22.1.2二次函数y=ax²的图像与性质(教学设计）-2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.1.2二次函数y=ax²的图像与性质 课标分析： （1）学生能画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 （2）会求最大值与最小值，并能确定相应自变量的值 教学内容分析： 本课时内容为会用描点法画出 y=ax2的图象，理解抛物线的概念；掌握形如 y=ax2的二次函数图象和性质，并会应用。 学情分析： （1）学生已经学习过一次函数图像和性质，并对如何学习函数有一定的经验，此外，学生对类比学习也有一定的经验，在设计教学的时候我们可以创设问题和任务，引导学生通过类比学习特殊二次函数 y=ax2的图象和性质，在类比学习的过程中感受各种函数之间的联系以及二次函数内部之间的联系，进行知识的结构化。 (2）现阶段的学生多关注对具体知识的记忆和应用，对知识产生的背景和研究知识的方法缺少关注，在设计教学的时候我们可以创设情境，让学情学生感受函数的广泛应用性，同时进行适度的拓展，激发学生的学习兴趣。 （3）现阶段的学生大多缺少问题意识，可以让学生基于已有的学习经验提出问题，在问题解决的过程中进行学习，提高学生的课堂参与度。 核心素养目标： （1）通过描点法画出形如 y=ax2的二次函数图象，根据图象对其性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验，发展几何直观。（数学抽象、逻辑推理） （2）通过观察二次函数 y=ax2的图象特征和性质，能够探究实际生活中蕴含的数学规律，发展运算能力和合情推理能力。（数学建模、数学运算） （3）通过类比探究二次函数 y=ax2的图象和性质，体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想，发展学生的推理能力、几何直观和模型观念。（直观想象、数据分析） 教学重难点： （1）能画出二次函数 y=ax2的图像，通过图像了解二次函数 y=ax2的性质； （2）通过学生推理和小组讨论总结出 y=ax2图像的规律。 学习活动设计 教师活动 学生活动 一、重要知识回顾，类比轻松学习 教师活动 1： 问题：请同学们回顾一次函数的研究思路，我们在八年级研究了一次函数的哪些方面？运用了怎样的研究方法？ 通过思维导图的形式呈现，引导学生回忆一次函数的研究思路与方法。 学生活动 1： 学生根据课下对一次函数内容的复习回顾，在教师的引导下完成此问题，体会函数的研究思路与方法。 活动设计意图：通过思维导图的形式，更直观的带领学生复习回顾一次函数的研究内容和研究方法，帮助学生体会函数的研究内容和研究方法，为后续自主类比研究二次函数的图象和性质进行铺垫. 二、创设情境导入，归纳得出方法 教师活动 2： 问题 1：上节课我们从实际问题中认识了二次函数的概念。 如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？如何去研究呢？ 问题预设： 图象和性质类比一次函数研究方法 问题 2：二次函数 y=ax²+bx+c定义中系数 a≠0， b、c 呢？ 问题 3：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的 图象和性质？ 教师引导学生学会类比一次函数研究思路与方法 学生活动 2： 1. 学生回顾二次函数的概念，明确 二次函数的解析式和定义域。类比 一次函数的研究思路思考并积极回 答此问题。 2. 学生通过类比明确需要采用特殊 到一般的研究方法去开展二次函数 的研究，独立思考明确二次函数的 特殊形式。 活动设计意图：通过此问题进行研究框架的搭建，虽然二次函数与一次函数研究对象有差异，复杂程度有差异，但研究的思想方法都是从特殊到一般。 三、小组分工合作，探究图象性质 教师活动 3： 合作探究一 1.操作与思考：画出 y=2 y=2x2的图象，并观察图象的特征。 教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导，最后展示学生的成果。 2.在同一直角坐标系中，画出函数的图象。 引导学生思考： 函数 的图象与函数y=2 y=2x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 3.教师以表格和板书的形式引导学生 归纳总结 a＞0 时，二次函数图象的性 质。 合作探究二 出示表格，引导学生进行小组讨论，画图归纳总结出 a＜0 时，二次函数图象的性质。 在同一直角坐标系中，画出 函数y=-x2 y=2 y=-2x2 观察图象，思考这些抛物线 有什么相同点和不同点 学生活动 3： 1. 学生通过描点法在学案上完成 画图，并观察图像的特征，小组交 流并思考。 2. 类比研究二次函数 y=2 y=2x2的方法，尝试从图象的开口方向、顶点、对称轴、增减性等分别描述两个函数的共同特征. 3. 小组合作完成探究二，学生通 过画图类比归纳出结论完成表格 1. 教师引导学生用描点法画出二次函数的图象，经历从“数”到“形”的过程，尝试类比一次函数来探究特殊的二次函数y=x2的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念，体会数形结合和类比探究的数学思想。 2. 让学生画完整的二次函数图象，然后用自己的语言进行描述图象的性质，初步体验二次函数的系数 a 对图象的影响。 3. 培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点。 教师活动 4： 1.如右图，观察函数 y=(k-1)x2的图象，则 k 的取值范围是 . 2. 说出下列抛物线的开口方向、对称 轴和顶点. 二次函数 开口方向 对称轴 顶点 y=3x2 y=-3x2 y= y= 3. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点(−1，2)，则 (1) a 的值是_______ ； (2) 对称轴是 _____，开口 _____； (3) 顶点坐标是_____ ，顶点是抛物线 上的最______点，抛物线在 x 轴的_____ 方（除顶点外）； (4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0， 则 y1 _____y2. 学生活动 4： 1. 学生需要熟练掌握特殊的二次函数y=x2 图象的性质来完成。要求学生理解二次函数系数对抛物线开口方向的影响。 2. 学生需要画草图来探究图象的 增减性。 3. 学生先独立思考，再相互组内交流，特别注意的地方，做到及时小结。 活动设计意图:考查学生求解二次函数的解析式和画图的能力。通过教师 多问“为什么”，生生互评、师生纠正等教学环节，让学生有针对性地训 练，及时反思小结，收效更好。 五、反思感悟归纳，总结交流提升 教师活动 5： 归纳总结，反思感悟： 1. 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2. 本节课贯穿了什么数学思想方法？ 3. 下节课我们还要研究哪些相关知识？ 学生活动 5： 学生小组交流，总结提升。 活动设计意图:本归纳总结活动，让学生进一步加强交流，从知识获得，方法获取，情感收获等方面进行分享。通过前两个问题引导学生回顾相关知识，明确数学思想方法，进一步渗透学生的数学学科核心素养;通过第三个问题对后续学习进行展望，可以增强学生学习的信心，明确学习二次函数图象的基本框架和一般研究路径，为后续研究二次函数图象内容做好铺垫。 特殊二次函数y=x2图象和性质 1. 形状：抛物线 a＞0 a＜0 2.性质：开口方向 对称轴 顶点 增减性 7.作业与拓展学习设计作业设计反思 （1）基于课标：题目整体依托数学课程标淮和十一大核心素养进行设计，关注学生能力的培养和发展。 （2）聚焦目标：聚焦学生己有知识的现实起点和学生需要掌握知识的逻辑起点制定作业目标，进行作业编排。 （3）充分整合：精简题量;把握学科内不同知识的内在联系，丰富题目内容。 （4）题型多样：设计记忆理解类、巩固应用类、综合运用类、拓展类的不同思维题型，有效复习本节课学习内容，检验了它的应用，激发学生学习兴趣，使学生获得学习成就感。 （5）体现层次：题目分层合理，引导学生量力而行，关注基础应用，基础作业面向全体学生，注重对学生数学能力的培养，不盲目拔高;拓展题型注重题型创新和对学生应用及创新能力、评价意识的培养。 （6）时间合理：不断整合题目，调整题量，控制作业用时，不增加学生过多的课业负担。 学科网（北京）股份有限公司 $$