期中复习之解答压轴题-2024-2025学年人教版数学八年级下册

期中复习之解答压轴题（考试范围：第16-18章） 【人教版】 参考答案与试题解析 1．（24-25八年级·河北沧州·期末）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ② ， ， ， ． 2．（24-25八年级·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 3．（24-25八年级·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)４； (2) (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 4．（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 5．（24-25八年级·四川巴中·期末）如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，点与点重合时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】根据折叠的性质可知，，，，根据矩形的性质可证，等量代换可得，根据等角对等边可得，从而可得，根据四条边相等的四边形是菱形可证结论成立； 利用勾股定理可以求出，设菱形的边长为，则有，在中，所以可得，解方程可以求出，利用菱形的性质可知是直角三角形，根据勾股定理可以求出，根据菱形的性质可知． 【详解】（1）证明：根据折叠的性质可知，，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：矩形中，， ， 设菱形的边长为， 则有， ， 在中，， ， 解得：， 在中，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是根据折叠的性质找到相等的边和角． 6．（24-25八年级·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）分类讨论，根据比的性质进行求解； （3）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （4）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 7．（24-25八年级·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①；② 【分析】（1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据 ，即得； （2）①在中，求出，根据，求出；②根据，得，推出，得，得，连接，得 ，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）①∵在中，，，． ∴， ∵于点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． 8．（24-25八年级·重庆·期中）去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 【答案】(1) (2)能在受台风影响前及时撤离 【分析】本题考查了解直角三角形的应用在实际生活中的运用，正确理解题意，添加辅助线是解决本题的关键． （1）过点C作于D，在中，求出，， 在中，即可求出； （2）假设30分钟台风行驶到点F处，过点F作于点H，连接，在中，，，， 最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于D， 由题意得：，，， 在中，，， 在中，（千米）， 答：当台风中心到达B地时距海港C还有千米． （2）解：过点F作于点H，连接． 在，，∴， ∴， ∴， ∴台风速度为， ∴现在台风在直线l上的速度为 假设30分钟台风行驶到点F处，则， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， 而， ∵， ∴不会收到影响，能及时撤离． 9．（24-25八年级·湖北武汉·期末）在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)，；理由见解析 (3)2或1 【分析】（1）根据可证明； （2）由三角形中位线定理得出，，，，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，；理由如下： ∵F，G，H分别是，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：分以下两种情况： 当A，E，D位于点C的上方， 由（1）可知，， ∴， 由（2）可知为的中位线， ∴，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴，， ∴，C，H，G三点共线， ∴， ∴， ∴； 当A，E，D位点C的下方，同理可得，， ∴． 综上所述，的长为2或1． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用全等三角形的性质是解本题的关键． 10．（24-25八年级·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案； （2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明． 【详解】（1）解：是等边三角形 ， 又，分别是，的平分线 ，，， 在中，， ， ∴ ∴ 的面积为． （2）证明：如图，延长到点，使，连接 是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线 ， ， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键． 11．（24-25八年级·河南许昌·期末）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质证明，即得； （2）法一：延长交于点H，根据，，得，得，可得，即得；法二：过点C作，交延长线于点K，由．，得，得，可得，即得； （3）连接，设矩形的长为，宽为，可得．分当时，得．可得；当时，得，可得，即可计算的值为或． 【详解】（1）解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． （2）证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． （3）或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 12．（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据四边形为菱形，四边形是正方形，得，，，证明是等边三角形，则，通过等边对等角及角度和差即可求解； （）由折叠性质得，则有，，设，则，通过角度和差及角平分线的定义即可求解； （）由折叠性质得，则有，，由四边形是正方形，则，，由，，得，由平分，可得，证明，，，通过全等三角形的性质和菱形的判定方法求解． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由()得:， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（24-25八年级·湖北宜昌·期末）在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． (1)当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； (2)当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； (3)当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）连接，依题意得出边形，是正方形，根据正方形的性质可得，进而得出；证明四边形是平行四边形，得出； （2）设，则；连接，，根据题意得出是等边三角形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而求得，即可求解； （3）证明得出，设，则，勾股定理可得；进而求得，设，则，，勾股定理可得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，连接和的中点，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 同理可得四边形是正方形 如图所示，连接，则 ∵把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点落在线段边上，是正方形的对角线 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：设，则； 如图所示，连接，， ∵四边形是正方形，当，，在同一直线上时， ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ ∴； （3）解：在和中， ∴ ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：； ∴，， ∴， ∴， 连接 在中， ∴ ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（24-25八年级·西藏拉萨·期末）如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当点运动到中点时，四边形为矩形． (4)当时，矩形是正方形． 【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质，即可求解； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，，可得； （3）利用矩形的判定可求解； （4）利用正方形的判定可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：．理由如下 ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形．理由如下： ∵为中点， ∴， 由（）得， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（3）得当点运动到中点时，四边形为矩形． ∴矩形是正方形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练运用这些性质和判定进行推理是本题的关键． 15．