整理与复习：长方体与正方体13大考点全汇总、针对性训练-2024-2025学年数学五年级下册北师大版

整理与复习：长方体与正方体13大考点全汇总、针对性训练 13大考点全汇总 【考点一】长方体和正方体的认识与特征 【考点二】长方体和正方体的展开图 【考点三】长方体和正方体的棱长和 【考点四】表面积图形计算 【考点五】体积图形计算 【考点六】长方体表面积的实际应用 【考点七】正方体表面积的实际应用 【考点八】表面积综合 【考点九】长方体和正方体的切拼问题 【考点十】长方体体积的实际应用 【考点十一】正方体体积的实际应用 【考点十二】体积熔铸问题 【考点十三】水中浸物问题 针对性训练 【考点一】长方体和正方体的认识与特征 1．某产品说明书上标注的尺寸为720×680×1800（mm），根据这组数据联系生活想象一下它可能是（    ）。 A．一台冰箱 B．一台电视 C．一台微波炉 D．一台手机 2．根据下图所给的数据，想象一下这个长方体可能是（    ）。 A．数学书 B．新华字典 C．纸巾盒 D．橡皮 3．下面几种说法中错误的是（    ）。 A．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。 B．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。 C．正方体中所有相邻的面的面积也相等。 D．长方体中除了对面相等，不可能有两个相邻面的面积相等。 4．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）。 A． B． C． D． 【考点二】长方体和正方体的展开图 5．下列不是长方体侧面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 6．下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 7．下面的展开图中，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 8．折叠后，下面的图形不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【考点三】长方体和正方体的棱长和 9．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带( )cm。 10．用铁丝焊接成一个长12cm、宽10cm、高4cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm。 11．用96厘米的铁丝围成一个正方体框架，它的棱长是( )。如果围成一个长方体框架，这个长方体长、宽、高的和是( )。 12．一个正方体的棱长是3cm，它的总棱长是( )cm；如果将这样的2个小正方体拼成一个长方体，那么这个长方体的总棱长是( )cm。 【考点四】表面积图形计算 13．计算下面长方体和正方体的表面积。           14．求表面积。 15．计算下图的表面积。（单位：分米） 16．计算下图的表面积。（单位：分米） 【考点五】体积图形计算 17．计算下面长方体的表面积和体积。 18．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：分米） 19．计算下面图形的表面积和体积。 20．求图几何体的体积。（单位：分米） 【考点六】长方体表面积的实际应用 21．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 22．一个长方体纸盒，它的底面是正方形，如果将纸盒的四个侧面展开恰好是一个边长16米的正方形，求纸盒的表面积？ 23．一种长方体铁皮通风管长2米，管口是边长为4分米的正方形，做25根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？ 24．班级要评选红领巾文明小先锋，班主任设计了一个投票箱，在投票箱上挖了一个投票口，如图所示，现要在投票箱的上面及四周贴上红纸，至少要多少平方分米的红纸？（粘贴处忽略不计） 【考点七】正方体表面积的实际应用 25．有一个棱长10厘米的正方体包装盒，在它的四壁贴上商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积是多少？ 26．做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 27．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 28．一节长方体通风管（无底），长9.6分米，横截面是边长为25厘米的正方形，如果将这节通风管的铁皮剪开焊成一个正方体储物箱，这个正方体的储物箱的一个面的面积是多少平方厘米？（接口处忽略不计） 【考点八】表面积综合 29．为了保护书籍，我们可以为图书做上封套，封套样式如下图所示： 刘聪同学有一套《上下五千年》丛书，分上、中、下三册，这三册书的尺寸完全相同，每册书的长、宽、高如下图所示。他想做一个封套，把这套书都装进去。做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计） 30．红红送给妈妈一个生日礼物，用正方体纸盒包装。（如下图） （1）用丝带包扎这个礼品盒，接头处长35厘米。包扎这个礼品盒一共需要彩带多少厘米？ （2）做这个正方体包装盒，至少需要多少平方厘米纸板？ （3）红红送给妈妈的礼物是一个生日蛋糕，蛋糕规格如下图。你认为红红买的是哪种规格蛋糕？请说明理由。 31．流传百年的太谷饼是山西传统名吃之一，它因产地而得名，源于山西省晋中市太谷县。张阿姨在特产店购买了2盒太谷饼（规格如下图所示），现要把2盒太谷饼用彩色包装纸包在一起。（接口处不计） （1）共有（    ）种不同的包装方案。 （2）请选择最节约包装纸的方案，算一算最少需要包装纸多少平方厘米？ 32．手工制作灯箱的方法。 ①先用铝合金条制作一个框架。②6个面围上灯箱布，贴上广告字。③安装彩灯。 张爷爷打算用上面的方法手工制作一个灯箱。他用一根长40分米的铝合金条先制作一个棱长为整分米数的长方体或正方体灯箱框架（接口处忽略不计，且无剩余）。 （1）请你帮助张爷爷设计出3种不同的方案，并且把相关数据填在下面的表格中。 长/分米 宽/分米 高/分米 方案1 方案2 方案3 （2）从上面三个方案中任选一个方案，算出至少需要灯箱布多少平方分米？ 【考点九】长方体和正方体的切拼问题 33．用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 34．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 35．下图是田径运动会的领奖台示意图。它是由4个棱长为0.6米的正方体拼成的。如果把领奖台的表面包上一层红布（底面不包），至少需要红布多少平方米？    36．如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 （1）每个小长方体的表面积是多少平方分米？ （2）两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 【考点十】长方体体积的实际应用 37．一个长方体木箱长、宽都是6分米，把它放在墙角，露在外面的面积是144平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 38．一个长方体包装盒，从里面量长25厘米，宽18厘米，体积为8550立方厘米。爸爸想用它包装一件长22厘米、宽14厘米、高16厘米的玻璃器皿，是否可以装得下？ 39．一种微波炉，外形尺寸（长×宽×高：442×367×260），腔体尺寸（长×宽×高：303×316×213），包装尺寸495×395×308（单位：毫米）。这个微波炉的容积大约是多少升？ 40．一间长方体仓库从里面量得长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米。（如图）。 （1）现需要给仓库内部的四壁及天花板粉刷涂料，每千克涂料可刷5平方米，共需多少千克涂料？ （2）这个仓库能容纳的体积是多少？ 【考点十一】正方体体积的实际应用 41．用一根120厘米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，给正方体框架的6个面贴上彩纸，至少需要彩纸多少平方厘米？这个正方体的体积是多少立方厘米？ 42．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 43．纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 44．一个底面周长是20厘米的正方体铁块，它的体积是多少？ 【考点十二】体积熔铸问题 45．把一个棱长是6分米的正方体钢锭铸造成长9分米，宽6分米的长方体钢锭，长方体钢锭的高是多少分米？如果每立方分米的钢锭重7.8千克，钢锭重多少千克？ 46．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是6分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？ 47．把一个棱长为12厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？ 48．将一个棱长是6分米的正方体钢块铸造成一个长9分米，宽8分米的长方体钢块，它的高是多少分米？ 【考点十三】水中浸物问题 49．把一块棱长是6厘米的正方体铁块，放入一个长18厘米，宽6厘米的玻璃水缸中（完全浸没在水中），水面上升了多少厘米？ 50．一个玻璃容器长10分米，宽8分米，高4分米，现在水深2.5分米。在容器中放入一个棱长为5分米的正方体石块，水是否溢出？若会溢出，溢出多少？若不会溢出，请说明理由。 51．在一个长方体水箱中，放入一块底面积是16平方厘米的正方体铁块，这时水的深度是8厘米。如果把铁块取出，水的深度是6厘米，这个长方体水箱的底面积是多少平方厘米？ 52．一个长方体鱼缸，长是8分米，宽是5分米。装的水高6分米，将一个棱长是4分米的正方体石块放入水中，石块完全浸入水中。此时水面高多少分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】某产品说明书上标注的尺寸为720×680×1800（mm），它们分别是这个长方体的长、宽、高，这个长方体比较大，根据这组数据，联系生活实际，得出它可能是哪个产品。 【详解】A．一台冰箱的尺寸可能是720×680×1800（mm）； B．一台电视的宽小于680mm，所以这个产品不可能是电视； C．一台微波炉的高小于1800mm，所以这个产品不可能是微波炉； D．720×680×1800（mm）对于一台手机来说，太大了，所以这个产品不可能是手机。 故答案为：A 2．B 【分析】通过图可知，这个物体的长、宽、高分别是13cm，9.5cm，3.5cm，之后根据生活经验，对长度单位和数据大小的认识来判断即可。 【详解】A．图中的长对数学书来说太短；不符合题意； B．根据生活可知新华字典的长、宽、高符合图中的数据，符合题意； C．图中的长、宽对纸巾盒来说不合适；不符合题意； D．图中的宽对橡皮来说太长，不符合题意。 故答案为：B 3．D 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同；长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为长、宽、高三组，每一组有4条棱；长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体特征：6个面都是正方形，且面积相等；8个顶点；12条棱长度都相等。 【详解】A．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，此说法正确； B．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条，此说法正确； C．正方体6个面的面积都相等，则所有相邻的面的面积也相等，此说法正确； D．当长方体有两个面是正方形时，其他四个面都是完全相同的长方形，面积相等，则此选项说法错误。 故答案为：D 4．D 【分析】观察图形可知，图中的长方体由12个小正方体组成，分为前后两排，前排的6个小正方体是由第二部分的4个小正方体和第一部分中的2个小正方体组成，第三部分和第一部分剩下的2个小正方体组成后面一排，观察图形可知，第一部分的4个小正方体分别放在前排最右边一列和后排的下层的中间和最右边，所以第三部分的4个小正方体分别在后排的上面一层（有3个）和后排下层的最左边，图形如下：。 【详解】根据分析可知，第三部分所对应的几何体应是：。 故答案为：D 【点睛】认真观察，找出各个部分所在的位置，是解答此题的关键。 5．B 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】 A．，1－4－1型长方体展开图； B．，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； D．，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是。 故答案为：B 6．C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体； B．沿虚线折叠后能围成长方体； C．不能围成长方体，因为它相对的面不相等； D．沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 7．D 【分析】正方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型： 中间4个一连串，两边各一随便放。 （2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。 （3）“2－2－2”型：两两相连各错一。 （4）“3－3”型：三个两排一对齐。 如下图所示： 据此解答。 【详解】A．符合正方体展开图“2－3－1”型的特征，能折成正方体； B．符合正方体展开图“2－3－1”型的特征，能折成正方体； C．符合正方体展开图“1－4－1”型的特征，能折成正方体； D．不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体。 故答案为：D 8．A 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况能围成正方体，不是正方体11种展开图里的情况不能围成正方体。 【详解】A．不是正方体展开图，不能围成正方体； B．1－4－1型正方体展开图，能围成正方体； C．2－3－1型正方体展开图，能围成正方体； D．1－4－1型正方体展开图，能围成正方体。 不能围成正方体的是。 故答案为：A 9．125 【分析】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 10．104 【分析】根据题意，用铁丝焊接成一个长方体框架，求至少需要铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【详解】（12＋10＋4）×4 ＝26×4 ＝104（cm） 至少需要铁丝104cm。 11． 8厘米/8cm 24厘米/24cm 【分析】正方体一共有12条棱且每条棱长相等，用96厘米的铁丝围成一个正方体，该正方体的棱长总和为96厘米，用96除以12即为每条棱长；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入相应数值计算即可解答。 【详解】96÷12＝8（厘米） 96÷4＝24（厘米） 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体和长方体各自棱长的特征。 12． 36 48 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12；2个小正方体拼成一个长方体，如图，确定长方体长、宽、高，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】3×12＝36（cm） 3×2＝6（cm） （6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（cm） 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体棱长总和公式。 13．正方体的表面积是150dm2；长方体的表面积是3.92m2 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式即可解答。 【详解】正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（0.8×0.5＋0.8×1.2＋0.5×1.2）×2 ＝（0.4＋0.96＋0.6）×2 ＝1.96×2 ＝3.92（m2） 14．（1）864cm2； （2）520cm2 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此把12cm代入棱长列式计算即可； （2）根据展开图可知，这个一个长是14cm宽是10cm高是5cm的长方体，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据列式计算即可。 【详解】（1）12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 正方体表面积是864cm2。 （2）（14×10＋14×5＋10×5）×2 ＝（140＋70＋50）×2 ＝260×2 ＝520（cm2） 表面积是520cm2。 15．844平方分米 【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。 【详解】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 16．248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【详解】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 17．118dm2；84dm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式即可解答。 【详解】表面积：（6×4＋6×3.5＋4×3.5）×2 ＝（24＋21＋14）×2 ＝59×2 ＝118（dm2） 体积：6×4×3.5 ＝24×3.5 ＝84（dm3） 18．表面积是104平方分米；体积是48立方分米 【分析】通过观察图形可知，立体图形的表面积相当于下面长方体的表面积加上上面正方体的侧面积；立体图形的体积等于下面长方体的体积加上上面正方体的体积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据即可求出结果。 【详解】（10×2＋10×2＋2×2）×2 ＝（20＋20＋4）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 2×2×4＝16（平方分米） 88＋16＝104（平方分米） 立体图形的表面积是104平方分米。 10×2×2＋2×2×2 ＝40＋8 ＝48（立方分米） 立体图形的体积是48立方分米。 19．168cm2；112cm3 【分析】该立体图形的表面积，就等于一个正方体的表面积加一个长方体的侧面积，根据正方体的表面积＝a2×6，长方体的侧面积＝（ab＋ah）×2，代入数据求表面积即可； 该立体图形的体积，可以看作正方体体积＋长方体的体积，左边的正方体棱长为4cm，右边长方体长为6cm，宽为4cm，高为2cm，根据长方体的体积V＝abh，正方体的体积V＝a3，代入数据求出两个立体图形的体积，再相加即可。 【详解】4×4×6＋（6×4＋6×2）×2 ＝16×6＋（24＋12）×2 ＝96＋36×2 ＝96＋72 ＝168（cm2） 4×4×4＋6×4×2 ＝16×4＋24×2 ＝64＋48 ＝112（cm3） 图形的表面积是168cm2，体积为112cm3。 20．148立方分米 【分析】几何体的体积＝大长方体的体积－小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】2.5×5×12－2×1×1 ＝12.5×12－2 ＝150－2 ＝148（立方分米） 几何体的体积是148立方分米。 21．850平方厘米 【分析】根据题意，王老师制作这套图书的封套包裹了书的上下面、左右面和后面共5个面，根据“长×宽×2＋宽×高×2＋长×高”求出这5个面的面积之和，即是至少需要硬纸板的面积。 【详解】5×15×2＋15×20×2＋5×20 ＝150＋600＋100 ＝850（平方厘米） 答：至少需要850平方厘米的硬纸板。 22．288立方米 【分析】看图可知，侧面展开的正方形边长÷4＝底面正方形的边长，这个纸盒的表面积＝侧面展开的正方形边长×边长＋底面正方形的边长×边长×2，据此列式计算。 【详解】16÷4＝4（米） 16×16＋4×4×2 ＝256＋16×2 ＝256＋32 ＝288（立方米） 答：纸盒的表面积是288立方米。 23．80平方米 【分析】根据题意和图意可知，这个长方体铁皮通风管只有上下、前后四个面，且四个面的面积相等，都是长2米、宽4分米的长方形； 根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4，即是做一根这样的通风管所需铁皮的面积，最后乘25，求出做25根这样的通风管至少需要铁皮的面积。 【详解】4分米＝0.4米 2×0.4×4 ＝0.8×4 ＝3.2（平方米） 3.2×25＝80（平方米） 答：至少需要80平方米的铁皮。 24．66.5平方分米 【分析】求至少需要多少平方分米的红纸，就是求这个长方体5个面的面积，缺少下面，由此根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解，再减去上表面中间的长方形面积即可解答。 【详解】4×2＋（4×5＋2×5）×2－3×0.5 ＝8＋（20＋10）×2－1.5 ＝8＋30×2－1.5 ＝8＋60－1.5 ＝68－1.5 ＝66.5（平方分米） 答：至少要66.5平方分米的红纸。 25．400平方厘米 【分析】“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”因为包装盒的上下面不贴，所以只计算正方体包装盒4个面的面积即可，据此解答。 【详解】10×10×4＝400（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是400平方厘米。 26．1.25平方米 【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。 【详解】0.5×0.5×5 ＝0.25×5 ＝1.25（平方米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。 27．3456平方厘米 【分析】用彩带的长度减去打结处用的长度，求出剩下彩带的长度，也就是8条棱的长度，再除以8，求出每条棱多少厘米，再根据正方体表面积公式＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【详解】（209－17）÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米） 24×24×6 ＝576×6 ＝3456（平方厘米） 答：至少需要3456平方厘米的硬纸板。 28． 1600平方厘米 【分析】由题意知：无底的长方体通风管的侧面是四个面积相等的长方形，长为9.6分米，宽为25厘米，利用长方形面积＝长×宽，求得一个面的面积，再乘4，求得这根通风管的侧面积。通风管的侧面积与储物箱的表面积相等，均等于铁皮的面积。则用通风管的侧面积除以6，就是正方体储物箱一个面的面积。 【详解】9.6分米＝96厘米 96×25×4÷6 ＝96×100÷6 ＝9600÷6 ＝1600（平方厘米） 答：这个正方体的储物箱的一个面的面积是1600平方厘米。 29．848平方厘米 【分析】先求出三册书叠加后的大长方体的长、宽、高分别是多少，然后根据长方体表面积的计算公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出大长方体的表面积，最后减去书脊所在面的面积，就能得到做封套所需硬纸板的面积，据此解答。 【详解】由题目可知，三册书完全相同，叠加起来后， 大长方体的长：20厘米 大长方体的宽：14厘米 大长方体的高：2×3＝6（厘米） 大长方体的表面积： （20×14＋20×6＋14×6）×2 ＝（280＋120＋84）×2 ＝484×2 ＝968（平方厘米） 书脊所在面的面积：20×6＝120（平方厘米） 968－120＝848（平方厘米） 答：做这个封套至少需要848平方厘米的硬纸板。 30．（1）275厘米 （2）5400平方厘米 （30）A；理由见详解 【分析】（1）根据题意，用丝带包扎棱长为30厘米的正方体礼品盒，观察图形可知，包扎这个礼品盒至少需要丝带的长度＝8条棱长＋打结用的长度，据此解答。 （2）求做这个正方体包装盒，至少需要纸板的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 （3）蛋糕的长、宽、高要比正方体包装盒的棱长小，才能放进去；把A、B两种蛋糕的长、宽、高与正方体的棱长进行比较，据此解答。 【详解】（1）30×8＋35 ＝240＋35 ＝275（厘米） 答：包扎这个礼品盒一共需要彩带275厘米。 （2）30×30×6 ＝900×6 ＝5400（平方厘米） 答：至少需要5400平方厘米纸板。 （3）A：20＜30，25＜30，26＜30； B：30＝30，32＞30，5＜30； 答：红红买的是A规格蛋糕。因为蛋糕需放进盒子里，所以蛋糕的长、宽、高要比正方体纸盒的棱长小，A规格蛋糕符合要求，而B规格蛋糕中32＞30，不能放进盒子里。 31．（1）3 （2）4200平方厘米 【分析】（1）①将20×15的面拼在一起进行包装；②将30×20的面拼在一起进行包装；③将30×15的面拼在一起进行包装； （2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值分别进行计算，求出三种包装方案需要包装纸的面积，再比较大小即可。 【详解】（1）①将20×15的面拼在一起进行包装；②将30×20的面拼在一起进行包装；③将30×15的面拼在一起进行包装；则共有3种不同的包装方案。 （2）方法一：将20×15的面拼在一起进行包装。 30＋30＝60（厘米） （60×20＋60×15＋20×15）×2 ＝（1200＋900＋300）×2 ＝2400×2 ＝4800（平方厘米） 方法二：将30×20的面拼在一起进行包装。 （厘米） （平方厘米） 方法三：将30×15的面拼在一起进行包装。 20＋20＝40（厘米） （40×30＋40×15＋30×15）×2 ＝（1200＋600＋450）×2 ＝2250×2 ＝4500（平方厘米） 4800＞4500＞4200 答：所需包装纸最少为4200平方厘米。 32．（1）表格见详解； （2）64平方分米 【分析】（1）40分米相当于长方体的棱长总和，除以4求出长、宽、高之和，据此确定长、宽、高分别是多少，填表格即可。 （2）求灯箱布的面积，也就是求长方体（或正方体）的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2或正方体表面积＝棱长×棱长×6；代入数据计算即可。 【详解】40÷4＝10（分米） 5＋3＋2＝10（分米）；5＋4＋1＝10（分米）；4＋4＋2＝10（分米） 长/分米 宽/分米 高/分米 方案1 5 3 2 方案2 5 4 1 方案3 4 4 2 （答案不唯一） （2）选择方案三（答案不唯一） （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方分米） 答：至少需要灯箱布64平方分米。 33．896平方厘米 【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】160÷（12×3－16） ＝160÷（36－16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3－8×8×4 ＝64×6×3－64×4 ＝384×3－256 ＝1152－256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。 34．涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【详解】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 35．4.32平方米 【分析】通过图可知，这个领奖台的长是0.6×2＝1.2（米），宽是0.6×2＝1.2（米），高是0.6米，由于底面不包，根据长方体的5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。 【详解】由分析可知： 长：0.6×2＝1.2（米） 宽：0.6×2＝1.2（米） 1.2×1.2＋（1.2×0.6＋1.2×0.6）×2 ＝1.44＋（0.72＋0.72）×2 ＝1.44＋1.44×2 ＝1.44＋2.88 ＝4.32（平方米） 答：至少需要红布4.32平方米。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。 36．（1）256平方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）根据题意，切成两个完全一样的小长方体，则切成的长方体的长等于原正方体棱长的一半，宽等于原正方体的棱长，高等于原正方体的棱长，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； （2）把正方体切成两个一样的长方体，两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多原来正方体的两个面的面积，据此解答。 【详解】（1）8÷2＝4（分米） （4×8＋4×8＋8×8） ＝（32＋32＋64）×2 ＝（64＋64）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 答：每个小正方体的表面积是256平方分米。 （2）8×8×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多128平方分米。 【点睛】解答本题的关键明确切成的小长方体长、宽、高与原正方体棱长之间的关系，进而解答。 37．324立方分米 【分析】根据题意，长方体木箱长、宽都是6分米，即这个长方体的上、下面都是“6×6”的正方形，露在外面的2个侧面都是以长方体的高为长、6分米为宽的长方形； 已知露在外面的面积是144平方分米，露在外面的面积包括长方体的上面和2个侧面，先用露在外面的面积减去上面的面积，求出2个侧面的面积，再除以2，求出一个长方形的面积，再除以6，即是这个长方体的高； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个木箱的体积。 【详解】2个侧面的面积： 144－6×6 ＝144－36 ＝108（平方分米） 1个侧面的面积：108÷2＝54（平方分米） 高：54÷6＝9（分米） 体积：6×6×9 ＝36×9 ＝324（立方分米） 答：这个木箱的体积是324立方分米。 38．可以 【分析】根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，已知体积和长、宽，可计算求出长方体包装盒的高，再将玻璃器皿的长与包装盒的长、宽和宽、高和高相比较，可得出答案。 【详解】长方体包装盒的高为：8550÷25÷18＝19（厘米）。 已知玻璃器皿长22厘米、宽14厘米、高16厘米，长方体包装盒的长25厘米、宽18厘米、高19厘米；则22＜25，14＜18，16＜19，玻璃器皿的三边都比包装盒短，则可以装得下。 答：长方体包装盒可以装下这个玻璃器皿。 39．20.394324升 【分析】容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，据此通过腔体尺寸进行计算，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出微波炉的容积。注意统一单位。 【详解】303毫米＝3.03分米 316毫米＝3.16分米 213毫米＝2.13分米 3.03×3.16×2.13＝20.394324（立方分米）＝20.394324（升） 答：这个微波炉的容积大约是20.394324升。 40．（1）31.2千克 （2）192立方米 【分析】（1）粉刷涂料的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门的面积，粉刷涂料的面积÷每千克涂料可刷面积＝需要的涂料质量，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】（1）8×6＋8×4×2＋6×4×2－2×2 ＝48＋64＋48－4 ＝156（平方米） 156÷5＝31.2（千克） 答：共需31.2千克涂料。 （2）8×6×4＝192（立方米） 答：这个仓库能容纳的体积是192立方米。 41．600平方厘米；1000立方厘米 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式解答。 【详解】120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 答：至少需要彩纸600平方厘米，这个正方体的体积是1000立方厘米。 42．583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 43．216立方厘米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是216立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。 44．125立方厘米 【分析】根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此进行计算即可。 【详解】20÷4＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 答：它的体积是125立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的体积，求出正方体的棱长是解题的关键。 45．4分米；1684.8千克 【分析】根据题意，把一个正方体钢锭铸造成一个长方体钢锭，表面积变了，体积不变； 先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个钢锭的体积；然后根据长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，即可求出长方体钢锭的高。 最后用每立方分米钢锭的重量乘钢锭的体积，即可求出钢锭的重量。 【详解】正方体的体积（钢锭的体积）： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 长方体的高： 216÷9÷6 ＝24÷6 ＝4（分米） 钢锭重： 7.8×216＝1684.8（千克） 答：长方体钢锭的高是4分米，钢锭重1684.8千克。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 46．54分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，把正方体铁块锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高＝长×横截面积，用正方体铁块的体积除以4平方分米，即可求出这个长方体的长。 【详解】6×6×6÷4 ＝216÷4 ＝54（分米） 答：这个长方体的长是54分米。 【点睛】本题主要考查正方体体积公式和长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 47．24厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出铁块的体积，铁块的体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出长方体的高即可。 【详解】12×12×12÷（9×8） ＝144×12÷72 ＝1728÷72 ＝24（厘米） 答：这根长方体铁块的高是24厘米。 【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 48．3分米 【分析】由题意可知，把正方体钢块铸造成长方体钢块体积不变，先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出钢块的体积，再利用“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出长方体钢块的高，据此解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷9÷8 ＝24÷8 ＝3（分米） 答：它的高是3分米。 【点睛】本题主要考查等体积变形，熟练掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 49．2厘米 【分析】正方体铁块的体积就是水面上升的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出水面上升的体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，求出水面上升的高度。 【详解】6×6×6÷（18×6） ＝216÷108 ＝2（厘米） 答：水面上升了2厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 50．会溢出；5立方分米 【分析】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，已知长为10分米，宽为8分米，高为2.5分米，代入数据求出水的体积，已知长10分米、宽8分米、高4分米，代入数据求出这个长方体玻璃缸的容积，再根据正方体的体积公式：V＝a3，代入棱长的数据，求出正方体石块的体积，把水的体积和石块的体积加起来，如果大于长方体玻璃缸的容积，则水会溢出来，反之则水不会溢出。 【详解】10×8×2.5＋5×5×5 ＝80×2.5＋25×5 ＝200＋125 ＝325（立方分米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方分米） 325＞320 325－320＝5（立方分米） 答：会溢出，溢出5立方分米的水。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体和正方体的体积公式解决问题。 51．32平方厘米 【分析】根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出正方体铁块的体积，再根据正方体铁块的体积等于下降的水的体积，用铁块的体积除以下降的水的高度即可求出长方体水箱的底面积。 【详解】因为4×4＝16（平方厘米），等于正方体的棱长是4厘米 4×4×4÷（8－6） ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 答：这个长方体水箱的底面积是32平方厘米。 【点睛】本题考查长方体和正方体的体积，熟记公式是解题的关键。 52．7.6分米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出石块的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水面上升的高度，然后用原来水的高度加上上升的高度即可。 【详解】4×4×4÷（8×5） ＝64÷40 ＝1.6（分米） （分米） 答：此时水面高7.6分米。 【点睛】本题考查长方体和正方体的体积，熟记公式是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$