精品解析：上海市宝山区上海大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2025.3高二第二学期数学第一次诊断测试 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 2. 在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用在的二项展开式中，令，可得各项系数和即可求解. 【详解】在的二项展开式中，令，可得各项系数和为， 解得. 故答案：6 3. 若直线与垂直，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两条直线垂直，得到关于的方程，即可求解. 【详解】直线与垂直， 则，解得. 故答案为：1. 4. 在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）. 【答案】80 【解析】 【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果. 【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有种选法； 选出的3人全部都是女生，共有种选法； 因此，至少有一名男生的选法有种. 故答案为 【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型. 5. 椭圆，椭圆的离心率为，则与更扁平的是_____．（填or） 【答案】 【解析】 【分析】计算出椭圆得离心率，然后与的离心率进行比较，谁的离心率越大且越接近于1，谁越扁. 【详解】在椭圆中，，所以，所以， 因为椭圆的离心率为，且，所以椭圆的图形更为扁平一些. 故答案为：. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可求得正数的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线的方程可化为，所以，. 故答案为：. 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量计算公式进行计算即可. 详解】空间向量，得，， 则向量在向量上的投影向量是： . 故答案为：. 8. 已知，其中，若，，则实数的最大值为______． 【答案】23 【解析】 【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值. 【详解】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则，则的最大值为. 故答案为：. 9. 如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 10. 甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可. 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为：. 11. 若直线与曲线有两个不同交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 12. 将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______． 【答案】256 【解析】 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又由已知可得正方体的棱长为8， 故. 故答案为：256. 二、选择题：（每题4分，共16分） 13. 设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 14. 若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】设半焦距， 由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确. 故选：A. 15. 如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解. 【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2， 所以根据题意可得水的体积为： ， 解得：. 故选：D. 16. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 三、解答题：（第17、18题每题14分，第19题16分，第20、21题每题18分，共80分） 17. 男女排成一排，设事件个男生不相邻，事件个女生都相邻， （1）分别求事件与事件发生的概率； （2）判断事件与事件是否是独立事件，并说明理由． 【答案】（1）， （2）不是独立事件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用插空法、捆绑法结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）求出，结合独立事件的定义判断即可. 小问1详解】 由古典概型的概率公式可得， . 【小问2详解】 事件为“个男生站两端，个女生相邻且站在中间”， 则， 因此，事件与事件不独立. 18. 如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切． （1）求圆心与圆心的坐标； （2）已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 【答案】（1）、 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【小问1详解】 圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，. 19. 已知抛物线过点，其焦点为，若且 （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义及点在抛物线上建立方程，解方程即可得解； （2）由题意得直线方程为，联立方程组，由根与系数的关系及数量积的运算，建立不等式求解即可得解. 【小问1详解】 由拋物线的定义知：， 又点在抛物线上，所以，， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，过点，且斜率为的直线方程为， 联立，消去得： ， 易知抛物线的，点在以为直径的圆内等价于， 解得：，符合. 综上：的范围是. 20. 如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 【答案】（1）证明见解析 （2），2 （3）位于的延长线上，且到的距离为1 【解析】 【分析】（1）由已知，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，，得，证得； （2）取平面的法向量，由则，即可得到当时，直线与平面所成的角最大，此时的正切值为2； （3）由平面与平面所成的锐二面角为，利用坐标运算求出，即可确定点的位置． 【小问1详解】 因为三棱柱的侧棱与底面垂直， 底面，则， 由， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 又， 是的中点，是的中点， 点在直线上，且满足， 则，，， ，， ，． 【小问2详解】 取平面的法向量，， 则， 当时，，此时，． 【小问3详解】 设平面的一个法向量，，， 则，， 令，则， ， 解得， 位于的延长线上，且到的距离为1． 21. 已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形． （1）求C的标准方程； （2）F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆上一动点，，求周长的最大值． （3）直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再根据，解得，即可得出答案； （2）根据，当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号，即可求周长的最大值； （3）当直线的斜率不存在时，直线恰好是短轴，由，得；当直线的斜率存在时，设，,将直线与椭圆方程联立结合韦达定理可得，由弦长公式可得，解得，设点为的中点，则，由基本不等式可得，所以，即可得出答案. 【小问1详解】 ，， ， 的标准方程是． 【小问2详解】 设左焦点为，， . 的周长为， ， 当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号， . 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时，设，， 直线恰好是短轴， 又，在圆上，； ②当直线的斜率存在时，设,， 联立，得， ， ，， 所以， 解得：， 设点为的中点， ，，则， 令， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心为，， 经检验，，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025.3高二第二学期数学第一次诊断测试 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程为______． 2. 在二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 3. 若直线与垂直，则________． 4. 在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）. 5. 椭圆，椭圆的离心率为，则与更扁平的是_____．（填or） 6. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________． 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是______． 8. 已知，其中，若，，则实数的最大值为______． 9. 如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 10. 甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为________． 11. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 12. 将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是_______． 二、选择题：（每题4分，共16分） 13. 设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若椭圆（）和双曲线（）有相同的焦点和，而P是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（ ） A. B. C. D. 16. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 三、解答题：（第17、18题每题14分，第19题16分，第20、21题每题18分，共80分） 17. 男女排成一排，设事件个男生不相邻，事件个女生都相邻， （1）分别求事件与事件发生概率； （2）判断事件与事件是否是独立事件，并说明理由． 18. 如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切． （1）求圆心与圆心的坐标； （2）已知直线过点若直线被圆、圆、圆所截得弦长均等于，求出的值. 19. 已知抛物线过点，其焦点为，若且 （1）求的值以及抛物线的方程； （2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 20. 如图所示，已知三棱柱侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取得最大值时的正切值； （3）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 21. 已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形． （1）求C标准方程； （2）F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆上一动点，，求周长的最大值． （3）直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $