明是平面的一个法向量，再利用空间向量计算面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 则； 又， 所以， 则； 又，平面，所以平面； 故，分别是平面和平面的法向量， 设平面与平面夹角为， 所以； 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. （1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ （2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； （3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 无关 （2） （3）；误诊率为，漏诊率为 【解析】 【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较即可判断误判与性别的相关程度； （2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，继而得到临界值的范围； （3）结合频率分布表分段写出误判率的表达式，即可求解. 【小问1详解】 依题意，列出列联表为： 误判人数 未误判人数 总计 男性人数 2 498 500 女性人数 8 492 500 总计 10 990 1000 由上表，， 故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关； 【小问2详解】 因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有； 又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内， 依题意，有. 综上，临界值的范围为； 【小问3详解】 由（2）已得，设误判率为， 当时，， 当时， ， 所以当时，误判率最小， 相应的误诊率为，漏诊率为：. 【点睛】关键点点睛：本题证据要考查独立性检验、百分位数的应用，属于较难题. 解决通过统计图表求百分位数的问题，需要正确理解相关概念的具体含义，结合统计表或分布图表，列出相应的方程或不等式求解. 19. 若数列共项，，且对任意，中0的个数不少于1的个数，则称数列为“广义和谐01数列”．若“广义和谐01数列”中，，其中有项为0，有项为1，则称数列为“和谐01数列”． （1）当时，写出一个“和谐01数列”． （2）用表示个0，个1构成的“广义和谐01数列”的个数． （ⅰ）求； （ⅱ）当时，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）0，1，0，1，0，1（答案不唯一）． （2）（ⅰ）5；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐01数列”的定义即可求解， （2）（ⅰ）利用树状图或者列表法列举即可求解，或者利用排列组合，结合插空法求解，或者利用，根据递推可得求解． （ⅱ）利用排列组合求解． 即可根据递推法得解. 【小问1详解】 0，1，0，1，0，1（答案不唯一）． 【小问2详解】 （ⅰ）解法一（树状图法） 因此． 解法二（列表法） 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 因此． 解法三（插空法） 先排好三个“0”，于是产生如图所示三个空，分别标记为， 0 0 0 剩下三个“1”讨论如下： ①三个“1”连在一起形成“111”整体插空，只能放位，有1种排法； ②三个“1”构成“11”和“1”分别排在其中两个空，“11”占位时，“1”排位或位，“11”占位时，“1”只能排位，共有3种排法； ③三个“1”构成“1”“1”“1”各占一空，有1种排法． 所以共有种排法，即． 解法四（递推法） 已知最后一位只能排“1”，因此，此时或， 因此． （ⅱ） ，（利用解法四可快速列出的表达式） 下面先求： 先将“0”排好，得，其中个“0”，个“”， 2个“1”有两种排法：①整体插入其中一个中“”，共有种方式； ②在个“”中任取两个，各插入一个“1”，共有种方式． 因此． 所以 ． 【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 下列Venn图能正确表示集合和关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次数）如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线（　　） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 5. 数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A. B. C. D. 6. 已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B. 马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C. 已知，则中至少有一个为0 D. 袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则 10. 在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 四棱台的表面积是 B. 四棱台的体积是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知虚数满足，则__________． 13. 甲、乙等4人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，则甲不单独参加活动，且乙不参加活动的概率是__________． 14. 已知函数，则的最大值是__________；若在上恰有3个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率. （1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？ （2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130] 患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18 指标 [70，75] 未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围； （3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 若数列共项，，且对任意，中0的个数不少于1的个数，则称数列为“广义和谐01数列”．若“广义和谐01数列”中，，其中有项为0，有项为1，则称数列为“和谐01数列”． （1）当时，写出一个“和谐01数列”． （2）用表示个0，个1构成的“广义和谐01数列”的个数． （ⅰ）求； （ⅱ）当时，求（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $