期中复习之填空压轴题-2024-2025学年人教版数学八年级下册

期中复习之填空压轴题（考试范围：第16-18章） 【人教版】 1．（24-25八年级·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 2．（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ． 3．（24-25八年级·北京海淀·期中）a，b为有理数，且，则 ． 4．（24-25八年级·北京东城·期中）已知为实数，记， （1）当时，的值为 ． （2）的最小值为 ． 5．（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为 ． 6．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级·黑龙江大庆·期中）如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 8．（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，则BC＝ ． 9．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，已知，则阴影部分的面积为 ． 10．（24-25八年级·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 11．（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 12．（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 13．（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 14．（24-25八年级·福建泉州·期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接， ①如图1，若，，则 ； ②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ．    15．（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形． 16．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是 ． 17．（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为 18．（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是 ．（只填写序号） 19．（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习之填空压轴题（考试范围：第16-18章） 【人教版】 参考答案与试题解析 1．（24-25八年级·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级·上海·阶段练习）求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级·北京海淀·期中）a，b为有理数，且，则 ． 【答案】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到． 【详解】解： a，b为有理数 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 4．（24-25八年级·北京东城·期中）已知为实数，记， （1）当时，的值为 ． （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案； （2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案． 【详解】解：（1）当时， ， 故答案为：； （2） ， 设，，，， 根据题意画出图如图所示：   ， 作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键． 5．（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 6．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称最短路线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意知是等腰直角三角形，所以，再结合图形很容易发现当点在轴上，会有最大值，此时也最大，利用一线三垂直全等求解即可； （2）看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可． 【详解】解：(1)由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∴当有最大值时，则亦有最大值， 如图，当点在轴上，会有最大值， 过作轴于点，过作轴于点， ∵直线，分别交轴于，两点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设点在上，点在上， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴点在的直线上， 作点关于的对称点，则， ∴， 连接， ∴，当且仅当三点共线时取等， ∵， ∴， 在中，， ∴最小值为； 故答案为：，． 7．（24-25八年级·黑龙江大庆·期中）如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 8．（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，则BC＝ ． 【答案】3﹣3 【分析】先取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG，证△ABC≌△DBG（SAS），再根据三角形三边关系及“两点之间线段最短”得：当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，最后再根据直角三角形、等边三角形性质和勾股定理寻找DF、BF、CF、BC、BG、FG之间的关系，用代数方法列方程x+ x＝3，并求解，进而得BC值为3﹣3． 【详解】解：如图，取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG， ∵∠ADC＝150°，且BD⊥DC， ∴∠ADB＝150°﹣90°＝60°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，而△BCG也是等边三角形， ∴AB＝DB，BC＝BG，∠ABD＝∠CBG＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC，即∠ABC＝∠DBG， 在△ABC和△DBG中， ， ∴△ABC≌△DBG（SAS）， ∴AC＝DG， ∵AC的最大值是3， ∴DG的最大值也是3， 在△DGF中，DG≤DF+FG， ∴当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3， ∵BD⊥DC，BC的中点F， ∴DF＝BF＝CF＝BC， ∵等边三角形△BCG，BC的中点F， ∴GF⊥BC，∠BGF＝∠CGF＝∠BGC＝30°， ∴BF＝CF＝BG＝BC， ∴设DF＝BF＝CF＝x，则BC＝BG＝2x， ∴FG＝， ∴DF+FG＝x+x＝3， 解得：x＝， ∴BC＝2x＝2×＝3﹣3， 故答案为3﹣3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形判定和性质，三角形三边关系，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是巧妙添加辅助线构造全等三角形． 9．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考考查了勾股定理及逆定理．熟练掌握勾股定理及逆定理，矩形的判定和性质，面积法求三角形的高，是解题的关键． 过点D作于点E，于点F，求出，得，得是直角三角形，，得四边形是矩形，得，求出，得，即得． 【详解】解：过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级·山西太原·期末）如图，在中．点是边上的一点．连接并延长到点，使得．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作于，过点作于，由可得，，进而由勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形的面积可得，然后证明，得到，最后利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，则， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查理勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴ ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误； ∵， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故②错误； ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确； 综上，正确的说法有③④， 故答案为：③④． 12．（24-25八年级·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点， ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形中，，，E是上一点，将沿折叠得到，，垂足为H，若，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当点在上方时，过点作，交于点，交于点，由矩形的性质可得，，，由平行公理的推论可得，由两直线平行同旁内角互补可得，，可证得四边形是矩形，于是可得，可证得四边形是矩形，于是可得，由邻补角互补可得，，进而可证得四边形是矩形，于是可得，，由折叠的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，则，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当点在下方时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，推导过程与完全相同，同理可得的长；综上，可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上方时， 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得： ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当点在下方时， 如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， 推导过程与完全相同， 同理可得：； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，轴对称的性质，矩形的判定与性质，平行公理的推论，勾股定理，两直线平行同旁内角互补，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 14．（24-25八年级·福建泉州·期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接， ①如图1，若，，则 ； ②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ．    【答案】 15 【分析】①连接，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，，，进而得到，根据同角的余角相等可得，以此通过证明，得到，根据“对边平行且相等、邻边相等的四边为菱形”得四边形为菱形，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求得，，在根据计算即可求解； ②过点作的延长线于点，由折叠可知，，，，进而得到，，，根据同角加等角相等得，以此通过证明，得到，根据“对边平行且相等、邻边相等的四边为菱形”得四边形为菱形，易得为等腰直角三角形，，设，则，，在中，利用勾股定理解离方程解得，则，于是利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：①如图，连接，    则， 四边形为矩形，，， ，，，， 在中，， 根据折叠的性质可得，，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过点作的延长线于点，   四边形为平行， ，，，，，， 根据折叠的性质可得，，，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据题干条件，推理论证得出四边形为菱形是解题关键． 15．（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.若点O运动到AC的中点，则∠ACB= °时，四边形AECF是正方形． 【答案】90 【详解】（1）∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD． 又∵CE平分∠ACB，FC平分∠ACD． ∴∠ECB=∠OCE，∠OCF=∠FCD， ∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF， ∴EO=OC，FO=OC， ∴EO=FO； OE=OC=OF， 当OC=OA，即点O为AC的中点时， ∴OE=OC=OF=OA， ∴四边形AECF是平行四边形，AC=EF， ∴这时四边形AECF是矩形, ∴当点O运动到AC中点时， 四边形AECF是矩形， 由正方形AECF可知，AC⊥EF， 又∵EF∥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是∠ACB=90°. 16．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，相交于点，，，，，用含，的代数式表示的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，作交延长线于， 作于，可得四边形为矩形，进而可证，得到，，即得四边形为正方形，得到，即可得，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作交延长线于， 作于， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为 【答案】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 18．（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】由矩形的性质推出，，，判定四边形是矩形，推出，，，得到，，而，得到，又，得到，由三角形中位线定理推出，当与重合时，的值最小，当与重合时，的值最大，求出的最小值是4，的最大值是，即可求出的最小值和最大值． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点，分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， 故①不符合题意； ， ， 故②符合题意； 连接， 是中点，是中点， 是的中位线， 当与重合时，的值最小，当与重合时最大， 正方形的边长是4，是等腰直角三角形， ， 的最小值是4，的最大值是， 的最小值是，的最大值是， 故④不符合题意，③符合题意， 其中正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形是矩形，由三角形中位线定理推出，明白当与重合时，的值最小，当与重合时最大． 19．（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； 点与点重合时，设表示出利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出②错误； 当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值，即可判断③正确． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故①正确； ， ， 点与点重合时，如图1所示： 设则， 在中， 即， 解得 ， ， ， ，故②错误； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴故③正确． 故答案为： ①③． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$