（24-25八年级·江苏无锡·期末）已知，分别为的边上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． (1)如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，则的值为________； (3)若，，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质得：，，，由四边形是平行四边形，得，，，然后证明，，则有，，从而求证； （）延长交于，证明四边形是菱形，设，则，则，由折叠性质可知，，然后利用直角三角形的性质得，由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； （）当时，最小，当与重合时，最大，根据等面积法和勾股定理，求解的最小及最大值即可． 【详解】（1）证明：由折叠性质得：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：延长交于，如图， ∵四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴＝； （3）解：求取值范围即是求取值范围，当时，最小， 作， ∵，的面积为， ∴， ∴， 设， ∴， ∴, ∴， 解得：， ∴的最小值为； 当与重合时，最大， 在中，， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（24-25八年级·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 【答案】探索发现：．特例计算：与的长均为；推理证明：．证明见解析；拓展运用：的长是． 【分析】探索发现：观察图形并且测量线段、的长度，再猜想与的数量关系即可； 特例计算：如图1，连接，求解，，，结合，可得，可得是的中位线，再进一步求解即可； 推理证明：如图2，作交于点L，则，证明，，证明即可； 拓展运用：如图3，连结交于点P，证明垂直平分，连接、，，证明A、E、三点在同一条直线上，四边形是菱形，再进一步解答即可； 【详解】探索发现： 解：观察图形并且测量线段、的长度，得， ∴猜想与的数量关系是， 故答案为：． 特例计算： 解：如图1，连接，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴与的长均为． 推理证明： 证明：如图2，作交于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 拓展运用： 解：如图3，连结交于点P，    ∵点与点G关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接、，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、E、三点在同一条直线上， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H到的距离是的2倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形中位线的性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为轴，垂足为，已知，，其中满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．    (1)当点在上运动时，若点到的距离为2个单位长度，求的值； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； (3)当点在线段上运动时，射线上一点（不与重合），射线上一点（不与重合），连接，使得，求与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)时，；时,；时， (3)或 【分析】（1）由非负数的性质得解得，由此即可解决问题； （2）分三种情形:①当时；②当时；③当时，分别表示即可； （3）结论: 或 ，分四种情形分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）∵满足关系式， ， ， ， 当点到的距离为个单位长度时， 或， 或 ， 故答案为:或； （2）①当 时, 点在上, 此时； ②当时, 点在上, 此时,, 由于点在第四象限, 纵坐标小于, 则； ③当时, 点在上, 此时,， ∴； （3）当点在线段上时，分四种情况： ①如图中,, 理由如下:    ∵， ∴， ； ②如图中,理由如下:   ， ， ； ③如图中, 结论: ， 理由如下：    连接, ，， ； ④如图中,结论: 理由如下： 当在延长线上,在上, 设交于,    ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质、图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 18．（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 19．（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）取线段的中点I，连接，先判断出，，延长至点N，使，连接，利用证明，可得出，，则是等边三角形，进而得出，． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：结论成立， 理由如下： 如图2，过点M作交于G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，    ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， 延长至点N，使，连接，    又，， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习之解答压轴题（考试范围：第16-18章） 【人教版】 1．（24-25八年级·河北沧州·期末）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 2．（24-25八年级·四川成都·期中）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 3．（24-25八年级·四川成都·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 4．（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 5．（24-25八年级·四川巴中·期末）如图，矩形中，点、分别在、上，将矩形沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，点与点重合时，求的长． 6．（24-25八年级·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 7．（24-25八年级·山西运城·期中）综合与探究 【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片，按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在中，，于点，，． ①请计算线段的长； ②在图3的基础上，取边上的点，连接，使得，得到图4．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，请直接写出的长． 8．（24-25八年级·重庆·期中）去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 9．（24-25八年级·湖北武汉·期末）在和中，，，，连，，分别为，的中点，为中点，连，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，探究线段，间的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)当，，绕点旋转过程中，若，，三点在同一条直线上，请画出旋转后的对应图形，并直接写出，两点的距离． 10．（24-25八年级·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且． (1)如图1，若是等边三角形，，求的面积； (2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：． 11．（24-25八年级·河南许昌·期末）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 12．（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 13．（24-25八年级·湖北宜昌·期末）在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． (1)当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； (2)当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； (3)当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 14．（24-25八年级·西藏拉萨·期末）如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1)线段和的位置关系 ________； (2)线段与的数量关系 ________； (3)当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； (4)在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 15．（24-25八年级·江苏无锡·期末）已知，分别为的边上的动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为． (1)如图，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，则的值为________； (3)若，，的面积为，求的取值范围． 16．（24-25八年级·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 17．（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为轴，垂足为，已知，，其中满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒．    (1)当点在上运动时，若点到的距离为2个单位长度，求的值； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； (3)当点在线段上运动时，射线上一点（不与重合），射线上一点（不与重合），连接，使得，求与的数量关系． 18．（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3) 若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 19．（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$