精品解析：江西省吉安县立中学2024-2025学年高二下学期2月普通班检测数学试题

吉安县立中学2024-2025学年第二学期高二2月普通班检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 2. 曲线的单调增区间是（ ） A B. C. 和 D. 和 3. 已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 4. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A. B. C. D. 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C. “向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D. ，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C. 若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D. 若动点与直线上任意一点曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知等比数列，若，，则________. 13. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 14. 平行六面体中，，，，则的长是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求m的值； （2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 16 已知圆与直线相切． （1）求圆O的标准方程； （2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程． 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求前项和. 18. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 19. 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）记，分别为直线与直线的斜率，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安县立中学2024-2025学年第二学期高二2月普通班检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D. 2. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间. 【详解】由，可得， 令，可得，因为，所以，则有， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 3. 已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线斜率为， 所以，令得，， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意对函数求导得到，然后利用导数分析讨论最大值和最小值. 【详解】函数的定义域为，由题得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又当时，与二次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，．所以函数无最大值，有最小值，故B正确. 故选：B. 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与双曲线，求出点和，根据双曲线定义，结合焦点三角形的面积、周长公式，可分别求得和的内切圆半径，，相乘即可. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 直线过且倾斜角为，故方程为. 联立直线方程与双曲线方程，得， 解得或，故不妨设交点，， 则，，在和中，有和， 所以，，则的周长为，的周长为， 分别设和的内切圆半径为，， 则，， 又，， 所以，解得，同理可得，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：由题设先求出A、B两点坐标，再双曲线定义以及两点间距离公式求出两三角形的三边，再利用与三角形内切圆相关的三角形面积公式即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是空间向量的一组基底，则可以构成空间向量的另一组基底 C. “向量，，共面”是“直线，，共面”的充要条件 D. ，分别是直线，的方向向量，“与不平行”是“与异面”的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量的数量积计算求解即可判断选项A；空间向量的基底不共面即可判断选项B；由向量共面与直线共面的关系即可判断选项C；由直线异面与直线的方向向量的关系即可判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以， ，所以，故A正确； 对于B，若是空间向量的一组基底，则线性无关，故也线性无关，故可以构成空间向量的另一组基底，故B正确； 对于C，向量共面是指向量所在的直线可以平行于同一个平面，而直线共面是指直线都在同一平面上，则前者无法推出后者，故C错误； 对于D，直线异面意味着方向向量不平行，但方向向量不平行不一定意味着直线异面，它们可能相交，故D正确； 故选：ABD. 10. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基首先提出的，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的曼哈顿距离为.若点，点，直线和的方程分别是和，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值为2 C. 若动点满足，则的轨迹围成图形的面积是32 D. 若动点与直线上任意一点的曼哈顿距离最小值等于，则的轨迹与直线围成的封闭图形面积是2 【答案】CD 【解析】 【分析】由曼哈顿距离的定义即可判断A；令直线a上任意点为，可得到点与直线上任意一点的曼哈顿距离的表达式，可判断B；设动点坐标，采用分类讨论的方法确定动点轨迹，数形结合进行求解，判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令直线a上任意点为， 则， 则当时，的最小值为1，B错误； 对于C，设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则； 则M点轨迹为上述四条线段围城的封闭曲线，如图示正方形： 则的轨迹围成图形的面积是，C正确； 对于D，，设，当M与直线b上的点连线垂直于b时曼哈顿距离最小， 由此可得， 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则M点轨迹如图示： 则轨迹与直线围成的封闭图形面积为，D正确， 故选：CD 【点睛】关键点睛：对于动点的轨迹问题，解答时先设动点坐标，可得满足的方程，利用分类讨论确定动点轨迹，数形结合，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列，若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知根据等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 13. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 14. 平行六面体中，，，，则的长是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算，即可求出模长. 【详解】 因为， 由于在平行六面体中， 所以， 又因为，，， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求m的值； （2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1）7；（2）128；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式即可获解； （2）令即可获解； （3）求出有理项的个数，再用插空法即可. 【详解】（1）展开式的通项为， ∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为， ，即. （2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为. （3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项， ∴由插空法可得有理项不相邻的概率为. 16. 已知圆与直线相切． （1）求圆O的标准方程； （2）若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出. (2)由相关点法即可求出轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：． 【小问2详解】 设因为AB的中点是M，则，所以， 又因为A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得： ．线段AB的中点M的轨迹方程为: .． 17. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 18. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数性质和图象，转化为和的交点个数. 【小问1详解】 由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． 【小问2详解】 显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 19. 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴的椭圆过点和点，，，，是椭圆上异于顶点的四个点，直线与相交于点，直线的斜率存在且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）记，分别为直线与直线的斜率，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，求出、，即可得解； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，根据求出的值，即可得解； （3）方法一：由和，共线，得到，求出，，同理可得，，求出与的关系，即可得解；方法二、三：设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出、，同理得到，，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 设椭圆的方程为（，，）， 因为椭圆过点和， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为， 由，得， 因为，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程，即. 【小问3详解】 方法一：因为点和，共线， 所以，即①. 因为，，所以， 展开移项得， 结合①有②， 由①②解得，， 同理可知，， 因为点和，共线， 所以， 即③. 所以 ， 所以 方法二：设直线方程为（其中）， 由，得， 所以，， . 即， ， 同理可知，. 因为直线斜率存在且过点， 所以， 即 ，所以. 方法三：由，得， 因为，，， 所以 所以 ，即， ， 同理可知. 因为直线斜率存在且过点，所以， 即， 化简有. 因为，且直线斜率不为零， 所以 ，故. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $