18.2.3.1 正方形的性质&18.2.3.2 正方形的判定-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学同步测评（人教版 云南专版）

。 夯实基础 18.2.3.1正方形的性质 学习摘要:掌握正方形的性质 新知向导 6.如图5,四边形ABCD和四边形BEFG都 是正方形,AE三3.求CG的长 1.定义:有一组邻边 ,并且有一个 /. 角是。 的平行四边形叫作正方形 2.性质;正方形既是矩形又是菱形,因此, 的性质,又有 正方形既有 的性 质. 图5 -基础训练 1.若正方形的边长为1.则该正方形的对角 线长为 ( B./2 A.1 C.2 D.4 2.如图1,点E在正方形ABCD的内部,且在 对角线BD的上方,连接AE,DE.若乙BAE= 能力提高 乙ADE,则乙E的度数为 ( A.80。 B.85 C.900 D.95。 7.如图6.正方形ABCD的对角线AC.BD交 D 于点O.点E.F分别在AB.BC上(AE<BE),且 乙EOF=90*,0E与DA的延长线交于点M.0F 与AB的延长线交于点N,连接MN (1)求证:OM=ON; , C C& 图2 图1 & (2)若正方形ABCD的边长为8,AM=4,求 3.如图2.正方形ABCD的边长为4cm,则阴 MV的长 影部分的面积之和为 。 A.4cm2 B.8cm2 C. 12 cm2 D. 16 cm{} 4.如图3,在正方形ABCD中,对角线相交干 点0,则图中的等腰直角三角形有 个。 D .D 图6 B E 7 图3 图4 5.如图4,在正方形ABCD中,对角线AC. BD交于点O.点E在BC上,EG10B,EF10C. 垂足分别为点G,F,AC=10,则EG+EF= 夯实基础 C报^{} 18.2.3.2正方形的判定 学习摘要:掌握正方形的判定。 新知向导 能力提高 判定: 6.如图4.四边形ABCD (1)定义; 的对角线AC=BD=5,AC1 (2)先判定它是矩形,再判定它也是菱形; BD.分别过A.B.C.D作对角 (3)先判定它是菱形,再判定它也是矩形. 线的平行线,则四边形MNEF 的面积是 基础训练 E 7.性质探究:在研穷四边 图4 1.在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点 形问题时,往往转化为三角形问题来研究 0.添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方 如图5,在四边形ABCD中,AB=AD,/B+ 形的是 ( ) D=180”,连接AC,发现 ACB=ACD. A.BD=AC B.DC =AD 证明:过点A作AE1BC于点E,AF1CD. C. 2AOB=60* D.OD=CD 交CD的延长线于点F,如图5 2.在直角坐标系中,A(0.2).B(2.0).C(0 所以乙AEB= F=90°。 -2),D(-2.0),则四边形ABCD是 因为 B+ ADC=180*, ADF+ ADC A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 =180*$所以 B= ADF$ 3.如图1,直线1是四边形ABCD的对称轴, ._.._. $ B=1,A= ABC=90*,则四边形ABCD的$$$ 结论:邻等对补四边形中,经过两条相等邻 周长为___. 边的公共顶点的一条对角线,必平分四边形的 D 一个内角. 任务: (1)补全材料中命题的证明过程 (2)如图6,在四边形ABCD中,AB=AD. C C 图2 图1 DAB=BCD=90,SwuWac=36,求AC的$ 长。 4. 如图2.在四边形ABCD中,乙B=90*.AD ##### V BC.AB =BC =8.CD =10.则四边形AB$CD 的面积是 . 5.如图3,边长为4的菱形ABCD的对角线 AC与BD相交于点O.乙CAD=2DBC.求证:四 图5 图6 边形ABCD是正方形 C 图3初中数学·人教八年级(YN) 第27~30期 18.2.2.1萎形的性质 18.2.3.1正方形的性质 1.相等; 新知向导 新知向导 1.相等,直角:2.矩形,萎形 2.(2)相等,(3)垂直平分,平分,(4)对角线乘积的一半。 基础训练 1. B; 2. C;3. B; 4.8;5.5. 基础训练 1.C;2.D: 3.24; 4.4. 6.因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,所以AB 5. 因为四边形ABCD是菱形.所以0A三0C.AC。1BD = BC.BE =BG. $ ABC = $ EBG =90$$$$$ 因为AE=CF,所以OA+AE=OC+CF,即OE=0F 所以乙ABC-乙EBC =乙EBG-乙EBC,即 ABE= 所以BE=BF. _CBG. 能力提高 6.2/7. AB=CB. 7.(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD//BC,AD=CD 在△ABE和△CBG中.乙ABE=CBG, 所以乙DAE=乙F. BE=BG. 因为E是AF的中点,所以AE=FE. 所以△ABE△CBG(SAS).所以CG=AE=3. _DAE=乙F 能力提高 7.(1)因为四边形ABCD是正方形,所以0 在△ADE和△FCE中,AE=FE, = B. A0B=9 0*, 0AD=0BA =45$$$$ IAED=_FEC. 所以180*-乙0AD=180*-乙0BA.即 0AM=0B$ 所以△ADE△FCE(ASA). 因为乙EOF =90*,所以 AOB- BOE =乙EOF- 所以DE=CE. 乙BOE,即乙AOM=乙BON. 又因为AE1DC.所以AD=AC [_OAM=OBN. 所以AC=CD. 在△OAM和△OBV中,OA=OB. (2)由(1)可得AD=AC=CD (乙AOM=乙BON. 所以△ADC是等边三角形 所以△OAM△OBV(ASA).所以OM=ON 所以乙DAC=60. (2)因为正方形ABCD的边长为8,所以AB=8,乙DAB= 90. 因为AE1DC,所以 F=乙DAE= 2<DAC=30. 所以 MAV=180*- DAB=90 18.2.2.2萎形的判定 因为△OAM △OBV.所以BV=AM=4. 新知向导 (2)垂直,(3)相等 所以AV=AB+BV=12. 在Rt△AMN中,根据勾股定理,得MN=AM+AV= 4/10. 6. 因为E,F.G.H分别是四边形ABCD各边的中点,所以 ##Ac Ci=Ac.EFH-BD, -BD. EF= 18.2.3.2正方形的判定 基础训练 1.B; 2.C; 3.4; 4. 88 因为AC=BD,所以EF=FG=GH=EH 5.因为四边形ABCD是菱形,所以AD//BC,乙BAD= 所以四边形EFGH为菱形。 2乙DAC./ABC=2 DBC. 能力提高 7.(1)因为AD/BC,AD=BC,所以四边形 所以/BAD+乙ABC=180* ABCD是平行四边形,乙DAC=乙BCA 因为CAD=乙DBC,所以乙BAD=乙ABC 因为AC平分乙BAD,所以乙DAC=乙BAC 所以BAD=90{,所以四边形ABCD是正方形. 所以乙BAC=乙BCA.所以AB=BC 能力提高 6.25 所以四边形ABCD是菱形 1乙AEB=乙F. (2)连接BD,交AC于点0,如图 7.(1)在△ABE和△ADF中,乙B=乙ADF, D 2 AB=AD. 所以AABE△ADF(AAS).所以AE三AF. 因为AE1BC,AF1CD.所以CA平分乙BCD,即乙ACB= 乙ACD. 因为点E,F分别是CD.BC的中点,所以BD=2EF=10. (2)如图,过点A作AN1BC于点N 因为四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,所以AC1 AM1.CD交CD的延长线于点M.所以乙M #4C=12,0D-BD=5. BD,0A= =乙A/VC=90. 又因为乙BCD=90,所以四边形 在Rt△AOD中.根据勾股定理,得AD=OA+OD =13. ANCV是矩形. 初中数学·人教八年级(YN) 第27~30期 由(1)得CA平分乙BCD.所以AM=AN. 第十八章综合检测 所以四边形ANCM是正方形.所以AV=CN LAV=AM. 所以Rt△ABN Bt△ADM(HL) 所以Ss=Sau. 二、9.5;10.110*;11.答案不惟一,如AB/CD; 所以Smucn=Ss.c=36=AA2} 12.3; 13.9/3;14.5. 所以AV=6. 三、15.因为四边形ABCD是平行四边形,所以0C= 在Rt△ANC中.根据勾股定理.得AC=AV*}+CV*=6/2$ 专题 四边形中的折叠问题 因为OE垂直平分BC.所以OB=OC.所以AC=BD 1. 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC,AB=DC 所以四边形ABCD是矩形。 根据折叠的性质,得BE 三 FE.AF =AB 16.因为四边形ABCD是正方形,AB=2.所以CD=2 因为△FCE的周长为7,△FDA的周长为21,即CE+CF+ ADC=90*.2CAD=45。 EF=7.DF+AD+AF=21,所以(CE+EF) +(DF+CF)+ 因为DE/AC,所以乙ADE=CAD=45°。 AD+AF =28,即2(AD+DC) =28. 所以 EDF=180*- ADC- ADE=45°$ 所以AD+DC=14.即AD+AF=14 因为EF1CD,所以乙F=90。 所以FD=7. 所以 DEF=90*- EDF=45*$所以EF=DF$$ 2.因为四边形ABCD为矩形,所以AD//BC.乙C=90*。 在RtADEF中.根据幻股定理.得DF^+EF}=DE.解得 EF=1. 所以 0GB= $D0G=5^*$$0GC=$ 180^*- $DO$G=$ 所以CF=CD+DF=3. 125°. 根据折叠的性质,得 C. =C=90*.0GC.=0G$C$$ 在Rt△CEF中,根据勾股定理,得CE=CF}+EF= =125. 10. 所以乙PGC =0GC -乙OGB=70 17.(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD//BC.AD=BC 所以 GPC =90*-乙PGC =20。 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE,即AF=EC 又因为AF//EC,所以四边形AECF是平行四边形 3.因为四边形ABCD为菱形,所以乙ADC=乙B=70*,AD =AB,AD/BC. 所以AE=CF. (2)因为四边形ABCD是菱形,所以乙BAD=乙BCD= 根据折叠的性质,得 AEB=乙B=70*,AB=AE 1300. 所以AD=AE.所以乙AED=乙ADE 因为 BAE =20*,所以 EAF= BAD- BAE=$ 因为AD/BC,所以乙DAE= AEB=70 1100. 所以 ADE=乙AED= 因为四边形AECF是平行四边形,所以AE/CF 所以EDC=乙ADC-乙ADE=15。 所以2AFC=180*-乙EAF=70. 4.(1)因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC三CD 18.(1)因为E.F分别是BC,AC的中点,所以EF= AD=9. D= B=90。 EF/AB. 根据折叠的性质,得AG=AB, AGE=乙B=90 因为AD-4B,所以AD=EF. 所以AD=AG, AGF =180*- AGE=90$ 所以四边形AEFD是平行四边形. 1AG=AD. 所以AF与DE互相平分. 所以Rt△AGFRt△ADF(HL). (2)在Bt△ABC中,AB=6.BC=10.根据勾股定理,得AC (2)根据折叠的性质,得GE=BE=3. =VBC-AB=8. 因为Rt△AGF Rt△ADF,所以DF=GF 在Rt△CEF中,CE=BC-BE=6.由勾股定理,得CE{}+ 在Rt△ADO中,AD= $C$F^*}=EF^*},即6^}+(9-GF)^?}=(3+GF)^}解得GfF= AD+A0=13. 所以EF=EG+GF= . 所以DE=2D0=213