7.1复数的概念（七个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

7.1复数的概念 一、复数的实部虚部 五、共轭复数 二、复数的有关分类 六、复数模的几何意义 三、复数相等 七、复数的模 四、复数的几何意义 知识点1数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 重难点一、复数的实部虚部 【例1】复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】以复数的实部为虚部、虚部为实部的新复数为 . 【变式1-1】以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ． 【变式1-2】复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 重难点二、复数的分类 【例3】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【例4】已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】在，，，，0.618，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 重难点三、复数相等 【例5】已知是实数，且，则x+y= 【例6】已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】设，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝ . 【变式3-2】已知关于的方程有实数根，且，则复数等于 . 【变式3-3】集合，则 . 知识点2复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 重难点四、复数的几何意义 【例7】在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【例8】（多选）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【变式4-3】设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 重难点五、共轭复数 【例9】已加复数，，则（   ） A． B． C． D． 【例10】已知，复数.若与复数相等，则的值为（   ） A． B．4 C． D．14 【变式5-1】已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 【变式5-2】复数，则的实部､虚部和模分别是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 知识点3复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 知识点4复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 重难点六、复数模的几何意义 【例11】复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（    ）. A．点 B．圆 C．线段 D．圆环 【例12】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．4 【变式6-3】设复数，x，，且，则满足的复数z共有 个． 重难点七、复数的模 【例13】已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【例14】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】已知复数，若为实数，则（    ） A．2 B．5 C．3 D．1 【变式7-2】已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-3】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 一、单选题 1．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 3．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．复数在复平面上对应的点不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 7．（多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 三、填空题 9．已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 10．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 11．已知复数满足，则的取值范围是 . 四、解答题 12．（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 13．已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 14．设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 15．已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1复数的概念 一、复数的实部虚部 五、共轭复数 二、复数的有关分类 六、复数模的几何意义 三、复数相等 七、复数的模 四、复数的几何意义 知识点1数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 重难点一、复数的实部虚部 【例1】复数的虚部是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据复数的定义知，复数的虚部为， 故选：B. 【例2】以复数的实部为虚部、虚部为实部的新复数为 . 【答案】 【详解】由复数可知其实部为，虚部为， 所以新复数的实部为，虚部为， 即为复数， 故答案为：. 【变式1-1】以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ． 【答案】/ 【详解】因为的实部为，的虚部为，故所求复数为． 故答案为： 【变式1-2】复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，复数的虚部为. 故选：C 【变式1-3】求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部 【详解】（1）的实部为，虚部为. （2）的实部为，虚部为. （3）的实部为，虚部. 重难点二、复数的分类 【例3】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【例4】已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数， 所以，解得. 故选：D 【变式2-1】若a，，则“复数为纯虚数（是虚数单位）”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】复数为纯虚数，等价于，且， ，且可推出，但，不一定得到，且， 所以 “复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 【变式2-2】在，，，，0.618，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：为实数，为纯虚数，为虚数，为纯虚数，0.618为实数，为实数， 纯虚数只有2个， 故选：． 【变式2-3】已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则 . 【答案】/ 【详解】由题意，，且，所以，且； 又，所以. 故答案为：. 重难点三、复数相等 【例5】已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 【例6】已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：， 所以，即； 所以. 故选：D 【变式3-1】设，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝ . 【答案】1 【详解】集合，，且， 则有或，解得. 故答案为：1 【变式3-2】已知关于的方程有实数根，且，则复数等于 . 【答案】/ 【详解】 由题意知， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】集合，则 . 【答案】/ 【详解】依题意，由，，得，解得， 所以. 故答案为： 知识点2复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 重难点四、复数的几何意义 【例7】在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】表示点，顺时针转到第四象限， 对应点为，所以复数的虚部为. 故选：A. 【例8】（多选）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 【变式4-1】在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以. 故选：D. 【变式4-2】在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4． (2)或． 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 【变式4-3】设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 所以，即，所以，解得， 即实数的取值范围为. 重难点五、共轭复数 【例9】已加复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 【例10】已知，复数.若与复数相等，则的值为（   ） A． B．4 C． D．14 【答案】B 【详解】∵，∴， ∵与复数相等，∴，解得. 故选：B. 【变式5-1】已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的虚部是. 故选：A 【变式5-2】复数，则的实部､虚部和模分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 其实部为1，虚部为，模为． 故选：C 【变式5-3】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数对应的点的坐标是，得到，所以， 故选：B. 知识点3复平面 实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴. 知识点4复数的几何意义及复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 重难点六、复数模的几何意义 【例11】复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（    ）. A．点 B．圆 C．线段 D．圆环 【答案】B 【详解】由于，故对应点到原点的距离为， 所以复平面内点Z的轨迹是单位圆. 故选：B 【例12】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 【变式6-1】若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，， 故选：D. 【变式6-2】已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】因为， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以. 故选：A 【变式6-3】设复数，x，，且，则满足的复数z共有 个． 【答案】4 【详解】方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得， 故答案为：4 方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点， 故答案为：4 重难点七、复数的模 【例13】已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 【例14】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 【变式7-1】已知复数，若为实数，则（    ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】因为复数为实数， 则，即得， 则. 故选：B. 【变式7-2】已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，解得， 因为，所以. 故选：D, 【变式7-3】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【答案】 2或0 【详解】由题意知，解得， 则当时，，； 当时，，． 故答案为：，2或0 一、单选题 1．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】虚数不能比较大小，，，故． 故选：B 2．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为为纯虚数， 所以解得 故选：B 3．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 4．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：. 5．已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 6．复数在复平面上对应的点不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据题意可知，复数的实部，虚部. 当时，，，故点可能在一、四象限； 当时，，，故点在第三象限. 综上，复数在复平面上对应的点不可能位于第二象限. 故选：B. 二、多选题 7．（多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】若，则为实数，当时，满足，但，故C项不正确； 因为两个虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正确； 当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如，但，所以B项不正确； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A项正确． 故选:BCD． 8．已知复数（其中是实数），则（    ） A．可能为实数 B．当时，为纯虚数 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则 【答案】BCD 【详解】当时，无意义，故A错误； 当时，，为纯虚数，故B正确； 若，则得，故C正确； 若在复平面内对应的点位于第一象限，则得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【答案】1，1 【详解】根据可得且， 解得或者， 由于，所以， 故答案为：1，1 10．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是 ． 【答案】 【详解】由向量对应的复数是，得，由向量对应的复数是，得， 因此，所以向量对应的复数是. 故答案为： 11．已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．（1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 13．已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 14．设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 【详解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 15．已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【详解】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$